1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 62
Текст из файла (страница 62)
считать х произвольным комплексным числом. и называется методом ломаных Эйлера. Такое название связано с тем, что проведенные выкладки геометрически означают замену решения у(х), точнее, его графика, некоторой аппроксимирующей график ломаной, звенья которой на соответствующих участках (хь,хь4.1) (к = О,..., и — 1) задаются уравнениями у = Дхь) + ~'(хь)(х — хь) Рис. 4б. (рис. 4б). Нам встречалось также определение функции ехрх как суммы степенного ряда 2 —,х". К не- 1 и п=е му тоже можно прийти из уравнения (18), если воспользоваться следующим часто применяемым приемом, называемым методом неопределенных коэффициентов. Будем искать решение уравнения (18) в виде суммы степенного ряда ГЛ. Ч.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 348 При этом все проведенные рассуждения останутся в силе, быть может, только частично потеряется геометрическая наглядность метода Эйлера. Таким образом, естественно ожидать, что функция 2 1 о е'=1+ — г+ — г +...+ — л +... 1! 2! и! является и притом единственным решением уравнения удовлетворяющим условию у(0) = 1. 6. лконебаиия. Если тело, подвешенное на пружине, отклонить от положения равновесия, например, приподняв, а затем отпустив его,то оно будет совершать колебания около положения равновесия. Опишем этот процесс в общем виде. Пусть известно, что на материальную точку массы т, способную перемещаться вдоль числовой оси Ох, действует сила г' = — йх, про- порциональнаяП отклонению точки от начала координат.
Пусть нам известны также начальное положение хе = х(0) нашей точки и ее начальная скорость не = х(0). Требуется найти зависимость х = х(Ф) положения точки от времени. В силу закона Ньютона, эту задачу можно переписать в следующем чисто математическом виде: решить уравнение тх(с) = — !сх(с) (21) при начальных условиях хе = х(0), х(0) = пе. Перепишем уравнение (21) в виде (22) ОВ случае пружины коэффициент и ) О, характеризующий ее жесткость, называют коэффициентом лсестпкости пружины. и попробуем вновь воспользоваться экспонентой, а именно попробуем подобрать число А так,чтобы функция х(~) = е"' удовлетворяла урав- нению (22).
ге. пРимеРы пРилОжений В зАДАчАх естестВОзнАИНЯ 349 Подставляя х(Ф) = ем в (22), получаем Л+ — ел=О Л + — =О, г т (23) т.е. Л1 = — )~ — —, Лг = )~ — —. Поскольку т > О, то при А > 0 мы имеем 'два чисто мнимых числа: Л1 = — г)~ — и Лг = гЛ~ —. На это мы не рассчитывали, но тем не менее продолжим рассмотрение. По формуле Эйлера е '~~ ~ =сов~/ — Ф вЂ” гчйп~~ — 1, е'~"7~' = сов „~ —" 1 + г е1п ° à — 1. Ъ п1 Ъ т х(Ф) = с1сов у — $+ сгвшу — 8, очевидно, также является решением уравнения (22). Коэффициенты с1, сг в (24) подберем из условий (24) ле = л(0) = см гв = т(0) = — с1~/ — 81п ~/ — ~+ сг)/ — сов ~/ — г = сг~/~.
с=о Таким образом, функция л(Ф) = хе сов Л~ — Ф + ее Л~ .й- в1п )~ — ~ (25) является искомым решением. Поскольку при дифференцировании по действительному времени 1 происходит отдельно дифференцирование действительной и мнимой частей функции е"', то уравнению (22) должны удовлетворять порознь и функция сов у — ~, и функция сйп у — Ф. И зто деиствительно так, в чем Гь IА легко убедиться прямой проверкой. Итак, комплексная экспонента помогла нам угадать два решения уравнения (22), линейная комбинация которых ГЛ, У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 350 Делая стандартные преобразования, (25) можно переписать в виде (26) где хо о = агсо1п хо+ "о й г гт Таким образом, при к > 0 точка будет совершать периодические колебания с периодом Т = 2ку ~- т.
е. с частотои — = — 1( — и ам- -1 1 тЬ ~/й т гяур плитудой хг + ия. Мы утверждаем это потому, что из физических соображений ясно, что решение (25) поставленной задачи единственно. (См. задачу 5 в конце параграфа.) Движение, описываемое функцией (2б), называют простыми гармоническими колебаниями, а уравнение (22) — уравнением зармонических колебаний.
