1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 91
Текст из файла (страница 91)
+ Ь д ))у(х) (я = О,...,н — 1), у1")(1) = (6 д1 +... +)1ьд,„)"~(х+ Ш), получаем то, что и утверждает теорема 4. ~ь 14. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЪ| р(1) = | (О) + -„ р'(О) + ... + ,, р("-')(О) + †, р(")(В), где 0 < 0 < 1, получается формула Тейлора (7) с остаточным членом г„|(х;6) = —,(6'д|+... + Ь™д )"7(х+ 06). (10) Эту форму остаточного члена, так же как и в случае функций одной переменной, называют формой Лагранжа остаточного члена формулы Тейлора. Коль скоро | Е С(")Щх); К), то из (10) следует, что г„|(х;6) = —,(й'д|+...
+6 д )"~(х)+оЦЦ") при й-+О, поэтому имеет место равенство ('(х| + 5|,..., х + 5"') — у (х1,..., хт) = = ~~) —,(||ад| +... + ||ад )~~(х) + о(~~Ц") при Ь вЂ” + О, (11) 1=1 называемое формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. 5. Экстремумы функций многих переменных. Одним из важнейших применений дифференциального исчисления является его использование для отыскания и исследования экстремумов функций. Определение 1. Говорят, что функция 7": Е -+ К, определенная на множестве Е С Кт, имеет локальный максимум (локальный минимум) во внутренней точке хо множества Е, если существует окрестность У(хо) С Е точки хо такая, что 7'(х) < Дхо) (соответственно, ,|"(х) > Дхо)) при х Е У(хо).
Если при х е У(хо) |хо имеет место строгое неравенство | (х) < | (хо) (или, соответственно, Дх) > 7(хо)), то говоРЯт, что фУнкциЯ имеет в точке хо строгий локальный максимум (строгий локальный минимум). Замечание. Если вместо интегральной формы остаточного члена в соотношении (9) написать остаточный член в форме Лагранжа, то из равенства ГЛ.
УН1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 538 Определение 2. Локальные минимумы и локальные максимумы функции называют ее локальными экстремумами. Теорема 5. Пусть функция 1: У(хо) + К, определенная в окрест- ности У(хо) С К"' точки хо = (х~о,...,хо ), имеет в точке хо частные производные по каждой из переменных х1,...,х Тогда для того, чтобы функция имела в хо локальный экстремум, необходимо, чтобы в этой точке были выполнены равенства (хо) О~ ° ° ° ~ (хо) д1 д1 дх' ' ' ' ' дх"' (12) ~ Рассмотрим функцию ~р(х') = 1(х', хз~,..., х™) одной переменной, определенную, в силу условий теоремы, в некоторой окрестности точки хо1 вещественной оси. В точке хо1 функция у(х1) имеет локальный экстремум, и поскольку 'Р (ХО) — и 1 (ХО>ХО ~ХО ) ~ дх' то — ~-(хо) = О.
дх' Аналогично доказываются и остальные равенства системы (12). ~ Обратим внимание на то, что равенства (12) дают лишь необходимые, но не достаточные условия экстремума функции многих переменных. Примером, подтверждающим это, может стать любой пример, построенный по этому же поводу для функции одной переменной. Так, если раньше мы говорили о функции х ь+ хз, имеющей в нуле нулевую производную, но не имеющей там экстремума, то теперь можно рассмотреть функцию ,1(х1,...,х™) = (х1), все частные производные которой в точке хо = (О,..., 0) равны нулю, но экстремума в этой точке функция, очевидно, не имеет. Теорема 5 показывает, что если функция 1: С -+ К определена на открытом множестве С С К™, то ее локальные экстремумы находятся либо среди точек, в которых 1 не дифференцируема, либо в тех точках, в которых дифференциал сЧ(хо) или, что то же самое, касательное отображение у'(хо) обращается в нуль.
Нам известно, что если отображение 1: У(хо) — > К", определенное в окрестности У(хо) С К точки хо Е К™, дифференпируемо в хо, то 14. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 539 матрица касательного отображения у'(хо): 1к — ь К" имеет вид с д1~ (хо) д У (хо) ~~ д~1"(хо) .. д У"(хо) ) (13) Определение 3. Точка хо называется критической точкой отображения 1: У(хо) — ь й", если ранг матрицы Якоби (13) отображения в этой точке меньше, чем пйп(т,п), т.е. меньше, чем максимально возможный.
