1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Определение. 1. Линейный непрерывный функционал / на банаховой алгебре Х называется мультинлнкатноным, если для любых х н у /(х У) = /1х) /1У). Совокупность всех нетривиальных линейных непрерывных мультиплика- тивиых функционалов мы обозначим через М. Заметим, что линейный непрерывный мультипликативный функционал мы могли бы определить как непрерывный гомоморфизм Х в С. Если / б М, то Щх)! ( ()хз, Дополнение. Банаховлг алгебры 540 ибо если для некоторого хо, по норме равного единице, (/(хо)! = Л > 1, то )/(хо)( = Л" -+ оо, т. е.
мы получили бы, что / не непрерывен. Далее, /(е) = /(е ) = (/(е)), откуда либо /(е) = О, т. е. / тривиален, либо (3) /(е) = 1. Из (2) и (3) следует, что нетривиальные линейныо непрерывные мультипликативные функционалы илгеют норму- единица и, следовательно, М есть подмножество единичной сферы в сопряженном пространстве Х*. Нулевое подпространство функционала / (т. е. совокупность тех х б Х, для которых /(х) = О) обозначим Кег / и назовем ядром /.
Лемма 1. Ядро Ког/ при / б М есть максилгапьный идеал. Действительно,из уб1=Кег/ и хбХ следует, что /(х у) = /(у) /(х) = О, т. е. у 'х б Кег/. Таким образом, Кег/ идегмь Покажем, что Кег/ максимальный идеал. Допустим, что это не так, т. е. Кег / можно расширить до идеала 1 ~ Х, содержащего хо ф Кег/. Е1о Кег/ имеет коразмерность 1 (см. гл. Ш, 3 1, и. 6). Значит, элемент е можно представить так: е=Лхоч-у, где у б Кег/.
Отсюда следуот, что е б 1. Значит, 1 = Х. Противоречие доказывает лемму. Лемма 2. По гзсяколгу максимальному идеалу Л1 можно однозначгго построить линейный непрерывный мультипликативный' функционал / й М такой, что Л1 = Кег /. Действительно, в силу следствия из леммы 3 " э3 Лй . замкнутый идеап. Применив георему 1 э 3, мы получим, что Х/Лй есть банахова юп ебра. Е1о в силу леммы 2 з 3 Х/ЛХ не имеет нетривиальных идеалов, т.е. алгебра Х/Л1 не содержит необратимых элементов, отличных от нуля (см. следствие из леммы 1 5 3).
Значит, Х/ЛХ есть иоле, являющееся банаховой алгеброй. В силу следствия 1 из теоремы 1 3 2 поле Х/Л1 изоморфно С. Это, по определению, означает, что для любого х б Х найдется однозначно число /(х) б С такое, что (4) х = /(х) е 4-и, и б Л1. З 4. Основньге теоремы 541 Покажем, что Х есть гомоморфнзм. Докажем, например, что Х(х у) = = Х(х) Х(эу). Имеем х = Х(х) е -г и, и Е ЛХ, у = Х(у) е ~- гг, и б ЛХ, откуда ту = Х(х) Х(у) е+ ш, го б ЛХ.
Но это и означает, что Х(х. у) = х( -) . Х(у) С „, ния е( + = Х(х) 4 Х(У) и Х(Лх) = ЛХ(х) доказывается аналогично. Кролле гшчэ ельни х Е М, то нз (4) следует, что Х(х) = О, а если х = е, го Х(х) = 1. Лемма доказана. Итак, мы получили, что между максимальными идеалами (ЛХ) и функционалами Х из М существует однозначное соответствие. В силу этого обстоятельства условилгся функционалы из М обозначать Хгкб а буквой ЛХ . соответствующие им максимальные идешгы. Для множества всех лгаксимальных идеалов (е) мы будем употреблять ту же букву М, что и дпя соответствующего ему множества ( Хлг]. Пусть х некоторый элемент из Х.
