1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Какова наивысшая степень полиномов Р, для которых точны формулы прямоугольников, трапеций и парабол соответственно? Пусть Ь = „; хь = а+ ЬЬ, Ь = 0,1,...,и; уь = Г(хь). е) Покажите, что в следующей формуле прлмоугольникоо ь ,Г(х) в1х = 6(уо + ув +... + у„ь) + Яь а ! вС остаток имеет вид Вв — — ~~(Ь вЂ” а)Ь, где С б [а, Ь). ОТ. Симпсон (1710 — 1761) — английский математик. ь и покажите, что [1ь' [ < — ~ / [ив (х)[Йх.
вв с) В случаях оь), аз), оз) формула (ь) называется соответственно формулой прлмоуеольнихое, трапеций и парабол. В последнем случае ее называют также формулой Симпсона'в. Покажите, что в случаях аз), аз), оз) имеют место следующие формулы: 3 3.
ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ 435 1) Покажите, что в следующей формуле трапеций Ь з (з)»»х 2 1(уо + Уп) + 2(У» + Уз + . + Уп-»)1 + Пз а »нов остаток имеет вид Вз — — — » — л»м(Ь вЂ” а)Ьз, где С Е (а, Ь]. 3) Покажите, что в следующей формуле Симпсона (формуле парабол) Ь У(я) "я = 3 ((Уо + У ) + 4(у» + Уз + . " + У -») + +2(Уз+ У»+ .. +У вЂ” з)) + Аз которая пишется при четных значениях и, остаток»»з имеет вид ~0® Вз — — — (Ь вЂ” а) Ь», 180 где С В (а, Ь].
Ь) Исходя из соотношения 1 о вычислите и с точностью до 10 з, пользуясь формулами прямоугольников, трапеций и парабол. Обратите внимание на эффективность формулы Симпсона, которая по этой причине является наиболее распространенной кеадрапзурной формулой (так называют формулы численного интегрирования в одномерном случае, отождествляя интеграл с площадью соответствующей криволинейной трапеции) .
10. Преобразуя формулу (7), получите следующие виды записи остаточного члена формулы Тейлора, где положено Ь = я — а: 1 Ьн а) / 100(а+тЬ)(1 — т)" 'Й-; (-- )../ о 1 Ь) ™ —, 1Х00(* — Л] о 11. Покажите, что важная формула (9) замены переменной в интеграле остается в силе и без предположения монотонности функции замены. ГЛ.
УЕ ИНТЕГРАЛ 436 З 4. Некоторые приложения интеграла Использование интеграла в приложениях часто происходит по одной и той же схеме, которую по этой причине полезно изложить один раз в чистом виде. Этому посвящен первый пункт настоящего параграфа. 1. Аддитивная функция ориентированного промежутка и интеграл. Обсуждая в 6 2 свойство аддитивности интеграла, мы ввели понятие аддитивной функции ориентированного промелсупта. Напомним, что это функция (а, Д) ~-+ 1(а, Я, которая каждой упорядоченной паре (а, В) точек о, Д е [а, 6] фиксированного отрезка [а, Ь] ставит в соответствие число 1(а„д), причем так, что для любой тройки точек а, ~3, у Е [а, Ь] выполнено равенство 1(о, у) =1(а,Р)+1(А у). Из (1) при а = Д = ч следует, что 1(а, о) = О, а при о = .~ получаем, что 1(а,/3) + 1(/Х,о) = О, т.е.
1(а,~З) = — 1(Ко). В этом сказывается влияние порядка точек а,,В. Полагая У (х) = 1(а, х), в силу аддитивности функции Х имеем 1(а, Я = 1(а,~З) — 1(а,а) = У (~3) — У'(а). Таким образом, каждая аддитивнвя функция ориентированного промежутка имеет вид 1(о, Р) = У- Р) — У'(а), (2) где х ~+ У'(х) — функция точки отрезка [а, Ь]. Легко проверить, что верно и обратное, т.е.
