1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Пусть 1: П(х) -+ $'(у) — отображение окрестности У(х) С Й"' точки х на окрестность $'(у) С 5С точки у = У(х). Пусть 1 непрерывно в точке х и имеет обратное отображение 1 1: $'(у) — Ь вЂ” 1 П(х), непрерывное в точке у. Если при этом отображение у" дифферениируемо в точке х и касательное к 1' в точке х отображение 1" (х): Т~Ц' — > ТР„~ имеет обратное отображение [~'(х)] 1: ТР™ — ьТР'", то отображение 1" 1: Ъ'(у) — ь — + П(х) дифферениируемо в точке у = 1(х) и справедливо равенство (1 ) (У) = [1 (х)] Таким образом, взаимно обратные дифференцируемые отображения имеют в соответствующих точках взаимно обратные касательные отображения. ~ Положим 1(х) = у У(х + Ь) = у + 1, 1 = У(х + Ь) — у(х); тогда (у) = х, Будем предполагать, что й столь мало, что х+ и Н У(х), а значит, у+ 1 н ь'(у).
13. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 521 Из непрерывности 1 в х и 1' 1 в у следует, что 1= ~(х+6) — ~(х) -+ О при 6-+ О 6 = ~ '(у + 1) — ~ '(у) -+ О при Х вЂ” + О. Из дифференцируемости 1' в точке х следует,что (2) 1= ~'(х)6+о(6) при 6 — ~ О, (3) т.е. можно утверждать даже, что 1 = 0(6) при 6 — 1 О (см. соотношения (17), (18) из 21). Покажем, что если ~'(х) — обратимое линейное отображение, то и 6 = 0(1) при 1-+ О.
В самом деле, из (3) последовательно получаем (4) где число Б > О выбрано так, что ((о(6Ц < -))6)) при !)Ц < б. Тогда с учетом соотношения (2) находим )(Ц) < 2 () [~'(х)] 1) = Оф)0 при 1-+ О, что равносильно соотношению 6 = 0(1) при 1 -+ О. Отсюда, в частности, следует, что о(6) = о(1) при 1-+ О. 6 = [1~(х)] 1+ о(1) при 1-+ О ~ '(у + 1) — ~ '(у) = [ 1'(х)] 1 + о(1) при 1 — + О. а или [1'(х)] 1 = 6+ [~'(х)] о(6) [~'(х)] 1 = 6+ о(6) ([~'(.)] ' ()>ю-~~ м (([1 (х)] 1(! > — //Ц Учитывая зто, из (2) и (4) получаем при 6-+ О, при 6-1 О, при 6-+ О, при )(Ц < Б, ГЛ.
УЦ1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 522 Из алгебры известно, что если линейному преобразованию Е: К -+ — э К™ отвечает матрица А, то обратному к Х, линейному преобразованию Е ": К'" — ~ К соответствует матрица А ', обратная к матрице А. Построение элементов обратной матрицы также известно из алгебры, следовательно, доказанная теорема дает прямой рецепт для построения отображения (1 ~) (у). Отметим, что при т = 1, т.е.
при К™ = К, якобиан отображения 1': сс(х) -+ Ъ'(у) в точке х сводится к одному числу 1'(х) — производной функции у в точке х, а линейное преобразование ~'(х): ТК вЂ” ~ ТК сводится к умножению на это число: Ь ~-э 1'(х) Ьь Это линейное преобразование обратимо тогда и только тогда, когда 1'(х) ф О, причем матрица обратного преобразования [1'(х)): ТК„-+ ТК также состоит из одного числа, равного [1'(х)], т.е. обратного к С'(х). Значит, те— 1 орема 4 содержит в себе также доказанное ранее правило отыскания производной обратной функции. Задачи и упражнения 1.
а) Два пути С ~-~ х1(С), С ~-+ хэ(С) в К~' будем считать эквивалентными в точке хе с К'", если х~(0) = хэ(0) = хе и д(х1(С), хэ(С)) = о(С) при С -+ О. Проверьте, что указанное отношение действительно является отношением эквивалентности, т. е. оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Ь) Проверьте, что между векторами в е ТК, и классами эквивалентных в точке хе гладких путей имеется взаимно однозначное соответствие. с) Отождествляя касательное пространство ТВ., с множеством классов о эквивалентных в точке хе е К"' гладких путей, введите операции сложения классов путей и умножения их на число.
с1) Проверьте, зависят ли введенные вами операции от системы координат в У". 2. а) Изобразите график функции з = х~ + 4у~, где (х,у, г) — декартовы координаты в Кз. Ь) Пусть 1; С вЂ > К вЂ числов функция, определенная в области С С К Уровнем (с-уровнем) функции называется множество Е С С, на котором функция принимает одно значение (1(Е) = с). Точнее, Е = 1' 1(с). Изобразите в К~ уровни функции, указанной в а). с) Найдите градиент функции С(х, у) = хз + 4уэ и проверьте, что в любой точке (х, у) вектор яга41 ортогонален линии уровня функции 1, проходящей через эту точку. о) Используя результаты задач а), Ь), с), проложите на поверхности з = = хэ + 4уэ самый короткий, на ваш взгляд, маршрут спуска из точки (2, 1, 8) поверхности в низшую ее точку (О, О, 0).
