1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Лебегова мера плоских множеств. Элементарные множества пе исчерпывают всех множеств, которые встречаются в геометрии и в классическом анализе. Поэтому естественно попытаться распространить понятие меры, с сохранением ее основных свойств, на класс множеств более широкий, чем конечные объединения прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат.
Решение этой задачи, в известном смысле окончательное, было дано А. Лебегом в начале ХХ века. При изложении теории меры Лебега нам придется рассматривать не только конечные, но и бесконечные объединения прямоугольников. Для того чтобы при этом сразу же не столкнуться с множествами «бесконечной меры», ограничимся сперва множествами, целиком принадлежащими квадрату Е = 10 < х < 1; 0 < у ( 1). На совокупности всех таких множеств определим функцию д'(А) следующим образом. Гл. Н. Мера, измеримые функции, инеаеграл 272 Определение 1. Внешней мерой множества А называется число р*(,4) = 1пГ ~ ~т(Рь), (1) 1пО ' ь где нижняя грань берется по всевозможным покрытиям множества А конечными или счетными системами прямоугольников. т'(А) = ~г пз(Р,). е=1 Так как прямоугольники Р, покрывают А, то 7г*(е1) < 2 т(Рг) = = т'(А), Но если Я ) произвольная конечная или счетная система прямоугольников, покрывающая А, то в силу теоремы 2 гп'(А) < < 2 тЯз:), поэтомУ 7г*(.4) = т,'(А), Тео ема 3.
Если Р Ас(). „,, п где А„--. конечная или счетная сзштема множеств, то р'(А) < ~~г р (А„). и В частности, если А С В, то 7г" (А) < 7г*(В). (2) Доказательство. По определению внешней меры, для каждого А„найдется такая система прямоугольников (Р„у), конечная или счетная, что Аи С () Р„ь и ь Е ( "Ь) < " ( и) 2" где е ) О выбрано произвольно. Тогда Ас()О ' 7г'(А) < ~ ~~ ~гп(Риь) < ~ ~1г*(.4„) + е. Замечания. 1. Если бы мы в определении внешней меры рассматривали покрытия, состоящие не только из прямоугольников, по из любых элементарных множеств (взятых в конечном или счетном числе), то мы получили бы, очевидно., то же самое значение 7г'(А)г посколькУ всЯкое элементаРное множество есть сУмма конечного числа прямоугольников.
2. Если А элементарное множество, то р'(А) = т'(А). Действительно, пусть Р„..., Рн — составляющие А прямоугольники. Тогда,по определению, 1 П Мера плоских множеств 273 Поскольку е > О произвольно, отсюда вытекает утверждение тео- ремы. Так как на элементарных множествах т' и р* совпадают, то теорема 2 представляет собой частный случай теоремы 3.
Определение 2. Множество А называется измеримым(всмысле Лебега), если для любого е > О найдется такое элементарное множество В, что (3) р,'(А а В) <е Функция 7г*, рассматриваемая только на измеримых множествах, назьшается лебеговой' мерой. Будем обозначать ее через д. Замечание. Введенное нами определение измеримости имеет достаточно наглядный смысл. Оно означает, что множество измеримо, если его можно «сколь угоечно точно приблизить» элементарными множествами.
Итак, мы определили некоторый класс Й1н множеств, называемых измеримыми, и функцию уч меру Лебега, на этом классе. Наша ближайшая цель --. установить следующие факты; 1. Совокупность он измеримых мпохсеств замкнута относительно операций взятия коне"сных или счетных сумм и пересечений (т.е.
представляет собой о-элгебру, см. определение в п. 4 2 5 гл. 1). 2. Функции р и-аддитивна на ОЯн. Нижеследующие теоремы представляют собой этапы доказательства этих утверждений. Теорема 4. Дополнение измеримого мноисества измеримо. Это сразу следует из равенства (Е~ А) а (Е~В) = А а В, которое проверяется непосредственно. Теорема 5. Сумма и пересечение конечного числа измеримых множеств суть измеримые множества. Доказательство.
Достаточно провести доказательство для двух множеств. Пусть Аг и Аг — — измеримые множества. Это значит, что для любого е > О найдутся такие элементарные множества Вг и Вг, что д*(Аг Л Вг) < е/2, д'(Аг а В ) < е/2. Так как (Аг О Аг) а (Вг О В') С (Аг а Вг) О (Аг а Вг), рл.
Н. Мера, измеримые функции, интеграл 274 то 44*((А1 0 Аг) Ь (В1 0 Вг)) < 42*(.41 Ь В1) + 44*(Аг о Вг) < е. Но В1 0 Вг элементарное множество, поэтому множество А1 0 Аг измеримо. Измерихгость пересечения двух измеримых множеств вытекает из теоремы 4 и соотношения А1 О Аг = Е 11 [(Е 11 А1) О (Е 11 Аг)).
(4) Следствие. Разность и симметрическаяразностьдвух измеримых множеств измеримы. Это вытекает из теорем 4 и 5 и равенств Л е м м а. Для любых двух множеств А и В ~42*(А) — 44'(В) ~ < 42*(А гт В). Доказательство леммы. Так как А с В и (.4 а В), то в силу теоремы 3 41*(А) < 44'(В) + 44'(А а В). Отсюда вытекает утверждение леммы в случае рл(А) > р" (В). Если же Р'(А) < 44'(В) г то УтвеРждение леммы вытекает из неРавенства д*(В) < р'(.4) + р*(А а В), устанавливаемого аналогично.