что любая функция х ~+ У'(х), определенная на отрезке [а, 6], порождает по формуле (2) аддитивную функцию ориентированного промежутка. Приведем два типичных примера. Пример 1. Если 1 Е Я,[а,6], то функция У'(х) = ] 1(~) сМ порождает, в силу формулы (2), аддитивную функцию 14. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 437 Заметим, что в данном случае функция У'(х) непрерывна на отрезке [а,6!. Пример 2.
Пусть отрезок [О, Ц есть невесомая струна с бусинкой единичной массы, прикрепленной к струне в точке х = 1/2. Пусть У'(х) есть масса, находящаяся на отрезке [О,х] струны. Тогда по условию О при х< 1/2, У(х) = 1 при 1/2<х<1. Физический смысл аддитивной функции 1(о, ]3) = У'(]3) — У'(сх) при 13 ) о — масса, попавшая в полуинтервал ]сх„3]. Поскольку функция У' разрывна, аддитивная функция 1(а, ]3) в рассматриваемом случае не может быть представлена как интеграл Римана от некоторой функции — плотности массы.
(Эта плотность, т.е. предел отношения массы промежутка к его длине, должна была бы равняться нулю в любой точке отрезка [а, Ь], кроме точки х = 1/2, где она должна была бы быть бесконечной.) Теперь докажем полезное для дальнейшего достаточное условие того, что аддитивнзя функция порождается интегралом. о'тверждение 1.
Пусть аддитивнал функция 1(а,]3), определеннал для точек сх, [3 отрезка [а,Ь], такова, что существует функиия / Е Я.[а,Ь], связанная с 1 следующим образом: длл любого отрезка [а,]3] такого, что а < сх < [3 < 6, выполняется соотношение [п1 /(х)(]3 — сх) < 1(сс,]3) < зпр /(х)(ф — сх). хе[а,р] хз[а р] Тогда 1(а,Ь) = 1(х) дх. 1 Пусть Р— произвольное разбиение а = хо « ... х„= 6 отрезка [а,Ь]; т; = ш1 /(х), М; = зпр /(х).
хв[х, ох;] хв[х;-ох,] Для каждого отрезка [х, н х;] разбиения Р имеем по условию т; Ах; < 1(х; ыхз) < М;Ах;, ГЛ. ЧЕ ИНТЕГРАЛ 438 Суммируя эти неравенства и пользуясь аддитивностью функции 1(о, р), получаем т;Ьх, < 1(а, Ь) < ~~> М,ььх;.
1=1 в=1 Крайние члены в последнем соотношении суть знакомые нам нижняя и верхняя суммы Дарбу функции 1, соответствующие разбиению Р отрезка [а, Ь]. При А(Р) -+ О обе они имеют своим пределом интеграл от 1 по отрезку [а, Ь]. Таким образом, переходя к пределу при Л(Р) -+ О, получаем, что ь 1(а, Ь) = 1(х) дх. а Продемонстрируем теперь утверждение 1 в работе. 2. Длина пути. Пусть частица движется в пространстве Кэ, и пусть известен закон ее движения г(1) = (х(Ф), у(1), я(г)), где х(ь), у(Ф), г(1) — прямоугольные декартовы координаты точки в момент времени 1. Мы хотим определить длину Ца, Ь] пути, пройденного точкой за промежуток времени а < 1 < Ь.
Уточним некоторые понятия. Определение 1. Путем в пространстве Кэ называется отображение 1 ~-+ (х(8), у(1), я(ь)) числового промежутка в пространство Кэ, задаваемое непрерывными на этом промежутке функциями х(1), у(1), г(1). Определение 2. Если 1 ~-+ (х(1), у(1), г(1)) есть путь, для которого областью изменения параметра 1 является отрезок [а, Ь], то точки А = (х(а), у(а), г(а)), В = (х(Ь), у(Ь), г(Ь)) пространства Кэ называются соответственно началом и концом пути. Определение 3. Путь называется замкнутым, если он имеет и начало, и конец и эти точки совпадают. Определение 4.