1(хо+и . хо™+и ) = п1 д2~ = У (хо .. хо ) + 2, ~~~ д;д,(хо)Ь'У'+ о(ЦЬЦ ) (14) Ц1=1 функции в точке хо квадратичная форма т дз д 'д, (хо)п'и = дй1 (хо)п'и ,,1д ~Ф а) знакоопределена, то в точке хо функция имеет локальный экстремум, который является строгим локальным минимумом, если квадратичная форма (15) положительно определена, и строгим локальным максимумом, если она отрицательно определена; В частности, при и = 1 точка хо критическая, если выполнены условия (12), т.
е. все частные производные функции 1: У(хо) — + 1к обращаются в нуль. Критические точки вещественнозначных функций называют также стационарными точками таких функций. После того как в результате решения системы уравнений (12) найдены критические точки функции, их дальнейший анализ в отношении того, являются они точками экстремума или нет, часто удается провести, используя формулу Тейлора и доставляемые ею следующие достаточные условия наличия или отсутствия экстремума. Теорема 6. Пусть 1: У(хо) -+ й — функция класса С~9~(У(хо); 31), определенная в окрестности У(хо) С 1~~ точки хо = (х~о,...,х<~~) ч Е К™, и пусть хо — критическая точка этой функции 1.
Если в тейлоровском разложении ГЛ. ЧН1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 540 Ь) может принимать значения разных знаков, то в точке хв функция экстремума не имеет. < Пусть Ь ~ 0 и хв + Ь Е У(хв). Представим соотношение (14) в виде Х(хо+ Ь) — У(хв) = —,!1Ч' дз/ Ь' Ьу ~- д *дхУ( '~~~Ц ~~Ц +'~ц ' 61=1 з (хв + 1е~) з (хв) 2 1 (~п + о(1)) где о(1) — ~ 0 при 1 -+ О. Начиная с некоторого момента (т.е. при всех достаточно малых значениях 1), величина т+ о(1) в правой части этого где о(1) есть величина, бесконечно малая при Ь -+ О.
Из (16) видно, что знак разности /(ха + Ь) — /(хв) полностью определяется знаком величины, стоящей в квадратных скобках. Этой величиной мы теперь и займемся. Вектор е = (Ь~/((Ц,..., Ь'а/~~Ц), очевидно, имеет единичную норму. Квадратичная форма (15) непрерывна как функция Ь в Р", поэтому ее ограничение на единичную сферу Я(0;1) = (х Е К ( йх5 = Ц также непрерывно на Я(0;1). Но сфера Я есть замкнутое ограниченное подмножество в К™, т.е. компакт.
Следовательно, форма (15) имеет на Я как точку минимума, так и точку максимума, в которых она принимает соответственно значения т и М. Если форма (15) положительно определена, то 0 < т < М и потому найдется число б > 0 такое, что при ~~Ц < Б будет ~о(1)( < т. Тогда при ))Ь)) < 5 квадратная скобка в правой части равенства (16) окажется положительной и, следовательно, /(ха+ Ь) — /(хв) > 0 при 0 < )(Ц < б.
Таким образом, в этом, случае точка хв оказывается точкой строгого локального минимума рассматриваемой функции. Аналогично проверяется, что в случае отрицательной определенности формы (15) функция имеет в хв строгий локальный максимум. Тем самым пункт а) теоремы 6 исчерпан. Докажем утверждение Ь). Пусть е и ем — те точки единичной сферы, в которых форма (15) принимает соответственно значения пг, М, и пусть т < 0 < М. Полагая Ь = 4е,„, где 1 — достаточно малое положительное число (настолько малое, что хр+ 4е Е У(хв)), из (16) находим 14.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 541 равенства будет иметь знак т, т. е. будет отрицательна. Следовательно, отрицательной будет и левая часть. Аналогично, полагая Ь = 1ем, получим 1(те + 1ем) У(~е) 2 1 (М + о(1)) 1 г и, следовательно, при всех достаточно малых 1 разность Дхе + 1ез4)— П*о) положительна. Таким образом, если квадратичная форма (15) на единичной сфере или, что, очевидно, равносильно, в К"' принимает значения разных знаков, то в любой окрестности точки лд найдутся как точки, в которых значение функции больше Дхо), так и точки, в которых оно меньше 1(хо).
