1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Это замечание относится в полной мере ко всему, кроме последнего утверждения д), доказательство которого мы сейчас проведем. ~ т1) Пусть Г: 1 — + Š— путь, являющийся таким непрерывным отображением отрезка [тт,11] = 1 С К, что Г(ст) = а, Гф) = 6. В силу связности Е такой путь существует. Функция у' о Г: 1 -+ К, как композиция непрерывных функций, непрерывна, поэтому на отрезке [ст,)3] найдется точка .т Е [ст, 13], в которой 1' 0 Г(у) = С. Положим с = Г(у). Тогда с Н Е и у(с) = С. ~ Пример 12.
Сфера Я(0; т.), задаваемая в и"" уравнением (х ) + ... + (х™) = г, является компактом. Действительно,из непрерывности функции следует замкнутость сферы, а из того, что на сфере ]х'] < т (т = = 1,..., та), следует ее ограниченность. Функция (х',...,х") +(х')'+ +(х")'-(х"'1)'- .-(хт)' непрерывна на всем пространстве К™, поэтому ее ограничение на сферу есть также непрерывная функция, которая в силу глобального свойства с) непрерывных функций имеет на сфере минимальное и максимальное значения. В точках сферы (1,0,...,0), (О,...,О, 1) рассматриваемая функция принимает значения 1 и — 1 соответственно.
Ввиду связности сферы (см. задачу 3 в конце параграфа) на основании глобального свойства т1) непрерывных функций можно утверждать, что на сфере есть точка, в которой рассматриваемая функция обращается в нуль. Пример 13. Открытое множество К '1 Я(0;г) при г > 0 не является областью,так как оно несвязно. 22. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 497 Действительно, если Г: 1 -+ К™ есть путь, один конец которого совпадает с точкой хо = (О,..., О), а другой — с некоторой точкой х~ = = (х~~,..., х™~) такой, что (х~~) +...
+ (х™~)2 > т2, то композиция непрерывных отображений Г: 1 -+ К™ и 1: К"" — ~ К„где (х~,...,х™) +(х ) +...+(х ), есть непрерывная на отрезке 1 функция, принимающая на его концах значения, меньшее и большее чем т2. Значит, на этом отрезке найдется точка у, в которой (1 о Г)(у) = т2. Тогда точка х = Г(1) носителя нашего пути оказывается лежащей на сфере Я(0; т). Мы показали, что нельзя выйти из шара В(0; т) С К, не пересекая его граничной сферы Я(0;т).
Задачи и упражнения 1. Пусть 1 Е С(К"', К). Покажите, что а) множество Е~ —— (х Е К ~ 1(х) < с) открыто в К Ь) множество Ез = (х Е К™ ~ 1(х) < с) замкнуто в К с) множество Ез = (х е К~ ~ 1(х) = с) замкнуто в К~; б) если 1(х) — ~ +ос при х -+ со, то Ея и Ез компактны в К~; е) для любой функции 1: К -+ К множество Е4 = (х Е К ! ь~(1; х) > е) замкнуто в К"'. 2. Покажите, что отображение 1; К -+ К" непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз любого открытого в К" множества является открытым в К"' множеством.
3. Покажите, что а) образ 1(Е) связного множества Е С К при непрерывном отображении 1: Е -+ К" является множеством связным; Ь) объединение связных множеств, имеющих общую точку, является связным множеством; с) полусфера (х')~+...+(х )~ = 1, х™ > О, является связным множеством; с1) сфера (х ) +... + (х"') = 1 является связным множеством; е) если Е С К и Е связно, то Е есть промежуток на К (т.е. отрезок, полуинтервал,интервал,луч или вся числовая ось); 1) если хе †внутренн, а х~ †внешн точка множества М С К , то носитель любого пути с концами хе, х~ пересекает границу множества М. ГЛАВА 'Ч'Ш ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 3 1.
Векторная структура в К™ х1 + х2 (х1 + х2~ ° ~ х1 + х2 ) ~ а умножение элемента х = (х1,..., х ) на число Л Е И вЂ” соотношением Лх = (Лх1,, Лх ), (2) то 2."' становится векторным пространством над полем действительных чисел. Его точки теперь можно называть векторами. Векторы е; = (0,...,0,1,0,...,0) (г = 1,...,1п) (3) (где единица стоит лишь на 1-м месте) образуют максимальную линейно независимую систему векторов этого пространства, ввиду чего оно оказывается т-мерным векторным пространством.
Любой вектор х Е К может быть разложен по базису (3), т.е. представлен в виде х=х е1+...+х е,„. 1 Тй (4) 1. Р" как векторное пространство. Из курса алгебры вам уже хорошо известно понятие векторного пространства. если в к™ ввести операцию сложения элементов х1 = (х1,...,х, ), х2 = (х2,..., х™2) по Формуле 5 1. ВектОРнАЯ стРУктУРА В и™ 499 Индекс при векторе мы условимся писать внизу, а координаты, как и до сих пор, будем отмечать верхним индексом. Это удобно по многим причинам, одна иэ которых, в частности, состоит в том, что, следуя Эйнштейну11, можно условиться выражения типа (4) записывать коротко в виде считая, что появление одинакового индекса сверху и снизу означает суммирование по этому индексу в пределах диапазона его изменения.