Доказательство теоремы 6. Как и в теореме 5, достаточно рассмотреть случай двух множеств. Выберем произвольное е > 0 и такие элементарные множества В1 и Вг, что д'(А1 Ь В,) < е, р (.42 о В2) < е. (6) (7) А1 11 .4г = А1 0 (Е ~1 .4г), А1 гл .42 = (.41 ~1 -42) О (.42 ~ .41). Теорема 6. Если А1,, .4„попарно непересекающиеся измеримые множестна, то 41(0 Аь) = ~42(Аь). (5) У=1 у=1 Для доказательства этой теоремы нам понадобится следукпцая лемма. 1 1. Мера плоских множеств 27з В, и Вз с (А1 ь В1) и (Ат а Вт) и, следовательно, т'(В1 с1 В2) < 2е. В силу леммы из (6) и (7) вытекает, что (8) ~гп'(Вг) — 71'(А1)~ < е, ~т'(Вз) — 71*(А2)( < е. (9) (10) Так как на совокупности элементарных множеств мера аддитнвна, то из (8) -(10) получаем т'(В) = тп'(В1) + 1г1'(Вт) — пс'(В1 С Вз) > р (А1) + 71*(А2) — 4е.
Заметив ерде, что А о В С (А1 о В1) С (Аз о Во) имеем, наконец, р*(А) > т'(В) — 71'(А Ь В) > т'(В) — 2е > р*(А1) + 71*(,42) — бе. Так как е > 0 может быть выбрано произвольно малым, то р*(А) > д*(А1) + р'(Аз) Поскольку противоположное неравенство р (А) < р*(А,)+ р*(А,) справедливо (в силу теоремы 3) всегда, окончательно получаем р*(А) = 72*(А1 ) + р'(Аз); так как А1, Аз н А измеримы, то здесь р* можно заменить на р. Теорема доказана. Из этой теоремы, в частности, следует, что для всякого измеримого А 71(Е 11 А) = 1 — р(А).
Теорема 7. Сумма н пересечение счетного числа измсримыл множеств су.ть измеримые множества. Доказательство. Пусть А1,, ..,Ап, — счетная система измеримых множеств и А = О А„. Положим п=1 и — 1 А'„= Ап 1, Ц Аг. Ясно, что А = () А'„, 1=1 п=1 попарно не пересекаются. В силу теоремы 5 причем множества А„ и следствия из нее все Положим .4 = А1 1з Аз и В = В1с1 В . Множество А измеримо в силу теоремы 5. Так как множества А1 н Аз не пересекаются, то рл. П. Мера, пемерилеые франции, а теграл 276 множества А'„измеримы.
В силу теоремы 6 и определения внешней меры при любом конечном о и и !л7,.4'„) = 7е( О А'„.) < !е1,4), 6=1 у=! поэтому ряд ~~, рЖ,) п=г сходится и, следовательно, для любого 6 > 0 найдется такое Х, что ле 1~ и) 2' п>Х (11) !!'(С 7г В) < 6/2. Поскольку АаВс(СпВ)гз( Ц А'„), п>ы то из 111) и (12) вытекает д*(Ап В) <е, т.е. А измеримо. Так как дополнения измеримых множеств измеримы, то утверждение теоремы относительно пересечений вытекает из равенства П А„= Е ~ ) ) 1Е 1 Ап). Теорема 7 усиливает теорему 5. Следующая теорема представляет собой аналогичное усиление теоремы 6. Теорема 8. Если 1Ап) - последонательностьпопарнонепересекающихся измеримых множестн и А = ) ) Ап, то и 72(А) = 2 !и(А„). Доказательство. В силу теоремы 6 при любом 7е' и и д( 0 А ) = ',2,!лЯ-) < 72(.4) п=Г Х Так как множество С = ) ) .4„измеримо 1как сумма конечного чип=! ела измеримых множеств), то для него найдется такое эломентарное множество В.
что (12) 1 Ь Мерв плоских множеств 277 Переходя к пределу при Л' — > оо, получаем р(А) >',~ р(Ап). п=> С другой стороны, согласно теореме 3 р(Л) < ~ р(Ап) (13) (14) Из (13) и (14) вытекает утверждение теоремы. Установленное в теореме 8 свойство меры было названо ее счев>- ной аддитивностью, или и-аддитионосгпью. Из сс-атщитивности вытекает следующее свойство меры, называемое непрерывностью. р(А) = !пп р(Ап).
Доказательство. Достаточнорассмотретьслучай А = ьэ; общий случай сводится к этому заменой Ап на А„1, А. Имеем А> = (А> >, Аг) 0 (Ат '> Аз) 0 .'1п = (Ап > -4ие>) С>1Аие> 1 4п-',2) 0 .. причем слагаемые не пересекаются. Поэтому, в силу сс-аддитивнос- ти р р(А>) = ~~ р(Ль '1 Аьс>), ь — 1 р(Л ) = ~' р(4ь ~ Аье->)' (15) (16) так как ряд (15) сходится, то его остаток (16) стремится к О при и — > оо. Таким образом, р(Ап) -+ О при >г — > со, что и требовалось доказать. Теорема 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
