1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Таким образом, формула [1) Ньютона-Лейбница связывает интеграл и первообразную. Перейдем теперь к точным формулировкам и проверке того, что на эвристическом уровне было получено выше из общих соображений. 2. Определение интеграла Римана а. Разбиения Определение 1. Разбиением Р отрезка [о,Ь], а < Ь, называется такая конечная система точек хо,..., х„этого отрезка, что о = хо < <х~ <... <х„=Ь. Отрезки [х; ~, х,] [г = 1,..., п) называются отрезками разбиения Р.
Максимум Л(Р) из длин отрезков разбиения называется параметром разбиенил Р. Определение 2. Говорят, что имеется разбиение [Р,с) с отмеченными точи ми отрезка [а, Ь], если имеется разбиение Р отрезка [а, Ь] и в каждом из отрезков [х; ы х;] разбиения Р выбрано по точке б, Е [х, ь х;] [в' = 1,..., и). Набор [~д,..., С„) обозначается одним символом С. Ь. База в множестве разбиений.
В множестве Р разбиений с отмеченными точками данного отрезка [а, Ь] рассмотрим следующую базу В = (Ве). Элемент Ве, б > О, базы В есть совокупность всех тех разбиений [Р,б,) с отмеченными точками отрезка [а, Ь], для которых Л[Р) < б. Проверим, что (Ве), д > О, — действительно база в Р. Во-первых, Ве Ф И. В самом деле, каким бы ни было число д > О, очевидно, существует разбиение Р отрезка [а, Ь] с параметром Л[Р) < д ГЛ. ЧЕ ИНТЕГРАЛ 386 [например, разбиение на п конгруэнтных отрезков).
По тогда существует и разбиение (Р,с) с отмеченными точками, для которого Л[Р) < й. Во-вторых, если 1г1 > О, Ыз > О и а = ш1п11г1,Нд), то, очевидно, Влг Г1 Влг = Вл Е В. Итак, В = (Вл) — действительно база в Р. с. Интегральная сумма Определение 3. Ксли функция у определена на отрезке [и,Ь], а (Р, ~) — разбиение с отмеченными точками этого отрезка, то сумма где Ьх; = х; — х, 1, называется интаееральной суммой функции 1, соот- ветствующей разбиению [Р, () с отмеченными точками отрезка [о., Ь]. Таким образом, при фиксированной функции 1 интегральная сумма а[у; Р, С) оказывается функцией Ф[р) = оЦ;р) на множестве Р разбиений р = [Р, с) с отмеченными точками отрезка [а, Ь].
Поскольку в Р имеется база В, то можно ставить вопрос о пределе функции Ф[р) по этой базе. 11. Интеграл Римана. Пусть 1' — функция, заданная на отрезке [а, Ь!. Определение 4. Говорят, что число 1 является пнтегралом Римана от функции у на отрезке [а, Ь], если для любого е > О найдется число б > О такое, что для любого разбиения (Р,Р) с отмеченными точками отрезка [а, Ь], параметр которого Л[Р) < Б, имеет место соотношение 1 — ~~1 Д(,)глх1 < е. г=1 Поскольку разбиения р = [Р, (), для которых Л[Р) < б, составляют элемент Вл введенной выше базы В в множестве Р разбиений с отмеченными точками, то определение 4 равносильно тому, что 1 = 11щФ(р), н г 1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ 387 т.е. интеграл 1 есть предел по базе В значений интегральных сумм функции 1, отвечающих разбиению с отмеченными точками отрезка [а, Ь!. Базу В естественно обозначить символом Л(Р) — » О, и тогда определение интеграла можно переписать в виде (4) Интеграл от функции 1(х) по отрезку [а, Ь] обозначается символом ь | |'(х) дх, а в котором числа а, Ь называются нижним и верхним пределом интегрирования соответственно; | — подынтегральнал 4унк«»иц 1(х)дх— подьлнтегральное выражение, х — переменнал интегрирования. Итак, (5) Определение 5. Функция 1 называется интегрируемой по Риману на отрезке [а, Ь], если для нее существует указанный в (5) предел интегральных сумм при Л(Р) — + О (т.е.