ЦЛ1х1+ Лгхг) = Л1Цх1) + ЛгЦяг). Нас будут интересовать линейные отображения Ь: К вЂ” у К". Если (е1,...,е ) и (е1,...,е„) — фиксированные базисы пространств 1тш и лкп соответственно, то, зная разложения Це;) = а1е1+... + а,"е„= а11е (з = 1,..., т) (6) образов векторов базиса при линейном отображении Е: К™ — з К", мы в силу линейности преобразования 7, можем найти разложение по базису (е1,..., е„) образа Ц11) любого вектора й = Ь1е1+... + 6"'е,„= а1е,. А именно: х(1з) = ь(че1) = 1з'Цег) = а'аз1е = а1ь'е„.
(7) Значит, в координатной записи: Цй) = (а; Ь',...,а";а'). (8) Отображение Ь: Н™ -+ К" при фиксированном в Н" базисе можно, таким образом, рассматривать как набор из и (координатных) отображений 1,1: К™ -+ 2. ПА. Эйнштейн (1879 — 1955) — крупнейший физик ХХ столетил, работы которого по квантовой теории и особенно по теории относительности оказали революционизирующее влилние на всю современную физику. 2. Линейные отображения Ь: Р" -+ К'. Напомним, что отображение Ь: Х -+ У векторного пространства Х в векторное пространство У называется линейным, если для любых х1, хг Е Х и Л1, Лг Е К выполнено ГЛ.
ЧН1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 500 С учетом (8) легко заключаем, что отображение 1,: К™ -+ К" линейно тогда и только тогда, когда каждое отображение П набора (9) линейно. Если записать набор (9) в виде столбца, то с учетом соотношения (8) имеем (10) Итак, фиксация базисов в К и К" позволяет установить взаимно однозначное соответствие между линейными отображениями ь": К -+ -+ К" и т х и-матрицами (а~) (г = 1,...,т, у = 1,...,п). При этом столбец с номером г' матрицы (а(), отвечающей отображению ь, состоит из координат образа Х (е,) вектора е, Е (е1,..., е 1. Координаты образа ЦЬ) произвольного вектора Ь = Ь1е; Е ж" могут быть получены из соотношения (10) умножением матрицы линейного отображения на столбец координат вектора Ь.
При наличии в К" структуры векторного пространства можно говорить о линейной комбинации Л1)1 + Л2)з отображений ~1. Х -+ К", Ь: Х -+ К", полагая ( 1Л + Л2У2)(х):= Л1,(1(х) + Лз~з(х). (11) В частности, линейная комбинация линейных отображений ь1 . К'" -+ К", 1з .. К™ — + К" есть, в соответствии с определением (11), отображение Ь + Л111(Ь) + ЛзЬ2(Ь) = Ь(Ь), которое, очевидно, линейно. Матрица этого отображения есть соответствующая линейная комбинация матриц отображений Х,1 и Ьз.
Композиция С = ВоА линейных отображений А: К™ -+ К", В: К" — 1 -+ К", очевидно, также является линейным отображением, матрица которого, как следует из (10), есть произведение матрицы отображения А и матрицы отображения В (на которую умножаем слева). Кстати, закон умножения матриц определен известным вам образом именно для того, чтобы композиции отображений отвечало произведение матриц. 3. Норма в К . Величину 9х(~ = (х1)з+... + (х'")2 (12) назовем нормой вектора х = (х,..., х™) Е К 11. ВЕКТОРНАЯ СТРУКТУРА В Ж™ 501 Из этого определения с учетом неравенства Минковского следу- ет, что 1' )(х0 > О, 2' (ЦхЦ = 0) с.
"(х = 0), 3' 0Лх!) = )Л) ))х!), где Л б И, 4' ох1+ х20 ( 'ох1'о + охго. Вообще, любую функцию 0 )): Х -+ И на векторном пространст- ве Х, удовлетворяющую условиям 1' -4', называют нормой в векторном пространстве. Иногда, чтобы уточнить, о какой норме идет речь, знак нормы вектора наделяют символом того пространства, в котором эту норму рассматривают.
например, можно написать |(х0и или оуои, од- нако мы, как правило, не станем этого делать, ибо из контекста, всегда будет ясно, о каком пространстве и какой норме идет речь. Заметим, что в силу (12) (13) ~!х2 — х1~! = 4х1,х2), где 4х1,хз) — расстояние в И между векторами х1 и хз, рассматриваемыми как точки метрического пространства И™. Из соотношения (13) видно, что следующие условия равносильны: х-+хо, 4х,хо) -+О, 1~х — хо!! -+О. Ввиду (13), в частности, имеем '0х)) = с1(О,х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
