1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Область определения Рп оператора С = ВА состоит из тех л Е Ря, для которых Ая Е Рн. Ясно, что оператор ВА лицеен. Он непрерывен, если А и В непрерывны. У и р а ж и е и и е. Доказать, что Ро линейное многообразие, если Рп и Рв линейные многообразия. Если .4 и В - - ограниченные операторы, действующие в нормированных пространствах, то и оператор ВА ограничен, причем ()ВА(! < ()Вй ()Ай.
(4) Действительно, ()В(Ат))! < 3В3 3Ат3 < 3В3 )(А(! 3х!), (б) отку.да следует (4). Сумма и произведение трех и более операторов определяются последовательно. Обе эти операции ассоциативны. Произведение йА оператора А на число й определяется как оператор, который элементу т ставит в соответствие элемент ЙАк.
г'л.!4е. Линейные фпннчионалы и оееераторы 240 Совокупность ь(Е, Ег) всех непрерывных линейных операторов, определенных на всем Е и отображающих Е в Ег (где Е и Ег фиксированные линейные топологические пространства), образует, по отношению к введенным выше операциям сложения и умножения на числа, линейное пространство. Если Е и Ег нормированные пространства, то Е(Е, Ее) нормированное пространство (с тем определением нормы оператора, которое было дано выше).
Упражнение. Пусть Е нормированное, а Е~ полное нормированноо пространства. Тогда: а) нормированное пространство Е(Е, Е~) полно; б) если Ае б С1Е,Ее) и 2 '0Ае0 ( со, то ряд 2 Ал сходится к а=1 а=~ некоторому оператору А б Е(Е, Ег) и И~= К .4,( <К бА,~~. а=е ь=е 4. Обратный оператор, обратимость. Пусть А —. оператор, действующий из Е в Е„и Рд область определения, а 1шА образ этого оператора. Определение 3. Оператор А называется обратимым, если для любого у б 1пг А уравнение имеет единственное решение. Если А обратим, то каждому у е 1шА можно поставить в соответствие единственный элемент х б Рм являющийся решением уравнения Ах = у. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обритным к А и обозначается А '.
Теорема 2. Оператор А ', обратный линейному оператору А, также линеен. Доказательство. Заметим прежде всего, что образ 1шА оператора А, т е. Рл-, есть линейное многообразие. Пусть уы угб1шА. Достаточно проверить выполнение равенства А (еггрг + а Уг) = агА Уг + агА 'Уг. (7) Пусть Ахг = уг и Ахг = уг. В силу линейности А имеем А(агхг + агхг) = а, У, + агут. По определению обратного оператора,. А 'уг =хм А 'уг =хе, "г 5. Линейные операторы 241 откуда, умножая эти равенства на ог и ог соответственно и скла- дывая,получим о1А 1У1 + огА гуг = огт1 + огвг.
С другой стороны,из (8) и из определения обратного оператора следует, что о1т1 + огвг 4 1огуг+ огуг)~ что вместе с предыдущим равенством дает А е1огуг + от уз) = о1.4 У1 + ог-4 Уг. Теорема 3 1теореыа Банаха об обратном операторе).
Пусть А линейный ограниченный опреатор, взаимно однозначно отображаюетгий банахово пространство Е нв бапахово пространство Е1 . Тогда обратный оператор А 1 ограничен. Для доказательства нужна следующая лемма. Л е м м а. Пусть ЛХ всюду плотное множество в балахоном пространстве Е.
Тогда любой' ненулевой элемент у Е Е можно разложить в ряд У = У1+ '''+ да+ где Уь Е ЛХ и !!Уь!! < 3!!У!!/2ь. Доказательство. Элементы уь будем строить последовательно; уг вьюерем так, чтобы 19) !!у — у !! < !!у!!/2. Это возможно, так как неравенство 19) определяет сферу радиуса !!у!!/2 с центром в точке у, внутри которой должен найтись элемент из ЛХ 1ЛХ всюду плотно в Е). Выберем уг е ЛХ так, чтобы !!У вЂ” У1 — Уг!! ( !!У!!/4, Уз —.- так, чтобы !!У вЂ” У1 — Уг — Уз!! ( !!У!!/8 и вообще у„выберем так, чтобы !!у — уе — - — у !! < !!у!!/2н.
Такой выбор всегда возможен, так как ЛХ всюду плотно в Е. В силу выбора элементов уь У вЂ” ~уе -э О при и -+ оо, 1=1 т.е. ряд 2, уь сходится к у. Оценим нормы элементов уес 1 — 1 !!У1!! = !!У1 — у+ у!! < !!У1 — у!!+ !!у!! < 3!!у!!/2, !!Уг!! = !!Уг + уг — у+ у — У1 !! ( !!у — уг — Уг!! + !!у — У1!! ( 3!!у!!/4. Гл.
дд. Линейные фрнкционалы и оедераторы 242 Наконец, Цддд„Ц =Цу„ + у„ .д + . + дд — д + д — дй — ''' У -дЦ ( <ЦУ вЂ” Уд — . — У Ц + ЦУ вЂ” Уд — . — У„дЦ < 3ЦУЦдд2". Лелдма доказана. Доказательство теоремы 3. В пространстве Е, расслютрим множество ЛХь — - совокупность тех у, для которых выполняется неравенство ЦА ддА < кЦдА.
