1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 47

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 47)

обобщенные функции на прямой. Можно, на основе тех же идей, ввести обобщенные функции на ограниченном множестве, скажем, на отрезке или окружности, обобщенные функции нескольких переменных, обобщенные функции комплексного аргумента и т. д. Наконец, и для обобщенных функций на прямой то определение, которое было дано выше, -- далеко не единственно возможное. Рассмотрим вкратце некоторые из указанных типов обобщенных функций.

гце Д, обобщенные, а аео «обычпые» бесконечно дифференцируемые функции, решение существует в классе обобщенных функций и определяется с точностью до произвольного решения однородной системы (16). Если в системе (17) не только апо но и 1, «обычные» функции, то все решения ьчой' системы, существующие в К', также оказываются обычными функциями. Гл. Ге'. Линейные функционалы и операторы 230 а) Функции нескольких переменных.

Рассмотрим в н-мерном пространстве совокупность К"' функций ~ео(хы..., хп), имеющих частные производные всех порядков по всем аргументам, и таких, что каждая из этих функций равна нулю вне некоторого параллелепипеда аг < хе < Ье е: 1 ....'и.

Совокупность Кп представляет собой линейное пространство (с обычными операциями сложения функций и умножения их на числа), в котором можно ввести сходимость следующим образом: дь — > уо, если существует такой параллелепипед а, < х; < Ь, (г = 1,...,и), вне которого каждая из функций иоь равна нулю, а в этом параллелепипеде имеет место равномерная сходимостгн для каждого фиксированного набора целых неотрицательных чисел о1) ° °, оп ° Обобщенной функцией н переменных называется любой непрерывный линейный функционал ва К".

Всякая «обычная» функция и переменных Д~х), интегрируемая в любой ограниченной области н-мерного пространства, есть в то же время и обобщенная функция. Значения отвечающего сй функционала определяются формулой Как и в случае п = 1 различные непрерывные функции определяют различные функционалы (т.е. представляют собой различные обобщенные функции). Для обобщенных функций п, переменных понятия предельного перехода, производной и т.д.

вводятся с помощью тех же методов, что и в случае одного переменного. Например, частные производные обобщенной функции вводятся формулой Отсюда видно, что каждая обобщенная функция и, переменных имеет частные производные всех порядков. б) Комплексные обобщенные функции. Возьмем теперь в качестве основных функций бесконечно дифференцируемые финитные функции на прямой., принимающие комплексные значения.

Линейные функционалы на пространстве К таких функций естественно назвать комплексными обобщенными функциями. Напомним, что З 4. Обобщеннне функции гзз в комплексном линейном пространстве существуют линейные и сопряженно-линейные функционалы. Первые удовлетворяют условию (о-- число)(у,аЗз) =а(з,~р),авторые условию(з,ау) =а(у,ф. Если Дт) -- обычная комплекснозначная функция на прямой, то ей можно сопоставить линейный функционал на К двумя способами: (181) (18з) Этой же функции Дат) можно сопоставить два сопряженно-линей- ных функционала, а именно: (18з) (18з) Выбор одной из этих четырех возможностей означает определенный способ вложения пространства «обычных» функций в пространство обобщенных функций.

Операция нац комплексными обобщенными функциями определяется аналогично тому, как это было описано выше для действительных функций. в) Обобщенные функции на екрузкности. Иногда полезно рассматривать обобщенные функции, заданные на некотором ограниченном множестве. В качестве простейшего примера рассмотрим функции на окружности. За пространство основных функций примем совокупгюсть всех бесконечно дифференцируемых функций на окружности, определив для них операции сложения и умножения на числа обычным образом. Последовательность функций (Зз„(я)) в этом пространстве мы назовем сходящейся, если для каждого й = 0,1,2,...

последовательность производнгих ~~рь,(я)) сходится на всей окружности равномерно. Поскольку здесь все множество аргументов (окружность) ограничено, условие фипитности основных функций автоматически отпадает. Линейные функционалы на этом пространстве мы назовем обобщенными функциями на окружности. Всякукз обычную функцию на окружности можно рассматривать как периодическую функцию, заданную на всей прямой.

Перенося это соображение на обобщенные функции, можно связать обобщенные функции на окружности с периодическими обобщенными 232 Гл. 11'. Линейные фунннианалы и операторы функциями. При этом периодической обобщенной функцией' (с пе- риодом о) естественно называть функционал (., удовлетворяющий условию (( (т), д(т — а) ) = (1 (х), р(х) ) для всякой основной функции д.