Рассмотрим функцию х(ЛХ) на множества М, задав ее формулой (5) х(ЛХ) = Хм(х). (Значение функции х(гуХ), построенной по элементу х, на максимальном идеале ЛХ равно числу Хм(х), г. е. значению на элементе х гомоморфизма, соответствующого идеалу ЛХ.) Мы получили реа.пизапию голементон алгебры Х в виде функций на множестве М, о которой говорили в конце 5 1. 2. Топология в множестве М. Основные теоремы. Нам осталось доказать, что М компактно в некоторой топологии и что функции х(ЛХ) непрерывны в той же топологии. Чуть ранее мы упомянули, что М есть подмножество единичного шю ра. С другой стороны, в п. 4 з 3 гл. 1Ъ' было приведено доказательство для сепарабельного случая следующего утверждения.
Единичный игор пространства Х, сопряокенного к банаховому пространству, комггакгпен в в-слабой топологии. Доказательство этой теоремы в общем случае можно найти, ншгример, в ]21, с. 459]. Напомним, что *-слабая топология определяется системой окрестностей Гвг, л ,в(Хо) = (Х Е Х*: ]Х(хл) — Хо(хл)] ( б, й = 1,...,т). (6) Множество М мы рассмотрим именно в в-слабой топологии. Компактность М вытекает из сформулированного вьппе результата и следующей леммы.
Дополнение. Банаховы алгебры 542 )Хгг(х) — Ха(х)~ < б, )Хм(Ы вЂ” ХОЫ < а., )Хм(х+ у) — Уа(х+ у)) < б. Но Хм есть гомоморфизм, т. е. (7) Хм(х + у) = Угг(г) 4- Хм(у). Тогда из (7) следует, что Ха(х 4- у) = Ха(х) 4- Ха(у). Аналогично показывается, что Ха(ох) = оХа(х) и Ха(ху) = Ха(х)Ха(у) (Надо взять окрестности Г„,,г(Уа) и 17,ч,*г.г(1о) ) Значит, .Х есть непрерывный линейный мультипликативный функционал.
Далее, взяв окростности ХХ,г(1а), мы получим, что Ха(е) = 1, т.е. Ха нетривиален. Значит, Ха б М, т.е. М замкнуто. Покажем, что функция ха(ЛХ) = Хм(ха) непрерывна на М. Пусть Ма б М. Дпя е ) О возьмем окрестность Г„,(Ма). Если М б ХХ,ач, то в силу (6) получится, что )Хгг(ха) — Хм„(ха)! = (ха(ЛХ) — хо(ЛХо)) < 6. Но это и означает непрерывность функции ха(ЛХ) в точке Л1а. Лемма доказана. Теорема 1. Отображение х — э х(ЛХ) задает гомоморфизм ютгебры Х в алгебру Слл непрерывных функций на компактном хаугдорфовом пространстве М максимальных идеалов алгебры Х; при этом /)х(ЛХН = шах )х(ЛХ)! ( ))х8.
(8) В силу сказанного вылив в этом параграфе, цам остается доказать лишь соотношение (8). Заметим, что для всякого Л4 элемент х — Хм(х)в по определению Хзг(х) приналггежит идеалу Л1, т.е. является необратимым. Поэтому Хм(х) б и(х). С другой стороны, взяв любое число Ла б п(х), мы обнаруживаем, что х — Лас необратим и, значит, принадлежит максимальному идеалу ЛХ, откуда О = Хм(х — Лае), т.е. Ла = Хлг(х). Итак, образ М при отображении х(ЛХ) совпадает с п(х). Следовательно, в силу утверждения 2' теоремы 1 5 2, мы получаем, что неравенство (8) справедливо.
Нам осталось лишь уточнить теорему 1 при разных допушениях об алгебре Х. Введам определения трех понятий. Лемма 3. Множество М есть замкнутое подмножество единичною шара в Х, и функции х(М) ттрерывны на М. Действительно., пусть функционал Ха принадлежит замыканичо М. Это значит, что внутри любой базисной окрестности отображения Ха найдется гомоморфизм Хлг, порожденный максимальным идейным ЛХ. Возьмем окрестности 11ч ю,ег,г(1о) В силу (б) и опредоления х(ЛХ) мы полу- чим 5 4. Оеновньге теоремы 543 Определение 2. Пересечение Л = П ЛХ всех максимальных идемсм алов называется радикалом Х.
