1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Н. Мера, измеримые фрикции, ииьаегрил 282 р(А) = Е 1>(Аь) ь=1 Замечание. Из разложения О = >2>ОО вытекает, что р(И) = = 21>(О), т. е. 1>(Я) = О. 2. Продолжение меры с полукольца на порожденное им кольцо. При построении меры плоских множеств первым шагом было распространение меры с прямоугольников на элементарные множества, т. е. на конечные су.ммы попарно непересекающихся прямоугольников.
Сейчас мы рассмотрим абстрактный аналог этой' конструкции. Сформулируеы прежде всего следующее определение. Определение '2. Мера р называется продолжением меры т, если еэ С Яр и для каждого А Е б имеет место равенство р(А) = зн(А). Цель этого пункта состоит в доказательстве следующего предложения. Теорема 1. Длякаждоймеры>п(А), заданнойна некотором полукольце. б,и, существует одно и только одно продолжение т>(А), имеющее своей областьк> определения кольцо Я1ю ) (т.
е. минимальное кольцо над ериа). Доказательство. Для каждого множества А е Я(б ) существует разложение п А= )) Вь, Вьб(5,„„ВьОВ>=Я при 1<1 (1) ь — > (теорема 3 8 5 гл. 1). Положим, по определению, и т (А) = ~ т(Вь). ь.= > (2) Легко видеть, что величина т>(А), определенная равенством (2), не зависит от выбора разложения (1). Действительно, рассмотрим два разложения множества А е Ьр на (попарно непересекающиеся) множества Аь б Яр выполнено равенство 8 2. Общее понятие меры 283 Так как все пересечения В; П С, принадлежат б~, то в силу адди- тивности меры т что и требовалось доказать. Неотрицательность и апдитивность функции т'(А), определяемой равенством (2), очевидны.
Итак, существование продолжения т' меры кч на кольцо Я(б,н) доказано. Для доказательства его единственности заметим, что, по опредеи пению продолжения, если А = ( ) Вй, где Вй — — непересекающиеся й=1 множества из б,„, то для любого продолжения т меры ьч на кольцо Я(Я„,) т(А) = ~ т(Вй) = ~ т(Вй) = т (А), т.е, мера т совпадает с мерой т', определенной равенством (2). Теорема доказана. По существу, мы повторили здесь, в абстрактных терминах, прием, которым мы в 8 1 продолжили меру с прямоугольников на элементарные множества.
Класс элементарных множеств как раз и представляет собой минимальное кольцо над полукольцом прямоугольников. Из аддитивности и неотрицательности меры вытекают следующие почти очевидные, но важные свойства. Теорема 2. Пусть т - . мера, заданная на некотором кольце Яью н множества А,..., Ав принадлежат Я„,. Тогда и 1. еслн ( ) .4й С А и А, Г1 А = о при 1 ~ 2', то й=1 и ьч(Ай) < ьч(А); й.=! П, если () Ай ~ А, то й=1 и т(.4й) ) т(.4); й=й в частности, если А С А'и А, А' Е Я, то т(А) < т(А'). Гл. П. Мера, измеримые функции, ипиаегрил 284 Действительно, если А1,..., Аг попарно не пересекаются и содержатся в А, то в силу адцитивности меры и п зн(А) = ~~г т(А1) + т(411 () Аь).
У=-1 Ь=1 Поскольку т(Л 11 () Ау) > О, отсюда получаем свойство 1. Ь=1 Далее, для любых А1, Аз Е Я,„илгесм гн(Л1 0 Ат) = ьч(А1) + гп(А2) — ьв(Л1 р1 Аг) < т(Л1) + т(Л2). По индукции отсюда получаем, что и п гп,( и Ау) < ~т(.41). 1=1 Наконец, опять-таки в силу аддитивности меры из А С () Аг слег=1 дует, что гв(Л) = т( () Ау) — т( () Аь 1 А) < т( () Ау), откуда в силу предыдущего неравенства и вытекает свойство П. Мы доказали свойства 1 и П для меры, заданной на кольце множеств.
Но если мера первоначально была задана на полукольце, то при продолжении ее на кольцо меры множеств, принадлежащих исходному полукольцу, не меняются. Поэтому свойства 1 и П справедливы и для мер на полукольцах. 3. ег-аддитивность. В различных вопросах анализа приходится рассматривать объединения не только конечного, но и счетного числа множеств. В связи с этим условие аддитивности, которое мы наложили на меры (определение 1), естественно заменить более сильным требованием ег-агтдитивности. Определение 3. у1ера т называется счепгно-вддннгнвной, или о-иддитивной, если для любых множеств А, Л1,..., А„,..., прннадлежвзпих ее области опреде чения Ь,п и удовлетворяющих условиям А = () .4„„А, П А, = а при 1 ф», п=1 имеет место равенство гн(.4) = ~~~ т(Аи).
л=! 1 2. Общее неннтие еге2гьг 285 Плоская мера Лебега, построенная нами в 2 1, а-аддитивна [теорема 8). Пример ег-аддитивпой меры совсем иной природы можно построить следующим образом. Пусть Х = тт1,я2г...) произвольное счетное множество и числа рг > О таковы, что Соответствующий класс измеримых множеств состоит из всех подмножеств множества Х. Для каждого А С Х положим т[А) = ~ р„. гыЕА Легко проверить, что т[Л) будет а-адцитивной мерой, причем п1[Х) = 1.
