1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Пусть Р— произвольное разбиение отрезка [а, 6], для которого Х(Р) < б. Сумму ~„а~(2; Ь1)Ьх„отвечающую разбиению Р, разобьем 1=1 на две части: В сумму ~ включим те слагаемые, которые отвечают отрезкам Ь; 1 разбиения Р, не имеющим общих точек с построенными 61-окрестностями точек разрыва. Для таких отрезков Ь, имеем ю(2; Ь,) < поэтому ~о(1;Ь,)пх1 < ~~> Ьх1 < (6 — а) = —. Сумма длин оставшихся отрезков разбиения Р, как легко видеть, меньше (Б+ 261 + б)й < 4 е 6 = е, поэтому р ' ~о(у;с1,)Ьх, < С~~~ с1х, < С.— Таким образом, мы получаем, что при А(Р) < Б п ~~> о~(1; Ь1)Ьх, < е, т. е. выполнено достаточное условие интегрируемости и 1 Е 1с[а, 6].
ь Следствие 3. Монотонная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке. 11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ 393 Из монотонности функции у на отрезке [а, Ь] следует, что ю(у; [а, Ь]) = [1[Ь) — 1(а)[. Пусть задано е > О. Положим б = Мы считаем, что 1(Ь) — 1(а) Ф О, поскольку в противном случае ) постоянна и интегрируемость у не вызывает сомнений.
Пусть Р— произвольное разбиение отрезка [а, Ь] с параметром Л(Р) < б. Тогда для него с учетом монотонности 1 имеем и в в а~(~;Ь1)ЬХ, < б ,'~ а[,)';Ь,) = б~~ ]ДХ,) — ДХ1 1)[ = 1=1 1=1 1=1 = Б ~ (1(х,) — Дх, 1)) = б[1(Ь) — 1(а)[ = е. 1=1 Таким образом, 1 удовлетворяет достаточному условию интегрируемости, т.е. 1 Е %[а,Ь]. ~ Монотонная функция может иметь уже бесконечно много точек разрыва на отрезке (счетное множество). Например, функция, определяемая соотношениями 1 — — при 1 — — ~ (х < 1 — —, и Е 1"1 0 101, 1 1 1 Пх) = 2" 2п 2"+~ 1 при х = 1 на отрезке [0,1], не убывает и в каждой точке вида 1 — — „, и Е г1, имеет 1 разрыв.
Замечание. Отметим, что хотя мы сейчас имеем дело с вещественными функциями на отрезке, однако ни в определении интеграла, ни в доказанных выше утверждениях, за исключением следствия 3, мы по существу не использовали то, что рассматриваемые функции вещественнозначные, а не комплексно- или, например, векторнозначные функции точки отрезка [а, Ь]. Понятия верхней и нижней интегральной суммы, к которым мы переходим, напротив, специфичны только для функций с действительными значениями. Определение 6. Пусть 1: [а, Ь] -+ К вЂ” действительнозначная функция, определенная и ограниченная на отрезке [а, Ь]; Р— разбиение отрезка [а,Ь]; Ь, (г = 1,...,п) — отрезки разбиения Р. Пусть т1 = 1п1 1[х), М1 = япр 1 (х) (г = 1,..., п).
хеа, хеа~ ГЛ. НЕ ИНТЕГРАЛ 394 Суммы п в® Р):= ~~»»п,Ьх» п 5(7"; Р):= ,'» М;,о»х» называются соответственно нижней и верхней интпееральной суммой функции у на отрезке [а, 6], соответствующей разбиению Р этого от- резкац. Суммы в(у; Р) и Я(7;Р) называют также нижней и верхней суммой Дарбу, соответствующей разбиению Р отрезка [а, Ь]. Если (Р, () — произвольное разбиение с отмеченными точками отрезка [а,6], то, очевидно, вФР) < ОЯР,б,) < БЯР) (7) Лемма 1. ~ Проверим, например, что верхняя сумма Дарбу, отвечающая разбиению Р отрезка [а, 6], является верхней гранью значений интегральных сумм, соответствующих разбиению с отмеченными точками (Р, с,) отрезка [а, 6], причем верхняя грань берется по всевозможным наборам С = (~1,..., б„) отмеченных точек.
