1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Действительно, заметим, прежде всего, что в указанных условиях интеграл [2) существует для любого в из отрезка [а, Ь), т. о. функция у[в) определена. Далее, пусть Гл. 1у. Линейные фунидионалы и операторы 256 Пусть Р дополнение множества С до квадрата а ( е, 1 ( Ь.
Так как Р компактно, а функция К(е, 1) непрерывна на Р, то существует такое д > О, что [К(.~. Р) — К(во, Си)! < для любых точек (е', Р), (е",1и) из Р, удовлетворяющих условию [8 — 8 ! + ]1 — г ! < о. (3) ОЦЕННМ ТЕПЕРЬ РаЗНОСтЬ У(З') — У(ли) В НРЕДПОЛОжЕНИИ, Чта ]Е' — Ео! < < д. Имеем ь ! ( ') - ( х')! - 'У ]К('' ) - К( о ) ]*«)! Е для оценки стоящего справа интеграла разобьем промежуток интегрирования [а, Ь] на объединение интервалов С(в') 0 С(ви), которое обозначим Р, и остальную часть отрезка [а, Ь], которую обозначим Я.
Заметив, что Р есть объединение интервалов, суммарная длина которых не превосходит еДЗЛХ), получаем Е ]К('«) -К(",1)][х«)! 11 < 2Зе]]х]!. Интеграл по Ц допускает, очевидно, оценку Г ]К( и'«) — Ь(8"«)! ]х«)]ж < 3]]х]!. е2 Таким об азом. ]у(е') — еу(еи)! < 6]]х]!. (4) Неравенство (4) показывает, что функция у(е) непрерывна, т.е. формула (2) действительно определяет оператор, ггереводяпгий пространство С[а, Ь] в себя. Далее, из гого же неравенства видно, что если (х«)) — ограниченное множество в С[а, Ь], то соответствующее множество (у(з)) равностспенно непрерывно. Наконец, если ]]х]! < С, то []у]! = зпр ]у(а)! ( ьпр )' ]К(а, 1)! ]х(е)! е1е ( ЛХ(Ь вЂ” а)]]х]!.
а Таким образом, оператор (2) переводит всякое ограниченное множество из С[и, Ь] в множество функций, равномерно ограниченное и равностепенно непрерывное, т.е.предкомпактное. 4а. Расположение точек разрыва функции К(6,1) на конечном числе кривых, пересекающих прямые ь = сопз1 лишь в одной точке, сушественно. Пусть, например, 1 приз<1/2, К(6«) = О при е > 1ее2; 1 6. Компактные операгпоры 257 Замечание. При принятом нами определении компактного оператора может оказаться, что образ замкнутого единичного шара некомпактен (хотя он предкомцактен). Действительно, рассмотрим в пространстве С[-1,1] оператор интегрирования 7*(я) = 1 (1)~й; — 1 вполне непрерывный оператор в С[ — 1, 1].
по доказанному выше, 7 Положим < О, если — 1<1<0, и1, если 0 < 1 < 1/и, 1, если17п<1<1. нп(1) = Тогда тп Е С[ — 1, 1], ]]т„][ = 1 для всех и и О, если — 1 < 1 < О, уп(7) =,7яп(1) = 7112,12, если 0 < 1 < 1771, 1 — 1/(2п), если 1]п < г < 1. Ясно, что последовательность уп сходится в С[ — 1, 1] к функции О, если — 1<1<0, р(1) = если 0 < 1 < 1, т ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ | | | ~ которая не является образом (при отображении 7) никакой функции из С[ — 1, 1], ибо функция у'(1) разрывна. Однако можно доказать, что если пространство рефлексивно (например, гильбертово), то образ замкнутого единичного шара при коишактном линейноь1 отображении компактен.
') Вито Вольтерра итальянский математик, автор ряда работ по функнионапьному анализу и интегральным уравнениям. оператор (2) с таким ядром, заданным на квадрате 0 < я, 1 < 1 и имеющим точками разрыва весь отрезок,з = 1712., 0 < 1 < 1, переводит функцию я(1) = 1 в разрывную функцию. 4б. Если положить К(я,1) = 0 при 1 ) я., то оператор (2) примет вид '(а) = Й( )к(7)~ (5) и Будем считать, что функция К(я,1) непрерывна при 1 < я; тогда из сказанного в примере 4 следует, что оператор (5) вполне непрерывен в С[а, Ь].
Этот оператор называется оператором линга Вольтеррп ). Гл. 1П. Линейные фрнинионалы и оееераторъ~ 2. Основные свойства компактных операторов. Т е о р е и а 1. Если 1А„) последовательность компактных гтераторов в балахоном пространстве Е, сходящаяся по норме к некоторому оператору А, то оператор А тоже компактен. Доказательство. Для установления компактности оператора А достаточно показать, что, какова бы ни была ограниченная последовательность зн,..., ти.....
элементов из Е, из последовательности (Ахи) можно выделить сходящуюся подпоследовательпость. Так как оператор А| компактен, то из последовательности (Азя„) можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Пусть (и <ц 1 ~'''~ 'и (б) - такая подпоследовательность, что 1Азяи ) сходится.
