1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 64
Текст из файла (страница 64)
8 7. Первообразная В дифференциальном исчислении, как мы убедились на примерах предыдущего параграфа, наряду с умением дифференцировать функции и записывать соотношения между их производными весьма ценным является умение находить функции по соотношениям, которым ~ 7. ПЕРВООБРАЗПАЯ 357 удовлетворяют их производные. Простейшей, но, как будет видно из дальнейшего, весьма важной задачей такого типа является вопрос об отыскании функции Г(х) по известной ее производной Г'(х) = г(х).
Начальному обсуждению этого вопроса и посвящен настоящий параграф. 1. Первообраэная и неопределенный интеграл Определение 1. Функция Г(х) называется первообразной функцией или первообразной по отношению к функции у'(х) на некотором промежутке, если на этом промежутке функция Г дифференцируема и удовлетворяет уравнению Г'(х) = Дх) или, что то же самое, соотношению ЙГ(х) = ((х) дх. Пример 1. Функция Г(х) = агсгях является первообразной для ,1 (х) = на всей числовои прямой, поскольку агсгб'х = —.
1 1 1+х 1+х Пример 2. Функция Г(х) = агсс1я — является первообразной для 1 функции 1(х) = как на промежутке всех положительных чисел, 1 1+х так и на полуоси отрицательных чисел, ибо при х ~ 0 2 ~ 2 ~ 2 (1)2 ~ х2~ 1+х2 Как обстоит дело с существованием первообразной и каково множество первообразных данной функции? В интегральном исчислении будет доказан фундаментальный факт о том, что любая непрерывная на промежутке функция имеет на этом промежутке первообразную.
Мы приводим этот факт для информации читателя, а в этом параграфе используется, по существу, лишь следующая, уже известная нам (см. гл. Ч, 2 3, п.1) характеристика множества первообразных данной функции на числовом промежутке, полученная из теоремы Лагранжа.
Утверждение 1. Если Г1(х) и Г2(х) — две первообразные функции 1" (х) на одном и том же промежутке, то их разность Г1(х) — Г2(х) постоянна на этом промежутке. Условие, что сравнение Г1 и Г2 ведется на связном промежутке, как отмечалось при доказательстве этого утверждения, весьма существенно. Это можно заметить также из сопоставления примеров 1 и 2, ГЛ. Ч.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 358 в которых производные функций Г~(х) = агсгЕх и Г2(х) = агссгя— совпадают в области К '1 О их совместного определения. Однако 1 Г~(х) — Гэ(х) = агс1я х — агссГŠ— = агс1я х — агсГЕ х = О, х если х > О, в то время как Г» (х) — Гг(х) = — я при х < О, ибо при х < О имеем агссГŠ— = и+ агс1ях. 1 Как и операция взятия дифференциала, имеющая свое название «дифференцирование» и свой математический символ»»Г(х) = Г (х) йх, операция перехода к первообразной имеет свое название «неопределенное интегрирование» и свой математический символ называемый неопределенным интеералом от функции Г" 1х) на заданном промежутке.
Таким образом, символ (1) мы будем понимать как обозначение любой из первообразных функции 1 на рассматриваемом промежутке. В символе (1) знак ) называется знаком неопределенного интеер ла, 1" — подынтегральн л функпиц а 1(х) дх — подынтегральное выражение. Иэ утверждения 1 следует, что если Г(х) — какая-то конкретная первообразная функции 1 1х) на промежутке, то на этом промежутке (2) т.е. любая другая первообразная может быть получена из конкретной Г(х) добавлением некоторой постоянной.
Если Г'(х) = 1(х), т. е. à — первообрвзная для 1' на некотором промежутке, то из 12) имеем Кроме того, в соответствии с понятием неопределенного интеграла как любой из первообразных, из (2) следует также, что 1 7. ПЕРВООБРАЗПАЯ 359 2. Основные общие приемы отыскания первообразной. В соответствии с определением символа (1) неопределенного интеграла, он обозначает функцию, производная которой равна подынтегральной функции.
