1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 53
Текст из файла (страница 53)
1 К Компактные операепоры гщ 2. Для того чтобы линейный оператор А в гильбертовом пространстве и был компактен, иеобходилео и достаточно, чтобы Озрмитово) сопряженный к нелеу оператор А" бып компактен. 3. Собственные значения компактного оператора. Теорема 4. Вееякий компактный оператор А в банаховом пространство Е имеет при любом Б > О лишь конечное число линейно независимых собственных векторов, отвечающих собственным значениям, по модулю превосходящим б.
Доказательство. Пусть Л1,, Л„,... какая-либо последовательность собственных значений оператора А (различных или с повторениями) таких, что ~Л„~ > 6: т1,..., т„,... — отвечающая им последовательность собственных векторов, и пусть зти векторы линейно независимы. Воспользуемся леммой 1 (п.
Ц и построим такук1 последователь- НОСТЬ ВЕКТОРОВ д1,..., Уп,..., ЧтО 1) уп б Еп 2) ~!уп!1 = 1' 3) р(уп,Е„1) = 1п1 ~~у„— т1~ > 1112, еЕЕ где Еп подпространство, порожденное я1,..., хп. Последовательность 1у„/Л„) ограничена в силу неравенства ~Л1е~ > б. Мы утверждаем, что из последовательности образов 1А(дп,1 Лп) ) нельзЯ выбРать сходашУюсЯ. Действительно, пУ сть и Уп = 2 оьхь; тогда Ь=1 и — 1 А(Л ,/ к' Л '" + "'" Уп + 'и где и,— 1 -=Е.
( —.а-')ж "-- е' Л1 Ь=1 Позтому при любых р > ц 4 ( Л У ) 1 ( Л У ) ! и У + е У + о ) и У У р е У + о то ) и > 1 ! 2 поскольку ур + зц — зр б Ер 1. Это противоречит компактности оператора А. Из доказанной теоремы, в частности, вытекает, что число линейно независимых собственных векторов, отвечающих данному собственному значению Л ~ О компактного оператора А, конечно. 262 Гл. Гей Линейные фрннпионалы и операторы Из этой теоремы следует также, что число собственных значений Л„компактного оператора А во внешности круга ~Л~ > д > 0 всегда конечно и что все собственные значения оператора А можно перенумеровать в порядке невозрастания модулей: ~Л1~ > ~Л2~ > ...
4. Компактные операторы в гильбертовом пространстве. Выше мы говорили о компактных операторах в произвольном банаховом пространстве. Сейчас мы дополним эти сведения некоторыми фактами, относящимися к компактным операторам в гильбертовом пространстве. Мы назвали оператор А компактным, если он переводит всякое ограниченное множество в предкомпактное. Поскольку Н = Н*, т.е. Н есть пространство, сопряженное к сепарабельному, в нем все ограниченные множества )и только они) слабо предкомпактны.
Следовательно, в гильбертовом пространстве компактный оператор можно определить как оператор, переводящий всякое слабо предкомпактное множество в множество, предкомпактное в сильной топологии. Наконец, в некоторых случаях удобно еще и такое определение компактности оператора в гильбертовом пространстве; оператор А называется компактным в Н, если он всякую слабо сходящуюся последовательность пореводит в сильно сходящуюся. Действительно, пусть это последнее условие выполнено и пусть ЛХ - ограниченное множество в Н. Каждое бесконечное подмножество множества ЛХ содержит слабо сходящуюся последовательность.
Если она переводится в сильно сходящуюся последовательность, то АЛХ предкомпактно. Обратно, пусть А --- компактный оператор, (тп) .-- слабо сходящаяся последовательность и х ее слабый предел. Тогда (Аяп) содержит подпоследовательностги сходящуюся сильно. В то же время (.4к„) сходится слабо, в силу непрерывности А, к Ах, откуда следует, что (Ая„) не может иметь более одной предельной точки. Следовательно, (Акп) сходящаяся последовательность. 5.