Если Г: 1 + Кз — путь, то образ Г(1) промежутка 1 в пространстве Кз называется носителем пути. в 4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 439 Носитель абстрактного пути может оказаться вовсе не тем, что мы хотели бы назвать линией. Существуют примеры путей, носители которых, например, содержат целый трехмерный куб (так называемые «кривые» Пеано). Однако если функции х(6), у(«), г(«) достаточно регулярны (как, например, в случае механического движения, когда они дифференцируемы), то ничего противоречащего нашей интуиции, как можно строго проверить, заведомо не произойдет.
Определение 5. Путь Г: 1 -+ Ф, для которого отображение 1 -+ — » Г(1) взаимно однозначно, называется простым путем или параметризованной кривой, а его носитель — кривой в Н . з Определение 6. Замкнутый путь Г: [а,Ь] -+ Ф называется простым замкнутым путем или простой замкнутой кривой, если путь Г: [а, 6] — » Из является простым. Значит, простой путь отличается от произвольного пути тем, что при движении по его носителю мы не возвращаемся в прежние точки, т.е. не пересекаем свою траекторию нигде, кроме, быть может, ее конца, если простой путь замкнут. Определение».
Путь Г: 1-+ Г«з называется путем данного класса гладкости, если задающие его функции х(1), у(1), г(~) принадлежат указанному классу. (Например, классу С[а, 6], СП)[а, 6] или С~~)[а, 6].) Определение 8. Путь Г: [а, 6] -+ Ф называется кусочно гладким, если отрезок [а, 6] можно разбить на конечное число отрезков, на каждом из которых соответствующее ограничение отображения Г задается непрерывно дифференцируемыми функциями. Именно гладкие пути, т. е.
пути класса СО), и кусочно гладкие пути мы и будем сейчас рассматривать. Вернемся к исходной задаче, которую теперь можно сформулировать как задачу определения длины гладкого пути Г: [а, Ь] -+ Кз. Наши исходные представления о длине «[с«, Д] пути, пройденного в промежуток времени с«< 6 < Д, таковы: во-первых, если о < Д < у, то ГЛ. Н1. ИНТЕГРАЛ 440 и, во-вторых, если е(г) = (й(1),у(г),й(г)) есть скорость точки в мо- мент 1, то ш1 ]гг(г)[(~3 — а) (1[а,11] < зпр [е(г)[(13 — а). хз[аД хз[аД Таким образом, если функции х(1), у(1), г(1) непрерывно дифференцируемы на [а, б], то в силу утверждения 1 мы однозначно приходим к формуле Ь ь 1[а,Ь] = ]е(г)]ггг = г1г, (3) 1[о ь] йг(1) + „г(1),11 а (4) Пример 3.
Опробуем формулу (4) на знакомом объекте. Пусть точка движется в плоскости по закону х = Всоз2:т1, у = Вз[п2гг1. За промежуток времени [О, 1] точка один раз пробежит окружность радиуса В, т.е. пройдет путь длины 2яВ, если длина окружности вычисляется по этой формуле. Проведем расчет по формуле (4): 1[0,1] = ( — 2яВзш2я1)з+ (2яВсоз2я1)зй = 2яВ. о Несмотря на ободряющее совпадение результатов, проведенное рассуждение содержит некоторые логические пробелы, на которые стоит обратить внимание. которую и принимаем теперь как определение длины гладкого пути Г: [о, Ь] -+ К .
Если я(1) = О, то носитель пути лежит в плоскости и формула (3) приобретает вид 14. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 441 из которого можно заключить, что отображение Г: [а, Ь] -+ й~ взаимно однозначно. Значит, по определению 5 график функции есть кривая в И . Формула (4) в данном случае упрощается, поскольку, полагая в ней х = 1, у = Д1), получаем 1[а,Ь] = 1+ [~ (х)] ~й. (6) В частности, если рассмотреть полуокружность у = ~/1 — хз -1 < х < 1 окружности х + у = 1, то для нее получим (7) Но под знаком последнего интеграла стоит неограниченная функция и, значит, он не существует в традиционном, изученном нами смысле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