Ввиду (7), для доказательства достаточно, чтобы при любом е > 0 нашелся такой набор ( отмеченных точек, что имеет место неравенство ВЯР) < оЯР,О+ (8) По определению чисел М;, при каждом г' е 11,..., и) найдется точка ~; Е Ь«в которой М, < ) ((;) + 6 — —. Пусть С = (~1,...,(д). '1ОГда '»Термин <интегральная сумма< здесь формально не вполне законен, так как не всегда и»< и М, являются значениями функции 1 в некоторой точке С< Е 11<.
в 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ 395 что и завершает доказательство второго утверждения леммы. Первое утверждение проверяется аналогично. > Из доказанной леммы и неравенства [7) с учетом определения интеграла Римана заключаем, что справедливо следующее Утверждение 3. Ограниченнал веи)ественнозначная функция Х: [а,Ь] — 1 К интегрируема по Риману на отрезке [а, Ь] тогда и только тогда, когда суи(ествуют и равны между собой пределы Х = 1пп в[Х;Р), Х = 1пп Я[Х';Р). [9) Л(Р) — ~0 Л(Р) — ~0 При этом их оби(ее значение Х = Х = Х совпадает с интегралом ь Х [х) дх. а Х = 1пп о[Х;Р,() = Х. Л(Р) — ~0 С другой стороны, если Х Е 1с[а, Ь], т.
е. существует предел 1пп о"[Х;Р,~) = Х, Л(Р) — +О то из [7) и [8) заключаем, что существует предел 1пп Я[Х; Р) = Х, причем Х = Х. л(Р) — ~0 Аналогично проверяется, что 1пп в[Х; Р) = Х = Х. )н А(Р)-~0 В качестве следствия утверждения 3 получаем следующее уточнение утверждения 2. Утверждение 2'. Для того чтобы функция Х: [а,Ь] -+%, заданная на отрезке [а, Ь], была интегрируема по Риману, необходимо и достаточно выполнение соотношения в 1пп э 1о[Х; Ь;),Щ = О.
Л(Р) — ~0 . 1=1 [10) ~ Действительно, если пределы [9) существуют и равны между собой, то по свойствам предела из [7) заключаем о существовании предела интегральных сумм, причем ГЛ. Ч1. ИНТЕГРАЛ 396 ~ Учитывая утверждение 2, нам остается лишь убедиться в необходимости соотношения (10) для интегрируемости у. Заметим, что го(1; гл1) = М; — т1, поэтому ~~1 го(~; Ь1)Ьх1 = ~~ (М, — т,)Ьх, = Я® Р) — е(~; Р), г=1 г=1 и теперь (10) следует иэ утверждения 3, коль скоро у Е 1с[а, 6]. ~ с. Векторное пространство Я.[аг Ь]. Над интегрируемыми функциями можно выполнять ряд операций, не выходя за пределы множества 1с[а, Ь]г Утверждение 4.
Если у,д Е Я[а, Ь], то а) (~ + д) е Я.[а, Ь]; Ь) (ег1') Е %[а, Ь], где а — числовой множитель; с) ~Д Е Я.[а,Ь]; 11) Д( Л) Е 'гг.[с,д], если [с, д] С [а, Ъ]; е) (1 д) Е Я[о,Ь]. Мы сейчас рассматриваем только вещественнозначные функции, но полезно отметить, что свойства а), Ь), с), г1) окажутся справедливыми и для комплекснозначных и векторнозначных функций.
Для векторнозначных функций, вообще говоря, не определено произведение 1 д, поэтому свойство е) для них не рассматривается. Однако это свойство остается в силе для функций с комплексными значениями. Перейдем теперь к доказательству утверждения 4. < а) Это утверждение очевидно, поскольку ,У,У+дН6)~ = ~~~,У(6)~1х1+ ~~1,д(6)Ьх,. г=1 г=1 г=1 Ь) Это утверждение очевидно, поскольку и и ,~,(аУН6)11х1 = а~~~,1(6)~х;.