Этот пример естественно появляется в связи со многими вопросами теории вероятностей. Укажем пример меры аддитивной, но не а-алдитивной. Пусть Х множество всех рациональных точек отрезка [О, Ц, а Я состоит из пересечений множества Х с произвольными интервалами [а, Ь), отрезками [а, Ь) или полуинтерваламн [а, Ь), [а, Ь) из [О, Ц. Легко видеть, что б,н представляет собой полукольцо. Для каждого такого множества Л„б Е (5 положим т,[А,е) = Ь вЂ” а.
Эта мера адцитивна, однако она не а-влдитивна, так как т[Х) = 1, и в то же время Х есть сумма счетного числа точек, каждая из которых имеет меру О. Меры, которые будут рассматриваться здесь и в следующем параграфе, мы будем предполагать ег-аддитивпыми. Теорема 3. Если мера тп, определенная на некотороь! полукольце. б, ег-адднтивна, то и мера р, получающаяся ее продолже- НИЕМ На ХОЛЬПО г2Ч[!П,н), а-аалнтнняа.
Доказательство. Пусть А е Я[б„,), В„Е %[бег), п = 1, 2,..., А= [)Вн, н=1 г. Тогда существуют такие множества Л причем В„ПВ, = И при з ф и Вн, из б„„что А=ОЛ„ В, = [) В,н, и = 1, 2,..., г рл. Н. Мера, иглгерилгые франции, интеграл 286 (4) Докажем теперь следующие основные свойства о-аддитивных мер, представляющие собой обобщения на счетные суммы свойств, сформулированных в теореме 2. Поскольку, как мы установили, о-аддитивность меры сохраняется при продолжении меры на кольцо, можно с самого начала считаггч что мера задана на некотором кольце Ж.
Теорем а 4. Пусть мера т о-атщитивна и множества .4, Аы Ап,... принадлежат кольцу Я. Тогда 1гт. Если Д Аь С А и А! 0 Аг = гег прн г. ~ !', то Епг ~иг(Аь) ( ги(А); ь=.г Пег (счетная полуаддитнвность). Ясли ) ) Аь З А, то а=1 иг(Аь) > ггг(.4). причем множества в правых частях каждого из этих равенств попарно не пересекаются, а суммы по г и ! конечны (теорема 3 8 5 гл. 1). Пусть Сп; = Вы ПА ..Легко видеть, что множества Сги попарно не пересекаются, и притом г ) г ) Спу' Вггг — ) ) Спи. п=1 г ! Поэтому в силу о-аддитивности меры т на (5т имеем пг(А ) = ~ ~~~ гигСгггг), (3) гг=1 г иг(В !) = ~ ~т(С„! ), а в силу определения меры р па Я(Я ) р(А) = ~ ги(А!), (5) р(В„) = ~ ~т(В„!).
(6) г Из (3Н6) вытекает, что р(А) = 2" р(В„). (Суммы по г и по ! здесь гг=г конечны, ряды цо п сходятся.) 1 3. Лебегоео продолжение меры 287 Доказательство. Если все Аь не пересекаются и содержатся в А, то, в силу свойства 1 (теорема 2), прн любом п имеем и ~т(Аь) < рл(А), 1=1 Переходя здесь к пределу при и — ~ оо, получаем первое утверждение теоремы.
Докажем второе утверждение. Поскольку Я есть кольцо, множества В„=(А„ПА)~ () Аь ь=! принадлежат гон. Так как .4= 0 Вп, В„„САп и множества Вп попарно не пересекаются, то гп(А) = ~гп(Вп) ~ (~ гп(Ап). п=1 п=1 Замечание. Утверждение 1, доказанной только что теоремы не опирается, очевидно, на ег-аддитивность рассматриваемой меры; оно остается справедливым и дня любых аддитивных мер. Наоборот, утверждение П существенно использует и-аддитивность меры. Действительно, в приведенном выше примере апдитивной, но не гт-аддитивиой меры все пространство Л, имеющее меру 1, покрывается счетной суммой одноточечных множеств, каждое из которых имеет меру О.
Более того, нетрудно убедиться, что свойство П на самом деле равносильно гт-аддитивности. Действительно, пусть р некоторая мера, определенная на полукольце б. Пусть множества А, А1, ..,, Ап,... принадлежат б, А = Ц А1„. и все Аь попарно не пересекаются. Тогда в силу свойства1 (которым, как мы видели, обладает любая мера) р. (Аь ) < р(А) .
Ь=1 Если же р обладает и свойством П, то (поскольку А1. в совоку.пности покрывают А) ~ 'р(4,) > р(А) Ь=1 Гл. Н. Мера, измеримые функции, интеграл 288 и, таким образом, ь=з Проверить счетнуке полуаддитивность меры (свойство П ) бывает часто проще,чем прямо установить ее и-аддитивностги 8 3. Лебегово продолжение меры 1. Лебегово продолжение меры, определенной на полукольпе с единицей. Если мера т, заданная на полукольце би„ обладает лишь свойством аддитивности (по не о-аддитивности), то ее продолжением на Я (б ) исчерпываются в значительной степени все возможности распространения такой меры с исходного полукольца на более широкий класс множеств. Если же рассматриваемая мера о — адд и т и в н а, то она может быть распространена с б на класс множеств значительно более обширный, чем кольцо Я(б ), и в некотором смысле максимальный.
Это можно сделать с помощью так называемого лебегова продолжения. Сначала мы рассмотрим лебегово продолжение меры, .заданной на полукольце с единицей. Общий случай будет рассмотрен в следующем пункте. Пусть на некотором полукольце множеств б„, с единицей Е задана о-аддитивная мера т. Определим на системе л всех подмножеств множества Е функцию д'(А) — — внешнюю меру следующим образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
