1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Ясли А> З Аз З ... — последовательность вложенных друг в друга измеримых множеств и А = П Ап, то п Гл. ц. Мера, измеримые фрикции, иигаеграл 278 Следствие. Если Аг с Аг с ... - возрастаюгдая последовательность измеримых множеств и .4 =()Аи, п то 7г(А) = 1цп р(А„). Для доказательства достаточно перейти от множеств А„к их дополнениям и воспользоваться теоремой 9. Отметим в заключение еще одно очевидное, но важное обстоятельство. Всякое множество .4, внеиг яя мера которого равна О, измеримо. Достаточно положить В = О: тогда р"(А гг В) = 7г*(А 6 О) = 7г"(А) = О < ю Итак, мы распространили меру с элементарных множеств на более широкий класс 9Ли, замкнутый относительно операций взятия счетных сумм и пересечений, т.
е. представляющий собой о-алгебру. Построенная мера ег-аддггтивна на этом классе. Установленные выше теоремы позволяют составить следующее представление о совокупности измеримых по Лебегу множеств. Всякое открытое множество, принадлежащее Е, можно представить как объединение конечного или счетного числа открытых прямоугольников, т.е. измеримых множеств., и в силу теоремы 7 все открытые множества измеримы. Замкнутые множества суть дополнения открытых, следовательно, они тоже измеримы. Согласно теореме 7 измеримыми должны быть и все те множества, которые могут быть получены из открытых и замкнутых с помощью конечного или счетного числа операций взятия счетных сумм и пересечений.
Можно показать, однако, что этими множествами все измеримые множества еще не исчерпываются. 3. Некоторые дополнения и обобщения. Выше мы рассматривали только те множества, которые содержатся в единичном квадрате Е = (О < я, и < Ц. Нетрудно освободиться от этого ограничения, например, следующим образом. Представив всю плоскость как сумму полуоткрытых квадратов Еи„= (гг < х < н + 1, пг < у < гп+1) (и, тп — целые), мы будем говорить, что плоское множество А измеримо, если его пересечение .4а,„= А О Еи с каждым из этих квадратов измеримо. При этом мы положим, по определению, 7г(А) = ~ р(Аи,) ала Ряд, стоящий справа, либо сходится к конечному значению, либо расходится к +ос. Поэтому мера р может принимать и бесконечные Ь К Мера плоских множеств 279 значения.
Все свойства меры н измеримых множеств, установленные выше, очевидным образом переносятся на этот случай' ). Надо отметить лишь, что сумма счетного числа измеримых множеств конечной меры может иметь бесконечную меру. Класс измеримых множеств на всей плоскости обозначим ~ха. Мы изложили в этом параграфе построение меры Лебега для плоских множеств. Аналогично может быть построена лебегова мера на прямой, в трехмерном пространстве или, вообще, в евклидовом пространстве любой размерности и,.
В каждом из этих случаев мера строится по одному и тому же образцу: исходя из меры, определенной заранее для некоторой системы простейших множеств (прямоугольников в случае плоскости, интервалов (и, Ь), отрезков [а, Ь[ и полуинтервалов (а, Ь[, [а, Ь) в случае прямой, и т. п.), мы определяем меру вначале для конечных обьединений таких множеств, а потом распространяем ее на гораздо более широкий класс множеств на множества., измеримые по Лебегу. Само определение измеримости дословно переносится на множества в пространстве любой размерности.
Вводя понятие меры Лебега, мы исходили из обычного определения площади. Аналогичное построение для одномерного случая опирается на понятие длины интервала (отрезка,полуинтервала). Здесь, однако, можно ввести понятие меры и иным, более общим способом. Пусть г (б) некоторая неубывающая, непрерывная слева функция на прямой. Положим тп(п, Ь) = Е(Ь) — Е(а+ О), т[а, Ь[ = Е(Ь+ О) — Е(о), т(а, Ь] = Р(Ь+ О) — г"(о+ О), т[а, Ь) = Р(Ь) — Е(а).
Легко видеть, что так определенная функция интервала пт неотрицательна и аддитивна. Применяя к ней рассуждения, аналогичные проведенным в настоящем параграфе, мы можем построить некоторую меру рр(А). При этом совокуппосп йр множеств, измеримых относительно данной меры, замкнута относительно операций взятия счетных сумм и пересечений, а мера др будет и-адднтивна. Класс хср множеств, измеримых относительно )тр, будет, вообще говоря, г) Однако в теореме 9 нужно добавить условие р(йг) < +ж, чтобы сходился ряд (> 5). Приведите пример, яоквзыввющий, что без этого условия теорема может стать неверной.