Рассмотрим Ф теперь последовательность 1Азти ). Из нее опять-таки можно выбрать сходящуюся подпоследовательпость. Пусть (з) ез~ 1 '' и - - такая подпоследовательность, выбранная из (6), что 1Азт„) схо- бй дится. При этом, очевидно, 1Азти ) тоже сходится. Рассуждая ана- е2) логично, выберем из последовательности 1т„) такую подпоследо- (з) вательность т[з) , (з) что 1Азт„') сходится и т. д. Возьмем затем диагональную последо(з) вательность В) йп) Каждый из операторов Аы ..., Ап, ... переводит ее в сходящуюся.
Покажем, что и оператор А тоже переводит ее в сходящуюся. Тем самым компактность А будет установлена. Так как пространство Е полно, то достаточно показать, что 1Атп ) фундаментальная по'Еи~ следовательность. Имеем рй А (т)~) < цА, (ей 1, еие~)+ + ЦАьт~„"~ — Архе"ВЦ+ ЦАьте, ~ — Ахб"~Ц. (7) Пусть ЦхиЦ < С; выберем сначала/с так, что ЦА — АеЦ < е/(ЗС), а потом выберем такое Х, чтобы при всех п > Х и пз > Х выполнялось неравенство ~)Аь ~"' — А,т)„~Ц < 1З 1 К Компактные операепоры 2зэ (это возможно, так как последовательность 1Аья„) сходится).
При (сй этих условиях нз (7) получаем, что !!АХМ Ат~-~0 < е для всех достаточно больших и и т. Теорема доказана. Легко проверить, что линейная комбинация компактных операторов компактна. Следовательно, в пространстве ь4Е, Е) всех ограниченных линейных операторов, определенных на Е, компактные операторы образуют замкнутое линойцое подпространство. Посмотрим теперьч будет ли совокупность компактных операторов замкнута относительно операции перемножения операторов.
На самом деле здесь справедливо даже существенно более сильное утверждение. Теорема 2. Если А компактный оператор, а В ограниченный, то операторы АВ и В.4 компактны. Доказательство. Если множество ЛХ С Е ограничено, то ВЛХ тоже ограничено. Следовательно, АВМ предкомпактно, а это и означаот, что оператор .4В компактен. Далее, если ЛХ ограничено, то АЛХ предкомпактно, а тогда, в силу непрерывности В, множество ВАЛХ тоже предкомпактно, т. е. оператор ВА компактен.
Теорема доказана. Следствие. В бескопечвомерпом прюстранстио Е компактный оператор ие может иметь ограниченного обратного. Действительно, иначе единичный оператор Х = А ' А был бы компактен в Е, что невозможно (сьь пример 1). Замечание. Теорема 2 показывает, что компактные операторы образук>т в кольце всех ограниченных операторов ь(Е, Е) двусторонний идеал ). Теорема 3.
Оператор, сопряженный компактному; компахтен. Доказательство. Пусть .4 компактный оператор в банаховом пространстве Е. Покажем, что сопряженный оператор А*, действующий в Е*, переводит каждое ограниченное подмножество из Е* в предкомпактное. Поскольку. всякое ограниченное подмножество нормированного пространства содержится в некотором шаре, з) Идеалом (двусторонним) в иекотороы кольце и называется такое цодкольцо 0, что если а е 11., т е йх то пт е ХХ и га е 11. Гл.
1е'. Линейные фнннвионалы и огеераторы 260 достаточно показать, что А* переводит каждый шар в предкомпактное множество. В силу линейности оператора .4* достаточно показать,. что образ А*Я' замкнутого единичного шара Я* С Е* пред- компактен. Будем рассматривать элементы из Е* как функции не на всем пространстве Е, а лишь на компакте АЯ - - замыкании образа единичного шара при отображении А. При этом множество Ф функций, отвечающих функционалам из Я', будет равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
Действительно, если ~~1о~~ < 1, то впр (Р(х)! = зпр /р(х)! < )Щжцо)/Ах/! < ))А!), еЕАЗ еЕАЗ еЕВ Фх') — Р(хн)! < М! ~~х' — х"!! < 1~ .' — хн~~ Следовательно, это множество Ф предкомпактно в пространстве С(.4Я) (в силу теоремы Арцела). Но множество Ф с метрикой, индуцированной обычной метрикой пространства непрерывных функций С(ЛЯ], изометрично множеству А'Я* (с метрикой, индуцированной нормой пространства Е').
Действительно, если ды до б Я*, то '0А*д1 — .4*д20 = зцр ~(А'д1 — А'дз, .х) ~ = еек = зпр~(дг — дз,Ах)~ = зпр ~(де — де,х)~ = еез еЕАЯ зпр ~(дг де х)~ = Р(дг д2). ееяй Поскольку Ф предкомпактно, то оно вполне ограничено; следовательно, вполне ограничено и изометричное ему множество А*В'. Поэтому А*Я' предкомпактно в Е*. Теорема доказана. Замечание. Нетрудно проверить, что множество Ф замкнуто в С(Ао), так что оно компактно, поэтому компактно и множество А*Я*, хотя (как это видно из замечания в п. Ц образ замкнутого единичного шара при произвольном вполне непрерывном отображении может не быть компактом.
Ситуация в только что доказанной теореме отличается от общей тем, что замкнутый единичный шар Я" в Е* компактен в *-слабой топологии пространства Е* (см. теорему 5 '2 3). Отсюда и следует компактность (в метрике пространства Е') образа множества 5* для любого компактного оператора. Упражнения. 1. Пусть А -- ограниченный линейный оператор в банаховом вространстве. Докажите, что если оператор А* компактен, то и А компактен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