Если Л = »О), то говорят, что Х не имеет радикала. Балахона алгебра Х называется ревулярноб, если ))хз!! = !!х!!з. Банахова алгебра Х называется симметричной, если для всякой функции х(М) найдется элемент у б Х такой, что у)ЛХ) = х)ЛХ). г Черта означает комплексное сопряжение.) Т о о р е ьг а 2. а) Если радикал алгебры Х состоит из одного нуля, то отобрвжоние х -» х(ЛХ) является взаимно однозначным. б) Если алгебра Х регулярна, то Х изометрпчески пзонорфла со споил» образом Сзл, в частности, Х не илгеет радикала. в) Если алгебра Х симлштрнчпв, то образ Х при отображении х — » — » х(ЛХ) всюду плотен в См.
г) Если алгебра Х обладает свойствами б) и в), то Х иэоъгетрггчески изолюрфна См. Доказательство. Сначала выведем последнее утверждоние из остальных. В силу б) взаимно однозначное отображение х:— » х»М) является нзометрией: !)х!!х = ш' и !х»ЛХ)!.
В силу в) )х)М)) всюду плотно в Сгл. Но Х полное пространство. Значит, и Хх(гиг )) (вследствие равенства норм в Х и в См) полно, откуда Хх(ЛХ)) = Сьь Докажем а). Пусть хо ~ О, а хо(ЛХ) — = О на Л4. Это означает, что Хрггсхв) = О для всех ЛХ, т. е. хо б Кег Хзг для всех ЛХ, значит, хо б ХХ. Но ХХ = )О), откуда хо = О. Противоречие доказывает а). Для доказательства б) заметим, что из равенства !!к~!! = ггхггз сразу слелует, !то !»пг 'Ях-'"Я = )(х)!. Применив теорему о спектральном радиусе (теореьга 2 З 2), мы получаем,что (9) г)х) = )!х!).
Тогда из )9), во-вервых, следует, что радикал состоит только из нуля. Действительно, если допустить, что О ~ хо б Л, то для всех ЛХ выражение Хм(хв) = О, т. е. л(хо) совпадает лишь с нулем, что противоречит тому, о г(хо) = !!хо!! ~ О. Далее, из (9) следует, что отображение х ~-» х(ЛХ), являющееся изоморфизмом Х и соответствующей подалгебры Хх(ЛХ)) в См будет изометрией, ибо в силу (8) П~х(ЛХйсм — — »пах !х)ЛХ)! = г(х) = !И. Доказательство в) требует привлечения одной из весьма замечательных теорем алгебры и анализа теоремы Стоуна — Вейергнтрасса, которая звучит так: Дополнение.
Банахоеы алгебры 544 Пусть А есть подалгебра банахееей алгебры Ст непрерывных функций на компакт Т такая, что 1) единица 1т. е. функция е11) = 1) принадлежит А. 2) алгебра А разделягпг точки Т (,,гш е. для любых В ф гг существует функция х11) 6 А такая, тпо хГВ) ф- х1гг)). 3) алгебра А инвариантна по оплнешению к комплексному сопряжению 1т. е.
из хЯ 6 А следует, что х11) 6 А). Тогда А всюду плотна в Ст. Доказательство теоремы Стоуна — Вейерштрасса см. в 113, с. 53 — 56; 21, с. 296 297; 26, с. 20]. Докажем теперь в). Пусть А = 1х(ЛХ)) означает образ Х при отображении т, э х1ЛХ). Из 14) сразу следует, что е -л е(ЛХ) = 1, т.е. е1ЛХ) = 1 б А. Пусть ЛХ1 и ЛХг два раапичных максимальных идеала. Это означает, что существует элемент хе, принадлежащий ЛХг и не принадлежащий ЛХ 1или наоборот), откуда хе(ЛХл) = Хм,(хе) = О, хе|ЛХг) = Хмг(хе) ф О, т.
е. А разделяет точка М. Далее, по самому определению, симметричная алгебра А инвариантна относительно комплексного сопряжения. Применение теоремы Стоуна-Вейерштрасса приводит к в). Теорелга доказана. 3. Теорема Винера; упражнения. Приложения теории банаховых влгебр весьма разнообразны. Напомним ряд результатов из апгебры и анализа, которые уже были получены вами по ходу дела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
