1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Этот элемент у мы и поставим в соответствие элементу х. Полученный оператор С отображает Ег в Е| и, оченидно, линеен. Он непрерывен [а следовательно, и ограничен). Действительно, если С -- открытое множество в Еы то его полный прообраз С 'С при отображении С может быть записан как В[А 'гС). Ио А 'гС открыто в силу непрерывности оператора А, а тогда и В[.4 ' С) открыто в силу слодствия 1.
Упражнения. 1. Пусть Е, Е1 -- нормированные пространства; линейный оператор А., действующий из Е в Ен с областью определения Рл Е Е, представляющей собой линейное многообразие, называется замкнутьгм, если из условий х Е Рл, хи — > т, Ах — г у следует, что х Е Рл и Ах = гп Проверьте, что всякий ограниченный оператор замкнут. 2. Рассмотрим прямое произведение Е х Е1 пространств Е и Еы т.е. линейное нормированное пространство., состоящее из всевозможных пар [х,у), х е е, у е еп с нормой [[[х,у)[[ = [[х[[ ф [[у[[з [[[ [[ и [[ [[з нормы в Е, Е1 соответственно). Оператору А можно сопоставить множество Сл = 1[х, у), х Е Рл, у = .4х) Е Е х Еы называемое его графиком.
Проверьте, что Сл линейное многообразие в Е х Еп замкнутое тогда и только тогда. когда оператор А замкнут. Докажите, что если Е, Ез --. банаховы пространства, а оператор .4 определен на всем Е и замкнут, то он ограни зен [теорема Папаха о замкнутом графике). 1 К. Линейные онерап1оры 24б указание.
Примените теорему 3 к оператору Р: )х,.4х) -4 х, действующему из Сп в Е. 3. Пусть Е и Е~ полнью счетно-нормированные пространства. Докажите, что если А —. непрерывный линейный оператор, взаимно однозначно отображающий Е на Еп то обратный оператор .4 ' непрерывен. Сформулируйте и докажите георему о замкнутом графике для счетно- нормированных пространств. Рассмотрим множестно ь(Е, Ег) ограниченных линейных операторов А, отображающих бапахово пространство Е в банахово пространство Ег. Это банахово пространство.
Выделим в нем множество 6ь(Е, Ег) операторов, отображающих Е на все Ег и имеющих ограниченный обратный. Это множество открыто в сдЕ, Е1 ). Именно, справедлива следу ющая теорема. Теорема 4. Пусть Авель(Е,Ег) н пусть ЬА — - произвольный опеРатоР нз ь(Е,Ег) такой, что блм4(! < 3/!)Ае (!. Тогда опеРатоР (Ае+ЬА) ' сугцествуети ограничен, не. А = Ае+.ЬА б 6ь(Е,Ег). Доказательство.
Фиксируем произвольный элемент у б Ег и рассмотрим отображение В пространства Е в себя, определяемое формулой Вх = А 'д — А 'гаАх. Из УсловиЯ бЬА3 < й'.4е 'й ' следУет, что отобРажение В сжимающее. Так как Е полно, то существует единственная неподвижная точка х отображения В: "= Вх = .4о р — '4о ~Ах откуда .4х = Аех + ЬАх = у. Если Ах' = р, то х' тоже неподвижная точка отображения В, так что х' = х. Таким образом, для всякого р б Е, уравнение Ах = р имеет в Е единственное решение, т.е.
оператор А обладает обратным А г, определенным на всем Е,. По теореме 3 оператор А ограничен, что и требовалось доказать. ~Т вЂ” А)-' = ~А". а=о (12) Теорема 5. Пусть Е - банахово пространство, 1 —.- тождественный оператор в Е, а А — такой ограниченный линейный оператор, отображающий Е в себя, что 3Ай < 1.
Тогда оператор (1 — А) существует, ограничен и представляется и ниде Гл. Ге'. Линейные фнничионалы и операторы 246 Доказательство. Существование и ограниченность оператора (1 — А) ' вытекает из теоремы 4 (впрочем, это следует также и из приводимого ниже рассуждения). Так как йА)! < 1, то 1 '6Аь6 < 1 'йА6ь < со. Пространство Е ь=о к=о полно, поэтому из сходимости ряда 1 'йАей вытекает, что сумма ь=о ряда 1, А" представляет собой ограниченный линейный оператор. е=о Для любого и имеем и и (1 — А) ~ А" = ~ Аь(1 — А) = 1 — Аит', ь=о и=о переходя к пределу при и, — е оо и учитывая, что !)Аит' (! < йА!)и41 — > -4 О,получаем (1 — А) ~ Аь = ~ А" (1 — А) = 1, и=о ь — о откуда (1 — А) = ~А, что и требовалось доказать. Упражнение. Пусть А ограниченный линейный оператор, отображающий банахово пространство Е на банахово пространство Е1 .
Докажите, что существуее такая постоянная о > О, что если В б Е(Е, Ее) и 6А — Вз < о, то В отображаот Е иа все Ее (Бинах). 5. Сопряженные операторы. Рассмотрим непрерывный линейный оператор д = Ах, отображающий линейное топологическое пространство Е в такое же пространство Еы Пусть д — линейный функционал, определенный на Еы т.е, д б Е„". Применим функпионал д к элементу д = Ах; как легко проверить, д(Ах) есть непрерывный линейный функционал, определенный на Е: обозначим его 1". Функционал 1 есть, таким образом, элемент пространства Е*. Каждому функционалу д б Е' мы поставили в соответствие функционал 1 б Е', т. е. получили некоторый оператор, отображающий Е,* в Е'.