3 3. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 523 е) Какой алгоритм, пригодный для ЭВМ, вы могли бы предложить для отыскания минимума функции у(х,у) = ха + 4ув? 3. Говорят, что в области С пространства ~и задано векторное ноле, если каждой точке х Е С сопоставлен некоторый вектор и(х) Е ТИ, Векторное поле и(х) в С называется иогаенциальнмм, если в области С есть числовая функция П: С вЂ” г И такая, что и(х) = ягаг) П(х). Функцию (?(х) называют потенциалом поля и(х).
(В физике потенциалом обычно называют функцию — 1?(х), а функцию 1?(х) называют силовой функцией, если речь идет о поле сил.) а) Изобразите на плоскости с декартовыми координатами (х,у) поле ягаг1у(х,у) для каждой из функций уг(х,у) = хг+ уз; (а(х,у) = — (ха+у ); уз(х, у) = агс1Е (х/у) в области у > О; у4(х, у) = ху. Ь) Согласно закону Ньютона частица массы т, находящаяся в точке О й Из, притягивает частицу массы 1, находящуюся в точке х Е И~ (х ф О), с силой г = -т~г! 'г, где г — вектор Ох (размерную постоянную С мы опустили).
Покажите, что векторное поле г" (х) в Из '1 О потенциально. с) Проверьте, что массы т;, (1 = 1,...,и), помещенные в точках (С„ц;,~,) (г = 1,..., и) соответственно, создают вне этих точек ньютоновское поле сил, потенциалом которого служит функция П(х,у,х) = ~ (х-Ы'+(у-Чд'+(х-Ы' г1) Укажите потенциал кулоновского электростатического поля напряженности, создаваемого точечными зарядами д, (1 = 1,...,п), помещенными в точках ®,г1„ ~,) (1 = 1,...,п) соответственно. 4. Рассмотрим движение идеальной несжимаемой жидкости в пространстве, свободном от внешних (в том числе и гравитационных) сил.
Пусть и = и(х,у, г,1), и = а(х,у,е,1), р = р(х,у,х,г), р = р(х, у,г,г) суть соответственно скорость, ускорение, плотность и давление в точке (х,у,х) среды в момент времени Е Идеальность жидкости означает, что давление в любой ее точке не зависит от направления. а) Выделите иэ жидкости объем в виде небольшого параллелепипеда, одно из ребер которого параллельно вектору ягабр(х, у, х,1) (где ягэг1 р берется по пространственным координатам). Оцените действующую на объем за счет перепада давления силу и дайте приближенную формулу для ускорения этого объема, считая жидкость несжимаемой.
Ь) Проверьте, согласуется ли полученный вами в а) результат с уравнением Эйлера ра = — ягаг1 р. с) Линия, в любой точке которой касательная имеет направление вектора скорости в этой точке, называется линией тока. Движение называется усгаа- ГЛ. ЧП1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 524 новившимся, если функции и, а, р, р не зависят от Ь Используя Ъ), покажите, что вдоль линий тока в установившемся потоке несжимаемой жидкости величина 1)~и()~ + р)р постоянна (заквн БернуллиО). д) Как изменятся формулы в а) и Ь), если движение будет происходить в поле тяжести вблизи поверхности Земли? Покажите, что в этом случае ра = — кгаг1(де+ р) и потому вдоль каждой линии тока установившегося движения несжимаемой жидкости на сей раэ постоянна величина -~~и0з + де + р/р, где д — ускорение силы тяжести, а з — высота точки линии тока, отсчитываемая от некоторого нулевого уровня.
е) Объясните на основании предыдущих результатов, почему несущее крыло имеет характерный выпуклый вверх профиль. 1) В цилиндрический стакан с круглым дном радиуса В налита до уровня 6 несжимаемая идеальная жидкость плотности р. После этого стакан стали вращать вокруг его оси с угловой скоростью ас Используя несжимаемость жидкости, найдите уравнение е = 7(х, у) ее поверхности в установившемся режиме (см.
также задачу 3 из гл. Ч, 8 1). 8) По найденному в 1) уравнению х = 7(х, у) поверхности напишите формулу р = р(х,у, е) для давления в любой точке (х, у, е) объема, заполненного вращающейся жидкостью. Проверьте, выполнено ли для найденной вами формулы полученное в г() уравнение ра = — ясам (де + р). Ь) Не могли бы вы теперь объяснить, почему чаинки тонут (хотя и не слишком быстро!), а при вращении чая собираются не у стенок стакана, а в центре дна? 5. Оценка погрешностей вычислен я значений функции. а) Используя определение дифференцируемой функции и приближенное равенство 117'(х; Й) и ау'(х)6, покажите, что относительная погрешность б = = б(1(х); Ь) в значении произведения 7'(х) = хг ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