Всякий элемент пространства Е, попадает в некоторое ЛХю т.е. Ед — — () ЛХы По теореме Бара (тед=д орема 2 из и. 3 Ц 3 гл. П), хотя бы одно из множеств ЛХы скажем, ЛХды плотно в некотором шаре В. Внутри шара В выберем шаровой слой Р с центром в точке из ЛХ„; слой Р .- это совокупность точек з, для которых справедливо неравенство Х4 < Цз — доЦ < сх, где 0<до'<п,уойЛХ . Перенеся слой Р так, чтобы его центр попал в начало координат, получим шаровой слой Ро = (з д 0 < 3 < ЦкЦ < о).
Покажем, что в Ро плотно некоторое множество ЛХте. Пусть е Е Р О Л|и; тогда з — до б Ро и ЦА '( — Уо~ < ЦА 'зЦ+ЦА 'УОЦ <п(ЦзЦ+ ЦддоЦ) < ( п(Цз — уоЦ+ 2ЦдуддЦ) = тдЦз — уоЦ(1+ ' ) ( < пЦз — уоЦ(1+ 2ЦуоЦ/д3). (10) Величина п(1+ 2ЦдоЦ,ддХ) не зависит от з. Положим ') дд = 1+ п~1+ 2ЦуоЦддХ4) Тогда в силу (10) з — уо Е ЛХм, а из того, что ЛХи плотно в Р., следует, что ЛХм плотно в Ро. Рассмотрим произвольный ненулевой элеъдент у из Ед.
Всегда можно подобрать Л так, чтобы было ХХ < ЦЛуЦ < о, т. е. Лу Е Ро. Так как ЛХди плотно в Ро, можно построить последовательность дд Е ЛХы, сходяшуюся к Лд. Тогда последовательность -уь сходится к у. Оче- 1 Л видно, что если уь и ЛХм, то и — дд е ЛХде при любом действительном 1 Л' Л у'. -0:, таким образом, ЛХге плотно в Ед, ' (О), а потому и в Ед.
Рассмотрим ненулевой элемент д Е Е,; по доказанной лемме его можно разложить в ряд по элементам из ЛХдч. д=дд+ .+уь+.. причем Цур,.Ц < ЗЦдЦдд2". д) Скобки ~ ) означают целую часть числа. 1 В. Линейные операторы 243 Рассмотрим в пространстве Е ряд, составленный из прообразов элементов ры т.е. элеъ>ентов хг = А уы — 1, Этот ряд сходится к некоторому элементу х, так как имеет место неравенство Йхьй = 'ОА 'рьй < Х()йг(! < ЗХ~~у~~(2"; при этом ~~х1~ < ~ ~)!хг(~ < ЗХ!~р~~ ~ — е — — ЗХ~~д~~.
В силу сходимости ряда ~ х„и непрерывности оператора А п=1 можно применить А почленно к этому ряду. Получим Ах = Ах> + Ахт + . = й> + Ут + ' ' = й откуда х = А 1р. Кроме того, ()А ~у)! = Йх(! < ЗХ()р(), и так как оценка верна для лк>бого р ~ О, то оператор А 1 ограни- чен. Приведем некоторые важные следствия этой теоремы. Прежде всего дадим ее естественное обобщение на случай, когда отображение А не взаимно однозначно. Следствие 1 (теорема об открытом отображении).
Линейное непрерывное отображение А банахова пространства Е на (все) бапахово пространство Е1 открыто. Это вытекает из доказанной теоремы и следующей леммы. Лемма. Пусть Е банахово пространство и Ь некоторое его замкнутое. подпрострапство. Отображение В пространства Е на фактор-пространство Е/Е, ставящее в соответствие каждому х е Е класс смежности, содержащий т, открыто. Действительно, пусть х = Е(Е, а С открытое множество в Е и Г = ВС. Пусть ев Е Г. Тогда найдется элемент хв, принадлежащий В е1> П С.
Пусть теперь е> (хе) .. е-окрестность точки хе, целиком лежащая в С, и пусть е произвольный элемент е-окрестности точки ее е Г, т.е. йе — хв~( < е. В соответствии с определением нормы в фактор-пространстве это означает существование такого элемента х е В 1-, что ~~х — хе~~ < е, т е.
х е П(хо) С С. Но тогда е е ВС = 1', т. е, е-окрестность точки ее содержится в Г. Следовательно, Г открыто. Лемма доказана. Рл. 11'. Линейные функчионалы и операторы 244 Представив отображение .4 пространства Е на Ез как суперпозицию отображения В пространства Е на Е/ КегА = Я [открытого в силу леммы) и взаимно однозначного отображения С пространства Я на Ег [открытого в силу теоремы 3), полу. чаем, что А открыто. Следствие 2 [лемма о тройке ).
Пусть Е, Еы Е - — банаховы пространства и А, В непрерывные линейныс операторы из Е в Е, и из Е в Ег соотнетственно, причем В отображает Е на все Ез (т. е. 1щ В = Ег). Если при этолг КегА 3 КегВ, [11) то существует такой непрерывный линойный оператор С, отобра- жающий Ег в Еы что А = СВ. Символически это удобно изобразить такой схемой; КегВ э Е о Ез в О „'с КегА 4 Е 4 Ег л Действительно, рассмотрим для каждого элемента г Е Ег его полный прообраз В г Е Е. Из условия [11) следует, что все элементы х, принадлежащие В ге, переводятся оператором А в один и тот же элемент у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