Следовательно, в этом случае яе не является точкой локального экстремума рассматриваемой функции. > Сделаем теперь несколько замечаний в связи с доказанной теоремой. Замечание 1. Теорема б ничего не говорит о случае, когда форма (15) полуопределена, т. е. неположительна или неотрицательна. Оказывается, в этом случае точка ло может быть точкой экстремума, а может и не быть таковой.
Это видно, в частности, из следующего примера. Пример 3. Найдем экстремумы определенной в й. функции У(. ) 4+ 4 2 2 В соответствии с необходимыми условиями (12) напишем систему уравнений — (х, у) = 4х — 4я = О, ~Ч з дх Ю з ду — (х, у) = 4у = О, из которой находим три критические точки: ( — 1,0), (0,0), (1,0). Поскольку д21 (л,у) = О, дхду дгУ вЂ”,(т, у) = 12л~ — 4, дхг — (я, у) = 12у, ду2 то квадратичная форма (15) в указанных трех критических точках имеет соответственно вид 8(51)2 -4(51)2 8(51)2 ГЛ. УН1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 542 т.
е. во всех случаях она полуопределена (положительно или отрицательно). Теорема 6 тут не применима, но поскольку 1 (х, у) = (х2 — 1)2+у4 — 1, то очевидно, что в точках ( — 1, 0), (1, 0) функция 1(х, у) имеет строгий минимум — 1 (и даже нелокальный), а в точке (О, 0) у нее нет экстремума, поскольку при х = 0 и у ф 0 1(О,у) = у4 ) О, а при у = 0 и достаточно малых х ~ 0 г'(х, 0) = х4 — 2хз < О. Замечание 2. После того как квадратичная форма (15) получена, исследование ее определенности может быть проведено с помощью известного из курса алгебры критерия Сильвестра1). Напомним, что в силу критерия Сильвестра квадратичная форма 2 абх'хз с симметрической матрицей 61=1 положительно определена тогда и только тогда, когда положительны все главные миноры этой матрицы; форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда аы < 0 и при переходе от любого главного минора матрицы к главному минору следующего порядка знак значения минора меняется.
Пример 4. Найдем экстремумы функции ~(х,у) = ху1п (х2+у2), определенной в плоскости 1к~ всюду, кроме начала координат. Решая систему ду дх — (х, у) = у1п (х + у ) + д,1 ду — (х, у) = х1п (х + у ) + ПДж.Дж. Сильвестр (1814 — 1897) — английский математик; наиболее известные его работы относятся к алгебре. находим все критические точки функции 2хзу х2+ у2 2ху2 х2+ у2 14. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 543 дг/' — (х, у) д.
бху 4хзу 2 + „2 ~хг + уг)г> 4х2у2 =1п(х +уг)+2— ~ г + уг)2 бху 4хуз х2 + у2 (хг + у2)2 ' д22е диду(х У) д2 ге — 2(х У) то в точке ( ~, 1 квадратичная форма д; /1хе)ЧЮ имеет матрицу ~/2е' 2/гее/ '>О 2)' т. е. она положительно определена, и, следовательно, в этой точке функ- ция имеет локальный минимум ~/2е е~/2е 2е В силу сделанных выше наблюдений относительно особенностей рассматриваемой функции можно сразу же заключить, что — также локальный минимум, а ~/2е ~/2е е~/2е ~/2е 2е — локальные максимумы функции. Впрочем, это можно проверить и непосредственно, убедившись в определенности соответствующей ква- Поскольку функция нечетна относительно каждого из двух своих аргументов в отдельности, то точки (О, х1) и (х1, 0), очевидно, не являются точками экстремума нашей функции. Видно также, что данная функция не меняет своего значения при одновременном изменении знака обеих переменных х и у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