Исходя из этого определения, с учетом соотношения (2) и законов дифференцирования можно утверждать, что справедливы следующие соотношения: а. (аи(х) +~3и(х))дх = а и(х) йх+(3 о(х) дх+с. Ь. (ио) (х) е?х = и~(х)о(х) пх + и(х)о~(х) пх + с. (5) (6) с. Если иа некотором промежутке 1е Формулы (3) и (4) устанавливают взаимность операций дифференцирования и неопределенного интегрирования. Эти операции взаимно обратны с точностью до появляющейся в формуле (4) неопределенной постоянной С.
До сих пор мы обсуждали лишь математическую природу постоянной С в формуле (2). Укажем теперь ее физический смысл на простейшем примере. Пусть точка движется по прямой так, что ее скорость и(~) известна как функция времени (например, и(1) ив а о). Если х(е) — координата точки в момент 1, то функция х(е) удовлетворяет уравнению х(~) = о(~), т.е. является первообразной для о(~). Можно ли по скорости о(8) в каком-то интервале времени восстановить положение точки на оси? Ясно, что нет. По скорости и промежутку времени можно определить величину пройденного за это время пути е, но не положение на оси.
Однако это положение также будет полностью определено, если указать его хотя бы в какой-то момент, например при 1 = О, т. е. задать начальное условие х(0) = хо. До задания начального условия закон движения х(1) мог быть любым среди законов вида х(1) = х(~) + с, где х(1) — любая конкретная первообразная функции и(1), а с — произвольная постоянная.
Но после задания начального условия х(0) = хо вся неопределенность исчезает, ибо мы должны иметь х(0) = х(0) + с = хо, т.е. с = хо — х(0), и х(~) = хо + [х(1) — х(0)). Последняя формула вполне физична, поскольку произвольная первообразная х участвует в формуле только в виде разности, определяя пройденный путь или величину смещения от известной начальной метки х(0) = хо. ГЛ. Ь'.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 360 а у: 1в — ~ 1 — гладкое (т. е. непрерывно дифферениируемое) отобра- жение промежутка 1~ в 1е, то 17) Равенства (5), (6), (7) проверяются прямым дифференцированием евой и правой частей с использованием в (5) линеиности диффеив 7 ренцирования, в (6) правила дифференцирования произведения и в ( ) правила дифференцирования композиции функций. Подобно правилам дифференцирования, позволяющим дифференцировать линейные комбинации, произведения и композиции уже известных функций, соотношения 15), (6), 17), как мы увидим, позволяют в р яде случаев сводить отыскание первообразнои даннои функции либо к построению первообразных более простых функций, либо вообще к уже известным первообразным.
Набор таких известных первообразных может составить, например, следующая краткая таблица неопределенных интегралов, полученная переписыванием таблицы производных основных элементарных функций (см. 0 2, п. 3): Г х'*ах= х + +с (а~ — 1), о+1 — дх = 1п (х~ + с, Г 1 Г а*дх = — а*+ с (6 ( а Ф 1), 1па совхдх = в1пх+ с, Г 1 дх = 16х+ с, совг х дх = — с16х+ с, Г 1 в1п х 17. ПЕРВООБРАЗНАЯ Зб1 Г 1 ~ агсвшх+ с, Их = ~/1 — хз 1 — агссоз х + с, 1 ~ агс16х+ с, г г(х 1+ хз ( — агсс$6х+ с, | 1 Нх = 1Ьх+ с, сЬ~ х Г 1 дх = — сФЬх+ с, 12 Дх = 1п ~ х + ~/хз ~ 1 ~ + с, Г 1 ~/хз ~1 Г 1 1 1+х дх = — 1п +с.
