1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Отсюда следует справедливость формулы (10). Из этой формулы видно, что — Н С(1"',1„') (г = 1,...,т), т.е. 1 Н С(1)(1т;1„'). Рассуждая, как х' и при доказательстве утверждения 1, по индукции устанавливаем, что 1 е СОО(1™; 11 ), коль скоро Р и СОО((1; м). а ГЛ. Н111. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 566 В частности, в случае Кз уравнение «'(х,у,з) = 0 в окрестности некритической точки (хО, УО, лО), удовлетворяющей ему, задает двумерную поверхность, которал при выполнении условия у-(хо, уо, зо) 1е 0 локально может быть записана в виде дЕ =.1(х, у). Как мы знаем, уравнение плоскости, касательной к графику этой функции в точке (хо, ую гО), имеет вид ду ду з — го = — (хо, уо)1х хо) + (хо, РОНР Уо).
ах ' ау Но по формуле 110) дУ «у(хо, Уо, ло) 1хо уо) = ау «",(ха, уо, зо) д.1 ° ° «~(хо уо ло) 1хо уо) = дх ' «(хо,уо,ло)' поэтому уравнение касательной плоскости можно переписать в виде «х(хО~уО~ зО)(х хО) + «у(хО~уО~ зО)(у уО) + «л(хО~у01зО)(з зО) = 0~ симметричном относительно переменных х, у, г. Аналогично и в общем случае получаем уравнение ~~',«,*(хо)(х — хо) = О 1=1 / д«' д«' '1 Егас1 «'(хо) = ~ — †) (хо) =~ах1" дх ) ортогонален поверхности г-уровня «'(х) = т функции «' в соответству- ющей точке хо Е Р™.
гиперплоскости в И"', касательной в точке хо = (хО,..., х™) к поверхности, задаваемой уравнением «'(х',..., х"') = 0 (разумеется, при условии, что «'(хО) = 0 и что хΠ— некритическая точка «'). Из полученных уравнений видно, что при наличии евклидовой структуры в К™ можно утверждать, что вектор 15. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 567 Например, для функции 2 2 2 г(х,у,г) = — + — + —, 2 Ь2 определенной в Ка, г-уровнем являются: пустое множество при г ( О; точка при г = О; эллипсоид .2 2 2 — + — + — е Г О2 Ь2 С2 при т ) О. Если (хо, уо, го) — точка на этом эллипсоиде, то по доказан- ному вектор /2хо 2уо 22о'1 Егас1Г(хо Уо яо) = ~ —, —, — ) 2' Ь2' .2 ортогонален этому эллипсоиду в точке (хо, уо, го), а касательная к нему в этой точке плоскость имеет уравнение хо(х хо) Уо(у Уо) Яо(2 Яо) + + — О, Ь2 а2 которое с учетом того, что точка (хо, уо, ло) лежит на эллипсоиде, мож- но переписать в виде хох Уоу яоя — + — + — = т.
П2 Ь2 с2 4. Теорема о неявной функции. Теперь перейдем к общему случаю системы уравнений Г" (х',..., х ', у',..., у") = О, которую мы будем решать относительно У1,..., у", т. е. искать локаль- но эквивалентную системе (11) систему функциональных связей У1 = 11(х1,...,х ), (12) у" = У"(х',".,х™) Для краткости, удобства письма и ясности формулировок условимся, что х = (х1,...,х™), у = (у',...,у"); левую часть системы (11) Гл.
ин1. диФФеРенциАльнОе исчисление 868 будем записывать как Р(х, у), систему (11) как Р(х, у) = О, а отображение (12) как у = 1(х). Если 1 оъ хо = (хо . хо ) о = (ех1,...,о ), то запись!х — хо| < о или |у — уо| < Д будет означать, что |х' — х~| < о1 (1 = 1,...,т) и, соответственно, |уд — у~~| <,У (у = 1,...,и). Далее положим дх~ дх~ (13) д1~~ д1п дх~ дх™ дК1 дР1 дх дх Р'(х, у) = дРл дРх дх' дх дР' ду дд" (15) ~~а ~~а ду ду" Заметим, что матрица Р„'(х,у) квадратная и, следовательно, она обратима тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля.