Вернемся теперь к случаю, когда в уравнении (23) к < О. Тогда две функции е ' = ехр ~ — у — — 1), е ' = ехр (у — — 1) будут вещественными решениями уравнения (22) и функция х($) = с1е "+ сге " также будет решением. Постоянные с1 и сг подберем из условий (27) < хо =х(0) = с1+сг, ио = х(0) = с1Л1 + сгЛг. Полученная система всегда однозначно разрешима, ибо ее определитель Лг — Л1 ~ О. Поскольку числа Л1 и Лг противоположного знака, то из (27) видно, что при к < 0 сила г' = — кх не только не стремится вернуть точку в положение равновесия х = О, но со временем неограниченно уводит ее от этого положения, если хо или ио отлично от нуля. То есть в этом случае х = 0 — точка неустойчивого равновесия. В заключение рассмотрим одну вполне естественную модификацию уравнения (21), на которой еще ярче видна польза показательной функции и формулы Эйлера, связывающей основные элементарные функции.
16. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ 351 Предположим, что рассматриваемая нами частица движется в среде (воздухе или жидкости), сопротивлением которой пренебречь нельзя. Пусть сила сопротивления среды пропорциональна скорости точки. Тогда вместо уравнения (21) мы должны написать уравнение тх(с) = — ссх(с) — йх(с), которое перепишем в виде сс, к х(с) + — х(2) + — х(с) = О. т т (28) Если вновь искать решение в виде х(с) = е"с, то мы придем к квадратному уравнению 4 Й— с сс л 2т 2т +с сс Лг = —— 2т Формула Эйлера в этом случае дает е ' = ехр ( — — 1) (соаьсс — сашьсс), л,с 7 2т е = ехр ( — — С) (соаьсс+ се!пасс), л,с 7 2т 4т/,, „2 где ы = гт .
Таким образом мы находим два вещественных решения ехр ( — — "8) сельсер, ехр ( — 2 с) сйпыС уравнения (28), угадать которые было бы уже довольно трудно. Затем ищем решение исходной задачи в виде их линейной комбинации х(с) = ехр ( — — с~! (сс соаьсС+ сг сйпыС), 2т / (29) Лг+ — Л+ — = О, т т р р ~,~= — '~ "л-' ~.
Случай, когда ссг — 4та ) О, приводит к двум вещественным корням Лс, Лг, и решение может быть найдено в виде (27). Мы рассмотрим подробнее более интересный для нас случай, когда ссг — 4тй ( О. Тогда оба корня Лс, Лг комплексные (но не чисто мнимые!): ГЛ. 1г. ДИФг1гЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 352 подбирая сг и сз так, чтобы удовлетворить начальным условиям х(0) = =*о, й(0) = оо Получающаяся при этом система уравнений, как можно проверить, всегда однозначно разрешима. Таким образом, после преобразований из (29) получаем решение задачи в виде х(2) = Аехр ( — — е) яп(аг2+ а), 2т / (30) где А и о — константы, определяемые начальными условиями.
Из этой формулы видно, что благодаря множителю ехр( — 2 2), где гх > О, т > О, в рассматриваемом случае колебания будут эатухаюгциэни, причем скорость затухания амплитуды зависит от отношео 52 ния —. Частота колебании — ы = — — — ~ — / меняться во времени т' 2гг 2н "г Г2т) не будет. Величина ы тоже зависит только от отношений —, —, что, /с о впрочем, можно было предвидеть на основании записи (28) исходного уравнения.
При сг = 0 мы вновь возвращаемся к незатухающим гармоническим колебаниям (26) и уравнению (22). Задачи н упражнения 1. Коэффициент нолеэноео дег1ствил реактивноео движения. а) Пусть Я вЂ” химическая энергия единицы массы топлива ракеты, ы— скорость истечения топлива. Тогда -ага есть кинетическая энергия выбро- 2 шенной единицы массы топлива. Коэффициент о в равенстве -ыэ = огд есть 1 2 2 коэффициент полезного действия процессов горения и истечения топлива. Двя твердого топлива (бездымный порох) аг = 2 км/с, Я = 1000 ккал/кг, а для жидкого (бензин с кислородом) ы = 3км/с, гг = 2500 ккал/кг.
Определите в этих случаях коэффициент о. Ъ) Коэффициент полезного действия (к. п. д.) ракеты определяется как от- ,2 ношение ее конечной кинетической энергии тк — к химической энергии сго- 2 ревшего топлива ттг,. Пользуясь формулой (4), получите формулу для к. п. д. ракеты через тк, тт г„и о (см. а)). с) Оцените к. п. д. автомобиля с жидкостным реактивным двигателем, если автомобиль разгоняется до установленной в городе скорости 60км/час.
д) Оцените к. п. д, ракеты на жидком топливе, выводящей спутник на низкую околоземную орбиту. е) Оцените, для какой конечной скорости реактивное движение на жидком топливе имеет наибольший к. п. д. вб. пРимеРы пРилОжений В 3АДАчАх естестВОзнАИНЯ 353 1) Укажите, при каком отношении масс тт/тк топлива и корпуса к. п. д. ракеты с любым видом топлива становится максимально возможным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