х2 2 1 х Каждая из этих формул рассматривается на тех промежутках вещественной оси 51, на которых определена соответствующая подынтегральная функция. Если таких промежутков несколько, то постоянная с в правой части может меняться от промежутка к промежутку.
Рассмотрим теперь некоторые примеры, показывающие соотношения (5), (6) и (7) в работе. Сделаем предварительно следующее общее замечание. Поскольку, найдя одну какую-нибудь первообразную заданной на промежутке функции, остальные можно получить добавлением постоянных, то условимся для сокращения записи всюду в дальнейшем произвольную постоянную добавлять только к окончательному результату, представляющему из себя конкретную первообразную данной функции. а. Линейность неопределенного интеграла.
Этот заголовок должен означать, что в силу соотношения (5) первообразную от линейной комбинации функций можно искать как линейную комбинацию первообразных этих функций. 362 ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Пример 3. Г (ао + а1х +... + а„х") дх = = ао 1 с(х + а~ х дх +... + а„х" Йх = | — ... + а х 1 и = с+ аох + — а1х +... 2 Пример 4. х + — ах = х2 + 2 „/х + — 4х = 4 ! +1 ! !+ х Нх+ х 22( '~2дх+ — йх = -х + -х х 3 Пример 5. сов — дх = — (1+ сов х) Йх = — ~ (1 + сов — 1ах+ — совхах = *+ 2 х — / = — х — 61пх+ с. 2 по частям.
Формулу (6) можно переписать Ь. Интегрирование по частям. в виде и(х)е(х) = и(х) ао(х) + о(х) аи(х) + с или, что то же самое, в виде (6') Г и(х) де(х) = и(х)е(х) — ~ е(х) ди(х) + с. / п и отыскании первообразной функции и(х)е х) дело можно свести к оты ожитель и частично прон и ование на другои сомножит ребросив дифференциро в (6') выделив при этом член инте рировав функц и(х)о(х).
Формулу (6') называют формулой икте Пример б. | — х — ах = а = 1 х — хй1пх = х1пх— 1пхах = х и = х1пх — 1дх = х1пх — х+ с. ЗбЗ 17. ПЕРВООБРАЗНАЯ Пример 7. 2 х 2 х 2 х ЕхцХ2 Х2сх 2 Хсх<цХ Г х е*дх = ~ х де = х е * — 2 хне* = х2ех — 2 хех — с*ах х2 х 2х х+2 х+с 1х2 2х+2)ех+с с.
Замена переменной в неопределенном интеграле. Фори отыскании первообразной функции мула (7) показывает, что при (1 о р)(х) . р'(2) можно поступать следующим образом: Г Д о р) ~2) у'(2) Ж = У'(у(~)) йд($) = Дх) г1х = г (х) + с = Г(~о(2)) + с, (2) = х по знаком интеграла и перейт. е. сначала произвести замену у( ) = д ем найдя первообразную как функцию ти к новой переменной х, а затем, н " от х, вернуться к ст р " с арой переменной 2 заменой х = ~р(1).
Пример 8. Г 112' -+ ) )~ « 1 1„ , 1 1„,, + , + , 1+22 2„/ 1+~2 2„) х 2 "* Пример 9. "(-*) $бисое2и Сби е х = 1 )е! + с = 1п ) ~б и) + с = 1п ~б — ! + с. ов в кото ых использовались поМы рассмотрели несколько пример в, Р рознь свойства а,, с нео Ь пределенного интеграла.
На самом деле в большинстве случаев зти свойства используются совместно. ГЛ. Ч. ДИФ<РЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 364 Пример 10. Г зш2х сов Зхг1х = — / (з1п5х — япх) дх = 1 Г 2./ — 5 й — 1 хах = — ~ — / яп5хд(5х)+созх 1Г1 Г, 2 5 2 — — — — с= — з1пи и д + — созх = — — сози+ — созх+ 10 2 1 1 = — соз х — — соз 5х + с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
