1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 79
Текст из файла (страница 79)
ЪЧ. ИНТЕГРАЛ По этой причине иногда, ставя вопрос о сходимости несобственного интеграла, вообще опускают тот предел интегрирования, около которого интеграл не имеет особенности. При таком соглашении полученные в примерах 1, 2 результаты можно записать так: -~-оь интеграл [ — сходится только при а > 1; ь интеграл [ — сходится только при о < 1. дх -ьо х Знак +О в последнем интеграле показывает, что рассматривается область х > О. Заменой переменной из последнего интеграла сразу получаем, что интеграл ) * сходится только при о < 1. ьо (х — хо) 2. Исследование сходимости несобственного интеграла а.
Критерий Коши. В силу определения 3, сходимость несобственного интеграла (3) равносильна существованию предела функции ь .с(6) = У(х) дх а (6) при Ь -+ ы, Ь Е [а, ы[. Поэтому справедливо следующее ь2 огтверждение 2 (критерий Коши сходимости несобственного интеграла). Если 4ункцил х ь-ь ~(х) определена на промежутке [а,ы[ и интегрируема на любом отрезке [а, 6) С [а,ы[, то интеграл [ 1'(х) дх а сходится тогда и только тогда, когда длл любого е > О можно указать В Е [а,ы[ так, что при любых 6ы 62 е [а,ы[ таких, что В < Ьы В < 62, имеет место соотношение 1 5.
НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 463 ~ Действительно, ведь ьг Ь2 ь, поэтому выписанное условие есть просто критерий Коши существова- ния предела функции У'(6) при Ь -+ ю, Ь Н [а, ы(. ь Ь. Абсолютны сходимость несобственного интеграла Определение 4. Про несобственный интеграл [ у(х) дх говорят, а что он сходится абсолютно, если сходится интеграл [ (Д(х) дх. а В силу неравенства Ьь у(х) дх (ХНх) д Ь1 ь, и утверждения 2 можем заключить, что если интеграл сходится абсолютно, то он сходится. Исследование абсолютной сходимости сводится к исследованию сходимости интеграла от неотрицательной функции. Но в этом случае име- ем Утверждение 3.
Если функция ~ удовлетворяет условиям определения 3 и у(х) > 0 на (а,ю(, то несобственный интеграл (3) суиьествует в том и только в том случае, когда функция (б) ограничена на [а,ш[. < Действительно, если у(х) > 0 на (а,ю(, то функция (6) неубывающая на [а, ы[ и потому она имеет предел при Ь -+ ю, Ь Н (а, ю[, если и только если она ограничена. ° Следствие (интегральный признак сходимости ряда). Если х ь ~-+ ~(х) — определенная на промежутке (1, +со[ неотрицательная, невозрастаюи4ая, интегрируемая на каждом отрезке (1,6] С (1,+со[ В качестве примера использования этого утверждения рассмотрим такое его ГЛ.
ЧЕ ИНТЕГРАЛ 464 функция, тпо ряд ~~т т"(и) = т"(1) + т"(2) + .. п=1 и интеерал ~(х) дх сходятася или расходятася одновременно. ~ Из приведенных условий вытекает, что при любом и Е Ы выполнены неравенства 1(п + 1) < у(х) дх < Дп).
После суммирования этих неравенств получаем й тс-~-1 й й,т( 1< ~11*1 <Ет(.1 п=1 1 п=1 или вй >1 — ~(1) < У'(1+ 1) < вй, й ь где вй = 2,1'(и), а У(Ь) = ] .т"(х) дх. Поскольку вй и У'(Ь) — неубываюп=1 1 щие функции своих аргументов, то полученные неравенства и доказывают высказанное утверждение.