если для нее определен интеграл Римана). Множество всех функций, интегрируемых по Риману на отрезке [а, Ъ], будет обозначаться через»с[а, Ь]. Поскольку пока мы не будем рассматривать другого интеграла, кроме интеграла Римана, условимся для краткости вместо терминов «интеграл Римана» и «функция, интегрируемая по Риману» говорить соответственно «интеграл» и «интегрируемая функция». 3. Множество интегрируемых функций.
В силу определения интеграла (определение 4) и его переформулировок в виде (4) и (5), интеграл есть предел некоторой специальной функции Ф(р) = о(1; Р, Р)— интегральной суммы, определенной на множестве Р разбиений р =(Р, с) с отмеченными точками отрезка [а, Ь]. Предел этот берется по базе В в Р, которую мы обозначили как Л(Р) — » О. ГЛ.
ЪЧ. ИНТЕГРАЛ 388 Таким образом, интегрируемость функции 1 на [а, 6] зависит от наличия указанного предела. В силу критерия Коши этот предел существует тогда и только тогда, когда для любого числа е > О найдется элемент В8 Е В базы, в любых точках р', ро которого выполнено соотношение В более подробной записи сказанное означает, что для любого е > О найдется б > О такое, что для любых разбиений (Р', ~'), (Р",со) с отмеченными точками отрезка [а, 6], для которых Л(Р') < б и Л(Ро) < б, выполнено неравенство [о(~; Р',~') — о(~; Р",(о)[ < е или, что то же самое, неравенство ~(~;)Ьх', — ~~1 ~((; )Ьх; < е.
(6) Мы воспользуемся сформулированным критерием Коши для того, чтобы получить сначала простое необходимое, а затем и достаточное условие интегрируемости функции по Риману. а. Необходимое условие интегрируемости Утверждение 1. Для тозе чтобы 4ункция 1, определенная на отрезке [а, 6], была интегрируема на нем по Риману, необходимо, чтобы она была озраничена на этом отрезке. Короче, [1 е Я.[а,6]) =ь (1' ограничена на [а,6]) . ~ Если 1 не ограничена на [а, Ь], то при любом разбиении Р отрезка [а,6] функция ~ окажется неограниченной по крайней мере на одном из отрезков [х, 1, х,] разбиения Р. Это означает, что, выбирая различным образом точку С1 Е [х, 1,х;], можно сделать величину Щ,)Ьх,[ сколь угодно большой.
Но тогда и интегральную сумму о(1;Р,С) = = ~; у ((;) Ьх, можно сделать по модулю сколь угодно большой за счет 1=1 изменений только точки (1 в этом отрезке. ~ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ 389 Ясно, что в таком случае не может быть и речи о конечном пределе интегральных сумм, что, впрочем, видно и из критерия Коши, ибо соотношение [6) в этом случае, очевидно, не имеет места даже для сколь угодно мелких разбиений. ~ Как мы увидим, полученное необходимое условие еще очень далеко от необходимого и достаточного условия интегрируемости, однако оно уже позволяет нам в дальнейшем исследовать только ограниченные функции.
Ь. Достаточное условие интегрируемости и ввэкнейшие классы интегрируемых функций. Начнем с нескольких обозначений и замечаний, которые используются в дальнейшем изложении. Условимся, когда задано разбиение Р а = хо < х1 « ... хп = Ь отрезка [а, Ь], наряду с символом 1."1х,, обозначающим разность х; — х; 1, употреблять символ Ь, для обозначения отрезка [х; 1, х,]. Если разбиение Р отрезка [а,6] получено из разбиения Р только добавлением к Р некоторых новых точек, то условимся называть разбиение Р продолжением разбиения Р.
При построении продолжения Р разбиения Р некоторые (быть может, и все) отрезки Ь1 = [х, 1, х,] разбиения Р сами подвергаются разбиению х, 1 = х19 « ... хин = х,. В связи с этим нам будет удобно нумеровать точки разбиения Р двумя индексами. В записи хо первый индекс означает, что х; Е 1з„а второй индекс есть порядковый номер точки на отрезке Ь;. Теперь естественно положить Ьх,:= х, — х; и Ь;:= [х; 1, х, ]. Таким образом, Ьх1 = Ьх11+... + Ьх1„,. Примером разбиения, являющегося продолжением как разбиения Р', так и разбиения Р", может служить разбиение Р = Р'11Ро, полученное объединением точек разбиений Р'и Р".