Самосопряженные компактные операторы в Н. Для самосопряженных линейных операторов в конечномерном евклидовом пространстве известна теорема о приведении матрицы такого оператора к диагональной форме в некотором ортогональном нормированном базисе. В этом пункте мы распространим эту теорему на компактные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Результаты этого пункта справедливы как для действительного, так и для комплексного гильбертова пространства. Для определенности будем считать, что Н комплексно. Установим прежде всего некоторые свойства собственных векторов и собственных значений самосопряженных операторов в Н, 1 6.
Компактные операеаоры гвз вполне аналогичные, впрочем, соответствующим свойствам конеч- номерных самосопряженных операторов. 1. Все собственные значения сомосопрязюеппого оператора А в Н деиствителъиьс В самом деле, пусть Ах = Лх, ЦхЦ у': О, тогда Л(х, х) = (Лх, х) = (х, Лх) = (х, Лх) = Л(х, х), откуда Л = Л. 11. Собственные векторы самосопрязкенного оператора,.
отве: чающие различным собственюым значен ям, ортогопольны. Действительно, если,4х = Лх и Ау = ру, причем Л ~ р, то Л(х, у) = (Ах, у) = (х, Ау) = (х, ру) = р(х, у), откуда (х,у) = О. Докажем теперь следующую фундаментальную теорему. Теорема 5 (Гильберт-.Шмидт). Для любогокомпактного самосопряженного линейного оператора Л в гильбертовом простран- стве Н существует ортогональная нормированная система (|р„) собственных векторов, отвечающих собственным значениям (Л„) (Лп ф О), такая, что каждый элемент С Е Н записывается сдин- ственнын образом в виде с = ~сг|рь+с', где вектор с' Е Кег Л, и е, удовлетворяет условию Ас' = О; прн этом А~ = ~ Льет рь и если система (соп) бесконечна, то 1пп Л„= О (и -э со).
Для доказательства этой основной теоремы нам понадобятся сле- дующие вспомогательные утверждения. Лемма 2. Если Д„) слабо сходится к ~ и линейный самосопря- женный оператор Л компактен, то ®((п) = (А4„~„) -э (А~, Я = 1е(~). Доказательство. Для всякого и. !(Л6„4.) — (466! < !(4С,4 ) — (46~ К+ !М,Е ) — М,С)! Но !(44,( ) — (Л4,~ )! < ИпЦ.
ЦЛ(6, — ~)Ц, !(А~, ~„) — (А~, Я)! = !(А~„~) — (А~, с)! = =!Ы,АЫ вЂ” 6)! < ИЦ ЦЛ(4 — П: и так как числа ЦсееЦ ограничены, а ЦА(сп, — с)Ц э О, то !(А~„,(„) — (А~,~)! — + О, что и требовалось доказать. 264 Гти 1Н.
Линейные фрнниианалы и аттераторъ~ Теорема 3. Если функционал !ФС)! = ИМ,~)1, где А . ограниченный самосоцряженный линейный оператор, достигает на единичном шаРе макснмУма в точке Со, то нз (~о, т1) = О вытекает, что (А~о, т1) = (~о, Ат1) = О.
Доказательство. Очевидно, Щ~ = 1. Положим где а произвольное комплексное число. Из Цо'й = 1 следует, что Ы! =1. Далее, 'е)(н) е а е е (но) + а(Ано' тт) + а~(Ано й) + ~а~ 'т)(тт)т' 1-~- )а) 'от1(! Число а можно взять сколь угодно малым по модулю и таким, что а(А~о, и) действительная величина. Тогда гт(А66, й) = а(А~о, т1) и Я(4) = 11(оо) + 2а(АСо, т1) + 0(а ). Из последнего равенства ясно, что если (Асо, т1) ф О, то а можно выбрать так, что Ц(6)! > (Я(~о)), а это противоречит условию лелтмы. Из леммы 3 непосредственно вытекает, что если )Я(~)) достигает максимУма пРи 6 = ~о, то 46 есть собственный вектоР опеРатоРа.
Доказательство теоремы 5. Будем строить элементы лть по индукции, в порядке убынания абсолютных величин соответствуюших им собственных значений: ~л ~>.. >~л„~>... Для построения элемента ерг рассмотрим выражение (Я®! = = ~(А~, Я) ~ и докажем, что оно на единичном шаре достигает максимума.