° В частности, теперь можно сказать, что результат примера 1 эквивалентен тому, что ряд 1 п=1 сходится только при тт ) 1. Наиболее часто используемым следствием утверждения 3 является следующая ТЕОрЕМа (тЕОрЕМа СраВНЕНИя). ПуСтЬ фуНКции Х т-т ДХ), Х 1 д(Х) определены на промежутке «а,от[ и интегрируемьь на любом отпрезке [а,ь] с [а,1о[. 5 б. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 4бб Если на [а,ю[ О ( (у(х) < д(х), то из сходимости интеграла (5) следует сходимость интеграла (4) и справедливо неравенство Г Дх) дх < д(х) дх, а а а из расходимости интеграла (4) следует расходимость интеграла (5). м Из усяовий теоремы и неравенств для собственного интеграла Римана при любом Ь Е [а, ю[ имеем Ь 6 У(Ь) = Дх) дх < д(х) дх = Д(Ь). Поскольку обе функции У', Д неубывающие на [а,ю[, то теорема следует из написанного неравенства и утверждения 3.
~ Замечание 3. Если про функции у, д, участвующие в теореме, вместо неравенств О < у(х) < д(х) известно, что они неотрицательны на [а,ь~[иодного порядкаприх-~ ю, х Е [а,ю[, т.е. что найдутся такие положительные константы с1, с2, что с4у(х) < д(х) < с2~(х), то с учетом линейности несобственного интеграла из доказанной теоремы в этом случае можно заключить, что интегралы (4), (5) сходятся или расходятся одновременно.
Пример 4. Интеграл .~-со Г ~/х дх Д+ х4 сходится, так как ;/х 1 ,Д+ х4 хз/2 при х -+ +оо. ГЛ. ЧЕ ИНТЕГРАЛ 466 Пример 5. Интеграл сходится абсолютно, ибо (соах~ 1 при х > 1. Следовательно, Г соя х .г 1 Пример 8. Интеграл х2 сходится, так как е * < е * при х > 1 и Г е * сЬ < / е *сЬ = —. е 1 1 Пример Т. Интеграл 1й расходится, ибо 1 1 — >— 1пх х при достаточно больших значениях х.
Пример 8. Интеграл Эйлера я(2 сходится, так как 1 ~1па1пх~ )1пх) <— ;/х при х -+ +О. 1 5. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 467 Пример 9. Эллиптический интеграл о при О < йг < 1 сходится, поскольку 222)1 — 1 ) )1 — )'1 при х -+ 1 — О. Пример 10. Интеграл сходится, так как ;7 вш )р ()р — 22) ~) ~ при д -+ )р — О. Пример 11. Интеграл (7) при 0 < о)о < я сходится, поскольку при 2)) — 1 )2)о — 0 Яп — — Яп — ~7а1по)о (Ро — ф) ' .
. 2)ла . 22)7 г-— 1,)2 2 2 (8) Соотношение (7) выражает зависимость периода колебаний математического маятника от его длины 7, и начального угла его отклонения, отсчитываемого от радиуса, идущего в нижнюю точку траектории качания. Формула (7) является элементарной вариацией формулы (17) предыдущего параграфа. Маятник можно себе представлять, например, как невесомый стержень, один конец которого шарнирно закреплен, а другой, с присоединенной к нему точечной массой, свободен.
ГЛ. У1. ИНТЕГРАЛ 468 В таком случае можно говорить о любых начальных углах ув Е (О, сг]. Н = 0 = сг маятник качаться вообще не будет, находясь в перРи гРв = и Юв = вом случае в состоянии устойчивого, а во втором случае в состоянии неустойчивого равновесия. Интересно отметить, что из (7) и (8) нетрудно получить, что Т -+ оо при грв — ь я— — О, т. е. период колебаний маятника неограниченно растет по мере приближения его начального положения гггр к верхнему положению (неустойчивого) равновесия. с. вселенная сходимость несобственного интеграла -~-сю -~-сю -~-сю гг,Г2 в1пх совх~~- г 1 совх /' совх — дх =— Х Х гг,Г2 Х гг,Г2 гг,г2 коль скоро последний интеграл сходится. Но, как мы видели в приме- ре 5, этот интеграл сходится, поэтому сходится также интеграл (9) лгг2 Вместе с тем интеграл (9) не является абсолютно сходящимся.