Напомним, наконец, что, как и прежде, символ ю® Е) будет обозначать колебание функции ~ на множестве Е, т. е. х',хпеп В частности, и~[1; Ь1) есть колебание функции ~ на отрезке Ь;. Это колебание заведомо конечно, если 1 — ограниченная функция. ГЛ. Ч1. ИНТЕГРАЛ Теперь сформулируем и докажем следующее Ъ'тверждеиие 2.
Для того чтобы ограниченная на отрезке ~а, 6) функция !" была интегрируема на нем, достаточно, чтобы для любого числа е > О нашлось число б > О такое, что при любом разбиении Р отрезка ~а,6) с параметром А(Р) < Б выполнялось соотношение м Пусть Р— разбиение отрезка ~а, Ь] и Р— продолжение разбиения Р. Оценим разность интегральных сумм а(~; Р, () — а(!'; Р, С). Используя введенные выше обозначения, можем написать ~о(У;Р,С) — о(У;Р,4)~ = 1 !(О) !"1тб,~ Л~~ 1 Ыг) ~тб В этих выкладках мы использовали то, что с1т, = ~;,А!т;, а также то, 1=1 что ~~ф ) — д(1)~ ( !о(!; сь1), поскольку (! е сь;.
с 1з! и (! е,л!;. Из полученной оценки разности интегральных сумм следует, что если функция ! удовлетворяет достаточному условию, сформулированному в утверждении 2, то по любому числу е > О можно найти б > О так, что для любого разбиения Р отрезка [а, 6) с параметром А(Р) < б и его продолжения Р при любом выборе отмеченных точек ( и ( будем иметь ~а(~;Р,() — о(1;Р,С) < —. 11.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ 391 Ксли теперь (Р', ~') и [Р", (о) — произвольные разбиения с отмеченными точками отрезка [а, Ь], параметры которых удовлетворяют условиям Л(Р') < б, Л(Ро) < б, то, рассмотрев разбиение Р = Р'О Р", являющееся продолжением обоих разбиений Р', Р", по доказанному будем иметь ~аЦ;Р,() — о(1;Р,с~)~ < —, [о(у; Р, () — о(1; Р", (о) ~ < —. Отсюда следует, что [о(~;Р',(') — о(~;Р",~о)[ < е, как только Л(Р') < д, Л(Ро) < д. Таким образом, в силу критерия Коши существует предел 1пп ,'1 ~®)1зх1 л Р1- о.
1=1 интегральных сумм, т.е. 1 Е 1С[а, Ь]. ~ Следствие 1. (1 Е С[а,Ь]) =ь (1' Е Я[а,Ь]), т.е. любая непрерыеная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке. м Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на нем, так что необходимое условие интегрируемости в этом случае, очевидно, выполнено. Однако непрерывная на отрезке функция еще и равномерно непрерывна на нем, поэтому для любого е > 0 можно найти д > 0 так, что на любом отрезке 1л с [а,ь] длины меньше б будем иметь ы®1л) < < Ь-е —. Тогда для любого разбиения Р с параметром Л(Р) < б будем иметь ~~1 1о[1; 1.'1,)Ах, < ~~ 1."1х, = (Ь вЂ” а) = е. т=1 1=1 В силу утверждения 2 теперь можно заключить, что 1 Е 1с[а, Ь].
~ Следствие 2. Если ограниченная на отрезке [а, Ь] функция 1" непрерывна на этом отрезке есюду, кроме, быть может, конечного множества точек, то у Е Я.[а, Ь]. < Пусть ы ® [а, Ь]) < С < оо и у имеет й точек разрыва на отрезке [а, Ь]. Проверим выполнимость достаточного условия интегрируемости функции 1'. ГЛ. УЕ ИНТЕГРАЛ 392 При заданном е > О возьмем число 61 = е й и построим 61-окрестности каждой из 1е точек разрыва функции 1 на [а, Ь]. Дополнительное к объединению этих окрестностей множество точек отрезка [а, Ь] состоит из конечного числа отрезков, на каждом из которых у непрерывна и, значит, равномерно непрерывна. Поскольку таких отрезков конечное число, по е > О можно указать Д2 > О так, что на любом отрезке Ь, длина которого меньше 62 и который полностью содержится в одном из указанных выше отрезков непрерывности 1, будем иметь ю® 1.'1) < < е . Возьмем теперь число д = ш1п(61, 621.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