В случае и = 1 она сводится к единственному элементу и в этом случае обратимость матрицы Р„'(х, у) равносильна тому, что этот единственный ее элемент отличен от нуля. Матрицу, обратную к Р„'(х, у), будем, как обычно, обозначать символом ~Р„'(х, у)) Теперь сформулируем основной результат параграфа. Теорема (о неявной функции).
Если отображение Р: У вЂ” > В", определенное в окрестности У точки (хо,уо) Н К~+", таково, что 1' Р е СОО(У; К"), р > 1, 2 Р(хо,уо) = О, 3' Р„'(хо уо) — обратимая матрица, 15. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 569 то существуют (т+ и)-мерный промехсуток 1 = 1 х 1„" С 17, где 1 = (х Е И ! !х — хо~ < о), 1д — — Ь Е Й" | ~у — уо| < )Ц, и такое отображение 1' Е СЮ,,1~~; 1„"), что для любой точки (х,у) Е Е ~" х 1п Х Г(х, у) = О с; у = 1(х), (16) причем 1'1х) = — (Г„'(х,11х))) -' )Г.'1х,11х))] . (17) Ь) Применяя тогда к соотношению утверждение 2, найдем промежуток 1 +" = (1'" х 1„" ~) х 1„' С 11 и такую функцию 1 Е С~"~(1'" х 1„" ~; 11), что (Г~(х,..., х~, у, у~) О в 1~~~) с=~ (х,...,х ) Е1, (у,...,у ) Е 1у ).
(16) с) Подставляя найденное выражение у" = 1(х, у',..., у" ~) переменной у" в первые и — 1 уравнений системы (11), получим п — 1 соотно- < Доказательство теоремы будет опираться на утверждение 2 и простейшие свойства определителей. Разобьем его на отдельные этапы. Будем рассуждать методом индукции.
При и = 1 теорема совпадает с утверждением 2 и потому верна. Пусть теорема справедлива для размерности и — 1. Покажем, что она тогда справедлива и для размерности и. а) В силу условия 3', определитель матрицы (15) отличен от нуля в точке (хо,уо) Е К '+", а значит, и в некоторой окрестности точки (хо,ув). Следовательно, по крайней мере один элемент последней строки этой матрицы отличен от нуля. С точностью до перемены ободрв значений можно считать, что таким является элемент —.
ау" ' ГЛ. УН1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 570 шений Ф (х,...,х,у,...,у" ):= =Г'(х',...,х,у,...,у",7"1х',...,х™,у,...,у" ')) = О, (19) Ф" ~(х~,...,х"',у~,...,у" 1):= =Г" (х1,...,х,у~,...,у' ~,71х~,...,хп",У~,...,у ~)) =О. Видно, что Ф' Е С1У1(1 х Х„" 1; К) (1 = 1,..., и — 1), причем Ф (хо хо™ уо уо ) = 0 (1 = 1 и 1) ибо 71хео,...,хо™, Уео,..., Уо ) = Уо и Г'(хо Уо) = 0 (г = 1,...,п).
В силу определения функций Ф~ (й = 1,..., и — 1), дФ" дГ" дГ~ д7" — = — + — ° —. (г, й = 1,..., п — 1). (20) ау ау Эу- ау1 Положив еще Фп~ 1 т 1 и — 1). = Г" (х~,..., х, у,..., у", 1 (х,..., х™, у,..., У" )), ду' ду" ду' ду" ' ду" ду" ' ду" дЕ~ + дР~ д~ дГ" + дГ~ д~ д~Р ду ду" ду~ ду" ~ ду" ду" ~ ду" дФ дФ дГ~ ду' ' " ду"-' ду" дФ" ду~ д,~и-1 дГ~'-1 " ' ду"-' ду" О дР" ду" 0 в силу (18) получаем, что в области своего определения Ф": — О, поэтому дФ" дГ" дГ" дУ = — + — —.
