1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Посмотрим, в какой мере эти факты переносятся на функционалы, заданные на банаховом пространстве. 1 3. Экстремальные задачи 521 Теорема 2. Пусть Е .. действительный функт1ионал, заданный' в беликовом пространстве Х и имеющий в некоторой окрестности точки хо непрерывную вторую производную.
Если этот функционал достшаст в точке хо минимума, то с7~г"(хо) > 0 ). Д о к а з а т е л ь с т в о. По формуле Тейлора получаем Е(ХО -~-6) — Е(ХО) — Е (ХО)6+ 2Е (ХОКЬ,Ь) + онЬ~~ Если в точке хо функционал Е имеет минимум, то Е'(хо) = 0 и остается равенство Г1хо+ 6) — Г1хо) = 2Г"(хо)(6,71) +о(/!71// ). (11) Если при каком-либо 6 вьшолнено неравенство Ен (хо) (6, 6) < О, (12) то, поскольку Е" 7хо)7еЬ, 56) = сгГн(хо)(6, 6), сугпествуют и сколь утодно малые по норме злел1енты 6, для которых выполнено (12). Но при достаточно малых ОЦ знак всего выражения (11) определяется знаком главного члена лра7хо)76., 6), и мы получаем 2 т' (хО + 6) Г7хо) — 2 т' (хО)(6~ 6) + О(060 ) < О, т.е. минимума в точке хо нет.
Аналогичную теорему можно сформулировать для максимума. Доказанная теорема есть прямое обобщение соответствующей теоремы для функций конечного числа переменных. Иначе обстоит дело с достаточным условием. Упомянутое выше условие Гн(хо)(6,6) > О, достаточное длЯ минимУма в слУчае фУнкций п переменных, не является достаточным для функционалов, определенных на банаховом пространстве бесконечного числа измерений. Рассмотрим простой пример. Пусть в гильбертовом пространстве 72 задан функционал СЮ хч а=1 В точке 0 первый дифференциал етого функционала равен О, а вто- 62 рой ряду 2 2, '— ",, т.е. представляет собой положительно опре1 и деленный функционал.
Тем не менее в точке 0 нет минимума, так как г'(0) = 0 и Е(0,...,0,17п,О,...) = 17пв — 17п~ < О. Следоваи — 1 тельно, в любой близости от точки 0 существуют точки, в которых Г(х) < Е(0). Введем следующее понятие. Квадратичный функционал В называется сильно положительным, если существуют такое постоянное число с > О, что В(х, х) > 0~7ХО~ для всех х. ) Это неравенстве означает, что с л(тоЯЬ, Ь) > 0 для всех 7к 522 Гл.
Х. Элементы дифференциального иениеленил Теорема 3. Если функционал Е, определенный в банаховом пространстве Л, удовлетворяет условиям Ц е1Е(хо) = О, 2) сРЕ(хв) . - сильно положительный квадратичный функционал, то Г имеет в точке хв минимум. До к а з а т е л ь с т в о.
ПУсть Ен(хв) (6, 6) > с ~ ~ Ц 2. ВыбеРем е > О настолько малым, чтобы при )(Ц < е величина оЯЦ2) в равенстве (11) удо~злетворяла условию (о(ОЦ2)! < ~2!)Цз. Тогда Е)хв + 6) Е(хв) = 2Е (хв)(6 6) + офЦ ) > ')(6)! > О при цЦ < ю В конечномерцом пространстве сильная положительность квадратичной формы эквивалентна ее положительной определенности, поэтому (при равенстве нулю первого дифференциала) положительная определенность второго дифференциала достаточна для экстремума функции.
В бесконечномерном случае (как показывает приведенный выше пример) сильная положительность есть более сильное условие, чем положительная определенность. Условие сильной положительности второго дифференциала, гарантирующее минимум, удобно тем, что оно применимо к любому дважды дифферонцируемому функционалу (независимо от его конкретного вида) в любом банаховом пространстве.
Вместе с тем это условие обычно оказывается слишком грубым и трудно проверяемым в практически важных случаях. В вариационном исчислении устанавливаются более тонкие достаточные условия экстремума (использующие конкретный внд тех функционалов, которые рассматриваются в вариационных задачах); однако изложение этих вопросов не входит в задачу данной книги. 3. Экстремальные задачи с ограничениями. Выше речь шла о нахождении экстремума для функционалов, заданных на всем пространстве, т.е. как обычно говорят, об экстремальяых задачах без ограничений. При наличии тех или иных ограничений, определяющих ту областгн ца которой задан рассматриваемый функционал, утверждения, приведенные в пп. 1 и 2, вообще говоря, .несправедливы.
Это видно уже на простейшем примере функции, заданной на отрезке; если такая функция достигает экстремума в граничной точке, то ее первый дифференциал в этой точке может быть отличен от нуля, а знак второго дифференциала может быть любым. Рассмотрение экстремальных задач при наличии ограничений составляет обширную и важную область математики, включающую 5 3. Экстремальные задачи 523 такие разделы, как классическое вариационное исчисление, .оптимальное управление, линейное и выпуклое программирование и т.д. Мы здесь ограничимся тем, что приведем лишь один результат.