Гл. и. Мера, измеримые функции, интеграл 280 зависеть от выбора функции Е. Однако при любом выборе Г открытые и замкну.тые множества., а следовательно, и все их счетные суммы и пересечения заведомо будут измеримы. Меры, получаемые с помощью той или иной функции Г, называются мерами Лебези. Стилтьеса. В частности, функции Гу1) = 1 отвечает обычная мера Лебега на прямой. Если мера ?ге такова., что она равна О для любого множества, обычная лебегова мера р которого равна О, то мера рн называется абсолютно непрерывной (относительно 1г). Если мера дг целиком сосредоточена на конечном или счетном множестве точек (это будет в том случае, когда множество значений функции Е конечно или счетно), то она называется дискретной. Мера дк называется сингуллрной, если она равна О для любого одноточечного множества, но имеется такое мпожоство ЛХ лебеговой меры О, что мера ря его дополнения равна О.
Можно показать, что всякая мера рк представима как сумма абсолютно непрерывной, дискретной и сингулярной мер. К мерам Лебега-Стилтьеса мы еще вернемся в следующей главе. Срщестаооание иеизмеримых мназгсеств. Мы видели, что класс измеримых по Лебегу множеств весьма широк. Естественно спросить, существуют ли вообще неизмеримые множества? Покажем, что этот вопрос решается цоложитольно. Проще всего неизмеримые множества строятся на окружности, на которой введена линейная мера Лебега.
Пусть С окружность, длина которой ранна 1, и о некоторое иррациональное число. Отнесем к одному классу те точки окружности С, которые могут быть переведены одна в другую поворотом окружности С на утоп ггсиг (и целое). Каждый из этих классов будет, очевидно, состоять из счетного множества точек. Выберем из каждого такого класса по одной точке. Покажем, что полученное таким образом множество (обозначим его Фа) неизмеримо. Обозначим через Ф„множество, получаемое из Фи поворотом на угол пол. Легко видеть, что все множества Фи попарно не пересекаются и в сумме составляют веку окружность С. Если бы множество Фа было измеримо, то были измеримы и конгруэнтные ему множества Ф„. Так как С= Д Фи, ФнпФ =я~ при пфт, то в силу ег-адцитивности меры отсюда следовало бы, что (171 1 2. Общее понятие мерь~ 281 Но конгруэнтные множества должны иметь одну и ту же меру, так что если Фо измеримо, то Р(Фп) = р(Фо) Отсюда видно, что равенство (17) невозможно, так как сумма ряда, стоящего в его правой части, равна О, если р(Фо) = О, и бесконечности, если д(Фо) > О.
Итак, множество Фо (а следовательно, и каждое Ф„) неизмеримо. 2 2. Общее понятие меры. Продолжение меры с полукольца на кольцо. Адцитивность и сг-аддитивность ) 1. Определение меры. Мы строили меру плоских множеств, отправляясь от меры (площади) прямоугольника и распространяя ее на более широкий класс множеств. Для наших построений существенно было вовсе не конкретное выражение площади прямоугольников, а лишь ее общие свойства. Именно, при продолжении плоской меры с прямоугольников на элементарные множества мы пользовались лишь тем, что площадь .
-- это неотрицательная аддитивная функция множества, и тем, что совокупность прямоугольников есть полукольцо. Нри построении лебегова продолжения плоской меры была, кроме того, важна ее сг-аддитивностзн В силу только что сказанного, конструкции, изложенной в з 1 применительно к плоским множествам, можно придать вполне общую абстрактную форму. Тем самым ее применимость будет существенно расширона. Этому и посвящены ближайшие два параграфа.
Введем прежде всего следующее основное определение. Определение 1. Функция множества гт(А) называется мерой, если: 1) область определения Яи функции д(А) есть полукольцо мно- жеств, 2) значения функции 1т(А) действительны и неотрицательны, 3) д(А) аддитивна, т. е. для любого конечного разложения А=А10 .ОАн е) В этом параграфе и дальше мы будем систематически пользоваться понятиями и фактами, изложенными в 1 5 гл. 1. Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