=0 (г =1,...,п — 1). (21) ду1 ду1 ду ду' Учитывая соотношения 120), (21) и свойства определителей, можно заметить, что определитель матрицы (15) равен определителю матри- цы з 5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 571 По предположению, — „Ф О, а определитель матрицы (15) по услодЕп дяп вию отличен от нуля. Следовательно, в некоторой окрестности точки (ход,..., хе, ус~,..., уе ') отличен от нуля и определитель матрицы дФ1 дФ дя1 ''' дрп — 1 (Х1,..., Х, у1,..., уп 1). афп — 1 аФп — 1 дя1 ду" ' ТОГда ПО ПрЕдПОЛОжЕНИЮ ИНдуКцИИ Найдутея ПрОМЕжутОК 1 '+п 1 = в К™ 1 — и такое отображение 1 Е СОО(1™; 1п '), что в пределах промежутка 1 1" 1 = 1"' х 1п 1 система (19) равносильна соотноше- ниям 1 11( .1 .ш) х Е 1™ (22) рп — 1 1п — 1 ( 1 Ха~) б) Так как 1„'С 1п 1, а1™С Гп, то, подставляя 11,...,1" 1 из (22) вместо соответствующих переменных в функцию из соотношения (18), получаем зависимость у" = 1"(х,...,х™) (23) ПЕрЕМЕННОй рп От (Х1,...,Х ).
е) Покажем теперь, что система равенств у1 = 11(х1,...,х"'), х Е 1™, п уп (,1 тп) (24) задающая отображение 7' Е С(я) (1; 1п), где 1п = 1п 1 х 11, равносильна в пределах окрестности 1'"1" = 1'" х 1„" системе уравнений (11). В самом деле, сначала мы в пределах 1™ = (1"' х 1п ') х 11 заменили последнее уравнение исходной системы (11) эквивалентным ему, в силу (18), равенством уп = 1(х,у1,..., у" ').
От так полученной второй ГЛ. УН1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 572 системы мы перешли к равносильной ей третьей системе, заменив в первых и — 1 уравнениях переменную у" на 7"(х,у1,..., у" 1). Первые и — 1 уравнений (19) третьей системы мы в пределах 1'" х 1„" ' С 1™ х 1„" 1 заменили равносильными им соотношениями (22).
Тем самым получили четвертую систему, после чего перешли к равносильной ей в пределах 1 х 1о" ' х 1,", = 7 +" окончательной системе (24), заменив в последнем уравнении у" = 7" (х',..., х, у',..., у" ') четвертой системы переменные у',..., у" ' их выражениями (22) и получив в качестве последнего уравнения соотношение (23). 1) Для завершения доказательства теоремы остается проверить формулу (17).
Поскольку в окрестности Е х 1„" точки (хо, уо) системы (11) и (12) равносильны,то Р(х,у(х)) = О, если х Н 1™. В координатах зто означает, что в области 1 г'~(х~,...,х™,7"~(х~,...,х ),...,)'"(х',...,х )) ив е О (й = 1,..., и). (25) Поскольку ~ Н СОО(1,; 1„") и Г Е СОН(17; й" ), где р > 1, то Г(, )( ) ) Е Н СОО(1; К") и, дифференцируя тождества (25), получаем дГь дР" д~' , +~> . —,=О (/с=1,...,и; 1=1,...,т). (26) 1=1 Соотношения (26), очевидно, равносильны одному матричному равенству Р'(х, у) + Е„'(х, у) 1'(х) = О, в котором у = 1(х). Учитывая обратимость матрицы Р„'(х,у) в окрестности точки (хш уо), из зтого равенства получаем, что и теорема полностью доказана. ° з 5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 573 (Р,",Ру' — 2У,"уР,РУ + Г„'У„Р,' ) (хо, уо) = О.
с) Найдите формулу для кривизны кривой в точке (хо, уо). 2. Преобразование Лежандра длл т переменных Преобразование Лежандра от переменных х1,..., х~н и функции 7'(х1,..., х'н) есть пеРехоД к новым пеРеменным ~ы..., С и фУнкции 7'ф,..., С ), заДаваемый соотношениями С; = де-.(х',...,х"') (1=1,...,т), дх' У'Ы1,",6л) = ~:6х' —,((х', ",х™) (27) а) Дайте геометрическую интерпретацию преобразования (27) Лежандра как перехода от координат (х',..., х'", 7(х',..., х"')) точки на графике функции 7(х) к паРаметРам ф,..., С, 7'ф,..., С,н)), заДающим УРавнение плоскости, касательной к графику в этой точке. Ь) Покажите, что преобразование Лежандра локально заведомо возможно, если 7 б СОО и дее ~ — -~-Л ф О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
