1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 70
Текст из файла (страница 70)
утверждение 4 из гл. Ъ', 8 5, и. 2), поэтому данное определение корректно. Лемма 2. а) Точка и конечное число точек суть множества меры нуль. Ь) Объединение конечного или счетно~о числа множеств меры нуль есть множество меры нуль. с) Подмножество множества меры нуль само есть множество меры нуль. 11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ 399 с1) Отрезок [а,Ь] при а < 6 не лвллетсл множеством меры нуль. м а) Точку можно покрыть одним интервалом длины меньшей, чем любое наперед заданное число е > О, поэтому точка является множеством меры нуль. В остальном а) вытекает из Ь).
Ь) Пусть Е = [] Е" — не более чем счетное объединение множеств Е" меры нуль. По е > О для каждого Е" строим покрытие 11й ) множества Е" такое, что '1,'[1,",] < 2п й Поскольку объединение не более чем счетного числа не более чем счетных множеств само не более чем счетно, промежутки 1й, й, и Е 1й1, образуют не более чем счетное покрытие множества Е, причем е е е ~~> ]1й ] < — + — +... + — +... = е.
2 22 ''' 2п п,й Порядок суммирования 1 ]1й [ по индексам и и й безразличен, ибо ряд п,й сходится к одной и той же сумме при любом порядке суммирования, если он сходится для какого-то порядка суммирования. Последнее в нашем случае имеет место, ибо любые частичные суммы нашего ряда ограничены сверху числом е. Итак, Е есть множество меры нуль в смысле Лебега.
с) Это утверждение, очевидно, непосредственно следует из определения множества меры нуль и определения покрытия. с1) Поскольку из любого покрытия отрезка интервалами можно выделить конечное покрытие, сумма длин промежутков которого, очевидно, не превосходит суммы длин промежутков исходного покрытия, то нам достаточно проверить, что сумма длин интервалов, образующих конечное покрытие отрезка [а, 6], не меньше длины 6 — а этого отрезка. Проведем индукцию по количеству интервалов покрытия. При и = 1, т.е. когда отрезок [а,Ь] содержится в одном интервале (сй, 1У), очевидно, имеем сй < а < 6 < 11 и 9 — сй > 6 — а.
Пусть утверждение доказано до индекса й Е И включительно. Рассмотрим покрытие, состоящее из Ь + 1 интервалов. Возьмем интервал [сйм а2), покрывающий точку а. Если сй2 > 6, то а2 — со > Ь вЂ” а и все доказано. Если же а < а2 < Ь, то отрезок [сй2, Ь] покрыт системой, состоящей уже не более чем из й интервалов, сумма длин которых по предположению индукции не меньше чем 6 — сй2. По 6 — а = (6 — сй2) + (сй2 — а) < (6 — а2) + (сй2 — о~) ГЛ.
ЧЕ ИНТЕГРАЛ 400 и, таким образом, сумма длин интервалов исходного покрытия отрез- ка [а, 6] больше, чем его длина Ь вЂ” а. ~ Интересно отметить, что в силу пунктов а) и Ь) леммы 2 множество Я всех рациональных точек числовой прямой К является множеством меры нуль, что на первый взгляд выглядит несколько неожиданным при сопоставлении с пунктом Й) той же леммы. Определение 8. Если некоторое свойство выполнено в любой точке множества Х, кроме, быть может, точек множества меры нуль, то говорят, что это свойство имеет место почти всюду на множестве Х или почти во всех точках множества Х.
Теперь сформулируем критерий Лебега. Теорема. Функция, определенная на отрезке, интегрируема по Роману на этом отрезке в том и только в том случае, когда она ограничена на этом отрезке и непрерывна почти во всех его точках. Итак, (1 Е Я[а, Ь]) «=> (1 ограничена на [а, 6]) Л А (1 непрерывна почти всюду на [а, 6]). Из критерия Лебега и свойств множеств меры нуль, изложенных в лемме 2, очевидно, легко можно получить как следствия 1, 2, 3 утверждения 2, так и утверждение 4.
Мы не станем сейчас доказывать критерий Лебега, поскольку при работе с достаточно регулярными функциями, с которыми нам предстоит иметь дело, он нам пока не нужен. Однако идейную сторону критерия Лебега вполне можно объяснить уже сейчас. Утверждение 2' содержало критерий интегрируемости, выраженп ный соотношением (10). Сумма 2 о~(1; Ь;)Ьхь может быть мала, пре«=1 жде всего, за счет множителей ю(~; Ь;), которые малы в малых окрестностях точек непрерывности функции.
Если же некоторые из отрезков Ьх; содержат точки разрыва функции, то для них ш® Ь,) не стремится к нулю, сколь мелким бы ни было разбиение Р отрезка [а, Ъ]. Однако о~® Ь,) < ь~® [а,6]) < оо в силу ограниченности ) на [а, Ь], поэтому сумма тех слагаемых, которые содержат точки разрыва, тоже может оказаться маленькой, если только мала сумма длин отрезков 11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА И ИНТЕГРИРУЕМООТЬ ФУНКЦИЙ 401 разбиения, покрывающих множество точек разрыва, или, точнее, если рост колебания функции на некоторых отрезках разбиения компенсируется малостью длин этих отрезков.
Точной реализацией и формулировкой этого наблюдения и является критерий Лебега. Приведем теперь два классических примера, поясняющих свойство функции быть интегрируемой по Риману. Пример 1. Функция Дирихле 1 при хЕЯ, Ю[х) = О при х ЕЙ~Я, рассматриваемая на отрезке [О, 1], не интегрируема на нем, поскольку для любого разбиения Р отрезка [О, 1] в каждом отрезке Ь; разбиения Р можно отметить как рациональную точку С,'з так и иррациональную точку с;. Тогда ~т(1;Р,С') = ~1 Ьх; = 1, ю=1 в то время как сг(У';Р,~Я) = ~~1 О Ьх1 = О. 1=1 Таким образом, интегральные суммы функции Ю(х) не могут иметь предел при Л[Р) -+ О.