г=1 с) Поскольку ьг([1 ~; Е) < иг® Е), то можно написать, что и и ~~> иг(~Д; 111)г."1х1 < ~~г иг(у; ь,)Ахи г=1 г=1 г 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ~ФУНКЦИЙ 397 и на основании утверждения 2 заключить, что (~ Н к,[а, 6]) =~ (ф Е Н Я[а, Ь]). б) Мы хотим проверить, что ограничение Д[,,4 интегрируемой на отрезке [а,6] функции на любой отрезок [с, д] С [а, Ь] является функцией, интегрируемой на [с, с~. Пусть я — разбиение отрезка [с, д]. Добавив к я некоторые точки, достроим я до разбиения Р отрезка [о, 6], но так, чтобы иметь Л(Р) < Л(к).
Ясно, что это всегда можно сделать. Теперь можно написать, что юф~,д),Ь,)Ьх, < ~ ь~®Ь,)Ьх,, где 2,' — сумма по всем отрезкам разбиения я, а 2 р — сумма по всем отрезкам разбиения Р. При Л(к) -+ О по построению также Л(Р) -+ О, и на основании утверждения 2' из полученного неравенства заключаем, что (~ е К[а, 6]) ~ ~ (/Д Н к.[с, кХ]), если [с, сМ] С [а, Ь]. е) Проверим сначала, что если ~ е к.[а, Ь], то уг е Я.[а, 6]. Если у Е к.[а,Ь], то у ограничена на [а, Ь]. Пусть ~Дх)[ < С < оо на [а,Ь].
Тогда ~У (х1) г (хг)~ = Иг (х1) + 1(хг)) ' (г (х1) — г [хг))[ < 2С[у[х1) — У(хг)[, поэтому ю(у'г; Е) < 2Сю(~; Ь), если Е С [а, 6]. Значит, откуда на основании утверждения 2' заключаем, что (У е %[а, 6]) ~ (У Н к.[а, Ь]) . Теперь перейдем к общему случаю. Запишем тождество У дйх) = — [У + д)'(х) — У - д)'(: )] . Из этого тождества с учетом только что доказанного утверждения и проверенных пунктов а) и Ь) утверждения 4 заключаем, что (~ Е к.[а, Ь]) Л (д Е к.[а, 6]) =~ (~ д Е К[а, 6]) . ГЛ.
У1. ИНТЕГРАЛ 398 Из курса алгебры вам уже известно понятие векторного пространства. Вещественнозначные функции, определенные на некотором множестве, можно поточечно складывать и умножать на действительное число, получая при этом снова функцию с вещественными значениями на том же множестве. Если функции рассматривать как векторы, то можно проверить, что при этом выполнены все аксиомы векторного пространства над полем действительных чисел и указанное множество действительных функций является векторным пространством относительно операций поточечного сложения функций и умножения функций на действительные числа. В пунктах а), Ь) утверждения 4 сказано, что сложение интегрируемых функций и умножение интегрируемой функции на число не выводит за пределы множества н.1а,6) интегрируемых функций.
Таким образом, К~а,6) само является векторным пространством — подпространством векторного пространства вещественнозначных функций, определенных на отрезке ~а, 6]. й. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману. В заключение приведем пока без доказательства теорему Лебега, дающую внутреннее описание интегрируемой по Риману функции. Для этого введем следующее полезное само по себе понятие. Определение 7. Говорят, что множество Е С К имеет меру нуль или является множеством меры нуль (в смысле Лебега), если для любого числа г > О существует такое покрытие множества Е не более чем счетной системой (1ь) интервалов, сумма 1 ~1ь~ длин которых не ь=1 превышает е. Поскольку ряд 1; '11ь~ сходится абсолютно, порядок суммирования ь=1 длин промежутков покрытия не влияет на сумму (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