Пусть 5 = зпр ~(А~,~)( ~~д<т и ~т, 42,... — — такая последовательность, что Ц„)! = 1 и ((А~,п(н)! — + Я при и -т оо. Так как единичный шар в Н слабо компактен, то из (е„) можно выбрать подпоследовательносттн слабо сходяшуюся к некоторому элементу т1. При этом 6Щ < 1 и в силу леммы 2 ((Ат1,т1)~ = Я. 1 6. Компактные операепоры 265 Элемент и мы и примем за р1.
Ясно, что ОЩ в точности равняется 1. (Действительно, пусть ()ц)( < 1; положим гй = О/()О)(; тогда '61116 = 1 и ~(А111.,1й)) > о', что противоречит определению о,) При этом АФ1 = л1р1, откуда ~л,~ = ~'~" Р'" =~<.4р,,„-,)~=и Ор1,р ) Пусть теперь собственные векторы ры .,'Рп, отвечающие собственным значениям Л„..., Лп, уже построены.
Пусть ЛХ(р1,..., 1р„) — — подпространство, натянутое На 1Р1...., Рп. РаССМОтРИМ фУНКЦИОНаЛ /(А(,4)! на совокупности элементов, принадлежащих М„=и~,М)р„...,рп) (т. е. ортогональных р1,..., 1рп) и удовлетворяющих условию Щ <1. Множество ЛХ~ есть подпространство, инвариантное относительно .4 (тан КаК ПОдцрОСтранСтВО ЛХ)р1,..., рп) ИНВарИаитНО Н А СаМО- сопряжен). Применяя к ЛХ„.~ проведенные выше рассуждения, получим, что в ЛХ~ найдется вектор (обозначим его 1рп.ы), собственный для оператора А. Возможны два гчучая: Ц после конечного числа шагов мы получим подпространство ЛХ„,, в котором (Аб,() = О; 2) (А(,~) ~ О на ЛХ~т при всех и.
В первом случае из леммы 3 вытекает, что ЛХ„'; переводится оператором А в нуль (положиге и = .4св), т.е. целиком состоит из собственных векторов, отвечающих Л = О. Система построенных векторов (1р„) состоит из конечного числа элементов. Во втором случае получаем последовательность 1р„) собственных векторов, для каждого из которых Л, у. -О.
Покажем, что ˄— 1 О. Последовательность 1Рп) (как и всЯкаЯ оРтогональнвл ноР- мированная последовательнеють) слабо сходится к нулю, поэтому элементы А1р„= Лнрп должны сходиться к нулю по норме, откуда )Л„! = )(.41р„)( -+ О. Пусть М' = ИСЛ1(Р„...,Рп,...) = ПЛХ„' ~ О. и Гл. 1у. Линейные фянипионалы и операторы 266 Если с Е ЛХх и с у'. -О, то (А~, с) < Л„'6Ц2 для всех и., т. е. (Ас, Я) = О.
Отсюда в силу леммы 3 (при п1ах ((АС, с)! = О), примененной к ЛХ получаем АХ = О, т. е. подпространство ЛХ~ переводится оператором А в нуль. Из построения системы 1р„1 ясно, что всякий вектор можно представить в виде С = ~ сь~рь + б', где А~' = О, откуда вытекает, что АС = ~ Лье, рь Теорема доказана. Эта теорема играет фундаментальную роль в теории интегральных уравнений, о которых будет идти речь в гл.
1Х. Замечание. Доказанная теорема означает, что для всякого компактного самосопряженного оператора А в Н существует ортогональный базис пространства Н, состоящий из собственных векторов этого оператора. Действительно, для получения такого базиса достаточно дополнить построенную в доказательстве теоремы систему собственных векторов ууи„) произвольным ортогональным базисом подпространства ЛХт, переводимого оператором А в нуль. Иными словами, здесь получается результат, вполне аналогичный теореме о приведении матрицы конечномерного самосопряженного оператора к диагональному виду в ортогональном базисе. Для несамосопряженных операторов в и-мерном пространстве такое приведение, вообще говоря, невозможно, однако верна следующая теорема: всякое линейное преобразование в и-мерном пространстве имеет хотя бы один собственный вектор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