Действительно, при Ь Е (я/2, +ос[ имеем ь ь в1п~х 1 /' йх 1 /' сов2х х 2/ х 2/ х ~ '— " г*>~ ггГ2 гг/2 гг,г2 Интеграл сов 2х дхг гггг2 как можно проверить интегрированием по частям, является сходящимся, поэтому при Ь вЂ” ь +со разность в правой части соотношения (10) Определение 5. Если несобственный интеграл сходится, но не абсолютно, то говорят, что он сходится условно. Пример 12. Используя замечание 1, по формуле интстрирования по частям в несобственном интеграле находим, что 15.
НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 469 стремится к +со и в силу оценки [10) интеграл [9) не является абсо- лютно сходящимся. Приведем теперь один специальный признак сходимости несобственных интегралов, опирающийся на вторую теорему о среднем и, значит, в сущности на ту же формулу интегрирования по частям. Ъ'тверждение 4 (признак Абеля — Дирихле сходимости интеграла). Пусть х ь+ 1"[х), х н д[х) — функции, определенные на промежутке [а,ы[ и интегрируемые на любом отрезке [а, Ь) С [а,ю[. Пусть д — монотонная функция. Тогда для сходимости несобстеенного интеграла У дП )д а достаточно, чтобы выполнялась либо пара услоеий о1) интеграл [ у[х) дх сходится, а )у1) функция д ограничена на [а,ю[, либо пара услоеий 6 аг) функция У[Ь) = [ у[х) дх ограничена на [а,ю[, а Д) функция д[х) стремится к нулю при х — 6 ы, х е [а, ю[.
м Для любых Ьы Ьг Е [а, ы[ по второй теореме о среднем имеем 62 66 (у д)[х) дх = д(Ь1) у[х) дх+ д[Ьг) у[х) дх, 61 6! где ( — точка, лежащая между Ь1 и Ьг. Отсюда в силу критерия Коши [утверждение 2) заключаем, что интеграл [11) действительно сходится, если выполнена любая из двух указанных выше пар условий. ~ь 3. Несобственные интегралы с несколькими особенностями. До сих пор мы говорили о несобственных интегралах с одной особенностью, связанной с неограниченностью функции у одного из пределов интегрирования или с неограниченностью самого этого предела. ГЛ. Ч1.
ИНТЕГРАЛ 470 Здесь мы укажем, в каком смысле понимаются другие возможные варианты несобственного интеграла. Если оба предела интегрирования являются особенностями того или другого из указанных выше типов, то полагают по определению мг с Ы2 Г ~(х) г1х:= ~(х) (Ь+ ~(х) г1х, (12) Пример 13. = агсвшх[ +агся1пх[ = агсяшх~ — 1 [о Пример 14. Интеграл называется интеералом Эйлера — Пуассона, а иногда еще и интегралом Гаусса.
Он, очевидно, сходится в указанном выше смысле. Позже будет показано, что он равен ~/я. Пример 15. Интеграл Я о где с — произвольная точка промежутка )о~1, ю2[. При этом предполагается, что каждый из несобственных интегралов в правой части соотношения (12) сходится. В противном случае говорят, что интеграл, стоящий в левой части (12), расходится. В силу замечания 2 и свойства аддитивности несобственного интеграла определение (12) корректно в том смысле, что оно на самом деле не зависит от выбора точки с 6 )ы1, ма[. 471 1 5. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ разойдется по крайней мере один расходится, поскольку при любом о из двух интегралов 1 |Й 1 Пример 16, Интеграл | о1пх с(х хо о сходится, если сходится каждый из интегралов 1 о Первый из этих интегралов сходится, если о < 2, ибо о1пх 1 ь М ь Г 1(х) дх:= у(х) йх + 7'(х) дх, а я М (13) требуя, чтобы оба стоящих справа интеграла существовали.
Пример 17. В смысле соглашения (13) при х -+ +О. Второй интеграл сходится при о > О, что можно проверить непосредственно интегрированием по частям, аналогичным проделанному в примере 12, или сославшись на признак Абеля — Дирихле. Таким образом, исходный интеграл имеет смысл при О ( а с 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