С точки зрения критерия Лебега неинтегрируемость функции Дирихле тоже очевидна, поскольку функция ь(х) разрывна в каждой точке отрезка [О, 1], который, как было показано в лемме 2, не есть множество меры нуль. Пример 2. Рассмотрим функцию Римана — если х Е Я и х = — — несократимая дробь,п Е И, 1 т п О, если х е %ЛЯ. Мы уже рассматривали эту функцию в гл.1Ъ', 0 2, п.
2, и знаем, что функция 1с[х) непрерывна во всех иррациональных точках и разрывна во всех рациональных точках. Таким образом, множество точек разрыва функции К[х) счетно и потому имеет меру нуль. В силу критерия ГЛ. Ч1. ИНТЕГРАЛ 402 Лебега можно заключить, что функция Е(х) интегрируема на любом отрезке [а,6] С К, несмотря на то, что точки разрыва этой функции попадают в любой отрезок любого разбиения отрезка интегрирования. Пример 3. Рассмотрим теперь еще один, менее классический вопрос и пример.
Пусть 1: [а,Ь] — + Ж вЂ” интегрируемая на [а, Ь] функция, принимающая значения на отрезке [с, д], на котором непрерывна функция д: [с, д] — ~ К. Тогда композиция д а 1: [а, Ь] — ~ )[х, очевидно, определена и непрерывна во всех точках отрезка [а, 6], в которых непрерывна функция 1. В силу критерия Лебега отсюда следует, что (до1) Е %[а, Ь]. Покажем теперь на примере, что композиция произвольных интегрируемых функций — уже не всегда интегрируемая функция. Рассмотрим функцию д(х) = «вцп](х).
Эта функция равна единице при х ~ О и нулю при х = О. Непосредственной проверкой убеждаемся, что если, например, на отрезке [1, 2] рассмотреть в качестве 1 функцию Римана Е(х), то на этом отрезке композиция (да 1) (х) есть не что иное, как функция Дирихле е(х). Таким образом, наличие даже одной точки разрыва у д(х) привело к неинтегрируемости композиции д о 1, Задачи и упражнения 1. Теорема Дарбд. а) Пусть и(«; Р) и Я(/; Р) — нижняя и верхняя суммы Дарбу вещественноэначной функции 1, определенной и ограниченной на отрезке [а, 6], отвечающие разбиению Р этого отрезка. Покажите, что для любых двух разбиений Рм Рэ отрезка «а, 6] справедливо неравенство вИ;Рд < БИ;Рэ). Ь) Пусть разбиение Р является продолжением разбиения Р отрезка «а,Ь] н пусть 11;„..., Ь,„— те отрезки разбиения Р, которые содержат точки разбиения Р, не входящие в разбиение Р. Покажите, что справедливы оценки О < Я(1; Р) — Я(1; Р) < ш(1; «а, 6]) (Ьх;, +...
+ Ьх,„), 0 < в(1;Р) — в(1';Р) < а~(1;[а,Ь]) . (Ьх,, +... +16х;„). с) Величины 1 = вцрв(1;Р), Х = га1Я(1';Р) называются соответственно г нижним и верхним интеералам Дарбу функции 1 на отрезке «а, 6]. Покажите, что1<Х. 81. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ <1»УНКЦИЙ 403 «1) Докажите теорему Дарбу: 1 = 1пп в(1; Р), 1 = 1пп Я(1"; Р). МР)-~о ' ' МР)-~в е) Покажите, что (1 с Я[а,Ь]) «Ф (1 = 1).
1) Покажите, что 1 Е «с[а, 6] тогда и только тогда, когда для любого е > О найдется такое разбиение Р отрезка (а,6], что Я(1'; Р) — в(1; Р) < е. 2. Канторово множество лебеговой меры нуль. а) Канторово множество, описанное в задаче 7 34 гл. П, несчетно. Проверьте, что оно тем не менее есть множество меры нуль в смысле Лебега. Укажите, как следует видоизменить конструкцию канторова множества, чтобы получить аналогичное всюду «дырявое» множество, не являющееся множеством меры нуль. (Его тоже называют канторовым.) Ь) Покажите, что заданная иа отрезке [О, 1] функция, равная нулю вие канторова множества и единице в точках канторова множества, интегрируема по Риману на этом отрезке, если и только если канторово множество имеет меру нуль. с) Постройте неубывающую, непрерывную и не постоянную на отрезке (0,1] функцию, которая имеет нулевую производную всюду, кроме, быть может, точек канторова множества меры нуль.
3. Критерий Лебега. а) Проверьте непосредственно (беэ ссылки на критерий Лебега) интегрируемость функции Римана из примера 2 настоящего параграфа. Ь) Покажите, что ограниченная функция 1 Е 1с[а, 6] тогда и только тогда, когда для любых двух чисел е > О и д > О найдется разбиение Р отрезка [а, Ь] такое, что сумма длин тех отрезков разбиения, на которых колебание функции больше е, не превосходит б. с) Покажите, что 1 е «с(а, 6] тогда и только тогда, когда 1' ограничена на [а, 6] и для любых чисел е > О и б > О множество точек отрезка [а, 6], в которых 1 имеет колебание больше чем е, можно покрыть конечным число интервалов, сумма длин которых меньше б (нритерий Дюбуа — РеймонаО).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