Этот оператор называется сопряаюенным к оператору А и обозначается А*. Обозначив значение функционала 1 на элементе х символом (1, х), получим, что (д, Ах) = (1, х), илн (д, Ах) = (.4'д,х). Это соотношение можно принять за определение сопряженного оператора. 1 В. Линеяные оиероторы 247 Пример. Сопряженный оператор в коненномерном пространстве. Пусть действительное и-мерное пространство Ки отображается в пространство К (т-мерное) оператором А и пусть ~~а11~~ матрица этого оператора.
Отображение у = Ах можно записать в виде системы равенств у, = ~ абх , 1 = 1,...,1и, 1=1 а функционал 1(х) в виде Из равенства т иь и и т 1(х) = д(Ах) = ~деде = ~ ~ деа,.х = ~ ~х, ~ деа11 1=1 1=1 1=1 1=1 т получим, что Д = 2 д,апь Так как 1 = А*д, отсюда следует, что 1=1 оператор А* задается матрицей, транспонированной по отношению к матрице оператора А. Следующие свойства сопряженных операторов вьггекают сразу из определения.
1. Оператор А* линеен. 2. (А + В)* = А* + В*. 3. Если й — число, то (кА)* = (еА'. Если А " непрерывяый оператор из Е в Еы то А* есть непрерывный оператор из (Е,*, о) в (Е", о) (проверьте это)). Если Е и Е, -— банаховы пространства, то это утверждение может быть уточнено следующим образом: Теорема 6. Если А оП1аниченный линейный оператор, отображающий банахово пространство Е в балахона пространство Е1, го ()А*)( = ()А(!. Доказательство. В силу свойств нормы оператора имеем ИА'д,х)! = 1(д, АхН < 1И !!М.
!1х!1, откуда ))А*д() < уА)! 3д(); следовательно, ))А*)( < (!А(!. (13) Гл. »р. Линейные фунинионалы и ое»ерин»оръ» 248 Пусть х Е Е и Ах у': О; положим дв = Е Е», .очевидно, что Ах )~Ах'8 ~~»ув~~ = 1. По следствию из теоремы Хана — Банаха существует такой функционал д, что ))д)! = 1 и (д,дв) = 1, т.е. (д, Ах) = ()Ах!). Из соотношений )(Ах(( = (д, Ах) = )(А'д,х)! < )(А'д)) )(х)) < )(А*)! )!д!!.!)х)( = !)А')(.!)х)( получаем ))А)! < !)А')), что вместо с неравенством (13) дает ~)А )1 = ~)А!1 Теорема доказана.
Упражнение. Пусть Е н Е» — рефлексивные банаховы пространства и А й Е(Е, Е»). Докажите, что А*" = А. Следующее утверждение представляет собой еше одно полезное следствие теоремы Банаха об обратном операторе. Д ем ма (об анпуляторе ядра оператора). Пусть А непрерывный линейный оператор, отображающий Е на все Е», где Е, Е»--- банаховы пространства. Тогда (КегА) = 1шА'. Действительно, проверим сначала включение (Кег А) З 1п» А*. (16) Если 1" Е 1»п А*, то существует такой элемент у Е Е', что 1 = А*д, и для всех х е КегА имеем: фх) = (А*у,х) = (у,Ах) = О, т.е.
1 Е (КегА) Докажем теперь обратное включение: (Кег А) ~ с 1ш А*. (16) Пусть 1 Е (Ке»А)~-. Тогда для отображений у:Е-эл и А:Š— >Е» выполнены условия леммы о тройке (следствие 2). Поэтому существует такой элемент д с Е», что»2',х) = »д, Ах), т.е, 1 = А*д. Тем самым включение (16), а значит, и равенство (14) доказаны. 6. Сопряженный оператор в евклидовом пространстве. Самосопряженные операторы. Рассмотрим случай, когда А-- ограниченный оператор в гильбертовом пространстве Я (действительном или комплексном). Согласно теореме об общем виде линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве "З В. Линейные онерап1оры 249 отображение г, сопоставляюшее каждому у е Н линейный функционал (ту)(х) = (х,у), есть изоморфизм (или сопряженный изоморфизм, если Н комплексно) пространства Н на все сопряженное пространство Н*.
Пусть А* оператор, сопряженный оператору А. Ясно,что отображение А* = г .4*т представляет собой ограниченный линейный оператор, действующий в Н; легко видеть, что для любых х, у Е Н (Ах, у) = (х, А'у). Так как (~А*~~ = ~(А9, а отображения т и т ' нзометричны, то !~А ~~=И~ Все сказанное справедливо, разумеется, и для конечномерного евклидова пространства, действительного или комплексного. Примем следующее соглашение.
Если Л евклидово пространство (конечной или бесконечной размерности), то оператором, .сопряженным к действующему в Л оператору А, мы назовем определенный выше оператор А', действующий в т о и ж е пространстве Л. Следует подчеркнуть, что это определение отличается от определения сопряженного оператора в произволыюм банаховом пространстве Е, согласно которому сопряженный оператор А* действует в сопряженном пространстве Е'. Иногда оператор А*, в отличие от .4*, называют эрмитово-еоврялсенпым. Чтобы не усложнять терминологии и обозначений, мы будем писать А' вместо А* и говорить о сопряженном операторе, помня, однако, что в евклидовом случае сопряженный оператор в с е г д а понимается в смыс.ле, указанном в атом пункте.
Ясно, что в евклидовом пространстве Л оператор, сопряженный к А,можно определить как такой оператор, который при всех х,у Е Л удовлетворяет равенству. (Ах, у) = (х, А*д). Поскольку операторы А и А* действуют теперь в одном и том же пространстве, возможно равенство А = А'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