Его доказательство основано на применении теоремы Люстерника, играющей важную роль во многих вопросах теории экстремальных задач. Пусть Х и У банаховы пространства, Е функция па Х и Ф: Х -+ У вЂ” отображение пространства Х в У. Допустим, что ищется минимум функции Е(х) на множестве, определяемом условием Ф(т) = О.
Теорема. Пусть функция Е и отображение Ф непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки хо, удовлетворяющей условию Ф(хо) = О, и пусть образ пространства Х при отобрвжонии Ф'(хо): Х л У замкнут. Если и точке хо достигается локжчьный минимум функции Г(х) на множестве (х: Ф(х) = О), то существуют число Ло и линейный функционал р*, определенный на У, не равные нулю одновременно и такие, что ЛоГ(хо) + (Ф'(хо))'у* = О. (13) Доказательство. Введем обозначение А = Ф'(хо)Х.
По условию Е --- замкнутое подпространство. Если Е у'. -У, то, согласно следствикз 3 теоремы Хана — Банаха (п. 3 3 1 гл. 1Лл) найдется ненулевой функционал ув е 1'*, равный нулю на Ь. Для него при всех х б Х имеем ((Ф'(хо))'ув, х) = (дв, Ф'(хо)х) = О, так как Ф'(хо)х е А. Поэтому, приняв ув за у* и положив Лв = О, получаелз (13). Рассмотрим теперь случай, когда Ф(то)Х = У. Применив к отоб- ражению Ф теорему Люстерника, получаем, что для каждого й б Х, удовлетворяющего условию Ф'(хо)Ь = О, при всех достаточно малых 1 существует такой элемент х(1, 1л) = хо + тй + г(1), что Ф(х(1, 1л)) = О, 1 'йг(1)(! -+ О при 1 — + О. Рассмотрим функцию д(1) = Е(х(1,6)). Ее производная в нуле и,.
= Е (хо)ь Гл. Х. Элементы дифференциального иениеленил 524 должна быть равна нулю. Действительно, если Р" (хо) 6 = с ф'= О, то знак разности Г(х[1, а)) — Р(хо) = с1 + й'(хо)г® + о[1) определяется членом с1 и, следовательно, меняется при замене 1 на — 1, а при этом в точке хо не может быть экстремума. Итак, мы полУчасм, что го[хо)Ь = О длЯ всех 6 таких, что 6 Е КсгФ'(хо). Иначе говоРЯ, го(хо) есть элемент из Х'г оРтогональный подпРостранству КегФ'[хо) С Х.
Но согласно лемме об аннуляторе ядра оператора (см. и. 5, 2 5, гл, 1У) [Кег Ф'[хо)]" = 1гп[Ф'[хо)]*. Это означает, что если с"(хо) 6 [КегФ'[хо)].с, то найдетсЯ такой функционал у' е 1'*, что Р'[хо) = — [Ф'[хо)]*у* [14) Положив Ло = 1 и взяв тот функционал у*, для которого выполнено равенство [14), мы и получим [13). Доказанная теорема представляет собой бесконечномерное обобщение известного из классического анализа правила множителей Лагранжа для задач на, условный экстремум. Действительно, если Х и У --- конечномерные пространства, т.е.
если ищется минимум функции до[хм...,х,) при условиях Яхы...,хн) = О [г = 1,...,т), то функционал у* это система т чисел Лы..., Л . Условие замкнутости образа пространства Х в К при линейном отображении в конечномерном случае выполнено автоматически. Равенство (13) при этом превращается в Лгу,"[х) = О, г=а т.
е. в известное правило Лагранжа для нахождения условного экстремума. 2 4. Метод Ньютона Одним из хорошо известных методов решения у.равнений вида 1[х) = О (1 — числовая функция числового аргумента, определенная на некотором отрезке [а,у]) является так называемый метод Ньнгтона, 4. метод ньютона 525 или метод касательных.
Он состоит в том, что по рекуррентной формуле П '-) Хъ-Н вЂ” Хъ (2) ищутся последовательные приближения к решению. (За нулевое приближение хв при этом берется произвольная точка того отрезка, на котором 1 определена.) Геометрический смысл этого метода иллюстрируется рис. 24. Можно показать, что если х* единственный корень уравнения (1) на отрезке [а, Ь) и функпия 1 имеет на этом отрезке не обращающуюся в нуль первую производную и ограниченную вторук~ производную, то существует «область притяжения корня х'», т.
е. такая окрестность точки х*, что при любом выборе точки хв в этой окрестности норис. 24 следовательность (2) сходится к х*. Метод Ньютона может быть перенесен на операторные уравнения. Мы изложим его для уравнений в банаховых пространствах. Рассмотрим уравнение (3) К(х) = О, где Г "- отображение банахова пространства Х в банахово пространство У. Предположим, что отображение Г сильно дифференцируемо в некотором шаре В(хв,г) радиуса г (центр которого хе мы примем за нулевое приближение искомого решения). Заменяя, как и в одномерном случае, выражение г'(хв) — г"(х) его главной линейной частью, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