Примером периодической обобщен- ной функции может служить функция соз пх = — - + я ~ д(т — 2йк), н=1 ь= — ы. которая уже упоминалась выше. г) Другие основвыс пространства. 11ы определили выше обоб- щенные функции на прямой как линейныс функционалы на про- странстве К бесконечно диффсренцируемых финитных функций. Однако такой выбор основного пространства не единственно воз- можный. Например, вместо пространства финитных функций К можно было бы взять более широкое пространство всех бесконечно дифференцируемых функций у(т) на прямой, убывающих вместе со своими производными быстрее, чем любая степень 1/~х~.

Точнее говоря, будем считать, что у(т) принадлежит основному простран- ству, которое мы обозначим Я~, если для любых фиксированных р, 9 = О, 1, 2,... существует такая постоянная Сра (зависящая от р, у и что р)~ ~х~рбй(и) ) < Сгм — оо < т < со. (19) Сходимость в 5, определяется таким образом: последовательность (дн(х)) называется сходящейся к фя), если для каждого о=О, 1,... последовательность (р~~~ (т) ) сходится равномерно на любом конечном интервале и если в неравенствах ~я ФИ)( И < С„, постоянные Сра можно выбрать не зависящими от и. При этом получается запас обобщенных функций несколько более узкий, чем в случае пространства К. Например, функция 1(я) = еа есть непрерывный линейный функционал на К, но не на Яа,.

Выбор 5 в качестве основного пространства удобен, например, при рассмотрении преобразования Фурье обобщенных функций. Вообще, как показало развитие теории обобщенных функций, нет необходимости связывать себя раз и навсегда каким-то определенным выбором основного пространства, а целесообразно варьировать его в зависимости от рассматриваемого круга задач. При этом, однако, су.щественное требование состоит в том, чтобы, с одной стороны, "2 В. Линейные операторы 233 основных функций было «достаточно много» (чтобь» с их помощью можно было различать «обычные» функции, а точнее, регулярные функционалы), а с другой, чтобы эти основные функции обладали достаточной гладкостью. У»»раж не в ив.

Проверьте, что в пространстве Яа, можно ввести структуру счетно-нормированного пространства, положив, например, '3>>>3' = ~ ~эпр )П + )х! >»о >»х)(, в->-о=а — 'а« о< цо о<><о и что последовательиост»ь сходЯщаЯсЯ в Я,, в опРеделениом выше смы- сле, сходитСя и в топологии, опрЕделяемой этими нормами. 3 5. Линейные операторы 1. Определение и примеры линейных операторов. Пусть Е и Е» . - два линейных топологических пространства. Линейным вперапи>рвм, действующим из Е в Е„называется отображение у=Ах, хЕЕ, уЕЕ», удовлетворяющее условию А»ох» +» х2) — оАх» + >>Ахт ° Совокупность Рл всех тех х е Е, для которых отображение А определено, называется областью впределеяия оператора А; вообще говоря, не предполагается, что Рл = Е, однако мы всегда будем считать, что Рл есть линейное многообразие, т.е.

если х, у Е Рл, то ох + >Зу е Рл при всех о, »>. Оператор А называется непрерывным в точке хв Е Рл, если для любой окрестности Г точки уэ = Ахе существуег такая окрестность Г точки хв, что Ах б '1', как только х Е Г Г» Р,». Оператор А пазывается непрерывным, если он непрерывен в каждой точке х е Рл. Когда Е и Е» . нормированные пространства, это определение равносильно следующему: оператор А называется непрерывным, если для любого в > 0 существует такое д > О, что из неравенства )(х' — хо(! < д, х', хо е Рл следует ))Ах' — Ах" (! < е.

Гл. 1У. Линейные финичионалы и ое>ераторь~ 234 Множество тех т е Е, для которых Ат = О, называется ядром линейного оператора А и обозначается Кег А. Множество тех у Е Еы для которых у = Ат при некотором к е .Рл, называется образом линейного оператора .4 и обозначается 1шА. Как ядро, так и образ линейного оператора, являются линейными многообразиями. Если оператор непрерывен и Рл = Е, то КегА является подпространством, т.е. замкнут.

Характеристики

Список файлов книги