1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 58
Текст из файла (страница 58)
В частности, уравнение г" = 0 имеет и совпадающих корней з~ =... = 3„= О. В соответствии с общим определением непрерывности, функция у (г) комплексного переменного называется непрерывной в точке ге е С, если для любой окрестности Г®зе)) ее значения у (зе) найдется окрестность У(гр) такая, что при любом з Н У(зе) будет Дз) Е Ъ'Щзе)).
Короче говоря, 1пп у( ) = у(ге). Производной функции Дз) в точке зе, как и для вещественного случая, назовем величину 1(з) — 1( е) ~ ~~0 я зе (31) если этот предел существует. Равенство (31) эквивалентно равенству У(з) — Пяо) = У'(хо Из — зо) + о(з — зо) (32) 324 ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ при х — ~ хо, соответствующему определению дифференцируемости функции в точке хо. Поскольку определение дифференцируемости в комплексном случае совпадает с соответствующим определением для вещественных функций, а арифметические свойства поля С и поля К одинаковы, то можно сказать, что все общие правила дифференцирования справедливы и в комплексном случае.
Пример 16. У+д) ( ) =Г( )+д( ), У д)'(х) =Г( )д( )+1(х)д'Ю, (д о У)'(х) = д (1(х)) у (х), поэтому если Дх) = х2, то 1'(х) = 1 х + х 1 = 2х, или если Дх) = х", то ~'(х) = нх" ", а если Р„(г) = со + с~(г — хо) + ... + с„(х — го)", то Р,',(х) = се + 2сз(х — хе) +...
+ нс„(х — хо) Теорема 1. Сумма Дх) = ,') с„(х — го)" степенного ряда — бесо=о конечно дифференцируемая функция во есем круге сходимости ряда. При этом ~ь ~(~)(х) = ~> — „(с„(х — хо)"), й =0,1,..., а=о с = — ~~">(хо), и = О, 1, 1 п! ~ Выражения для коэффициентов с„очевидным образом получаются из выражений для ~~Ь)(х) при Й = и и х = хо. В свою очередь, формулы для ~~~~(х) достаточно проверить только при к = 1, ибо тогда Г'(х) снова окажется суммой степенного ряда. Итак, проверим, что функция ~р(х) = 2 нс„(х — хо)" ~ действительно является производной для ~(х). 15. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 325 Прежде всего заметим, что в силу формулы Коши- Адамара (17) радиус сходимости последнего ряда совпадает с радиусом сходимости В исходного степенного ряда для 7"(2). В дальнейшем для упрощения записи будем считать, что го —— О, т.
е. ЧтО 1(г) = 2 С„г", ~Р(г) = ~; Пепзп И РЯДЫ СХОДЯТСЯ ПРИ ф < В. =о п=1 Поскольку внутри круга сходимости степенной ряд сходится абсолютно, можно заметить, и это существенно, что при ф < т < Л справедлива оценка ~п~з" 1) = п)с„)(2)" 1 < п)с„)тп 1, а ряд 2.' п)с„)т" п=1 сходится. Значит, для любого е ) О найдется номер Х такой, что при (г) < т е пт„,к-' < '~)' пспт"-' < 3 п=й1-1-1 п=й1-1-1 Таким образом, с точностью до ~ ~функция;р(г) в любой точке круга ф < т совпадает с А1-й частичной суммой определяющего ее ряда. Пусть теперь 1, и з — произвольные точки этого круга. Преобразование У(0-Пя) ~- Г-з" 1„— г п=1 (~п — 1+ ~п — 2 + + ~ и-2+ п-1) И ОцЕНКа ~С„(1," 1+...
+ яп 1)! < (С„~Пт" 1 ПОЗВОЛяЮт, КаК И ВЫШЕ, Заключить, что интересующее нас разностное отношение при Ц < т и ~з~ < т совпадает, с точностью до ~, с Х-й частичной суммой определяющего его ряда. Значит, при Ц < т и ф < т У(0- У(з) — 1О(з) < ~~> Сп — ~ПСпяп 1 +2 —. 1 — 2 3 п=1 п=1 Если теперь, фиксировав г, устремить 1, к з, то, переходя к пределу в конечной сумме, видим, что при 1, достаточно близких к г правая часть последнего неравенства, а с нею и левая становятся меньше е. Таким образом, для любой точки з в круге ф < т < В, а ввиду произвольности т, и для любой точки круга ~г~ < В проверено, что Г(з) =Р(з) 1 326 ГЛ.
У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Эта теорема позволяет точно указать тот класс функций, для которых их ряды Тейлора сходятся к ним. Говорят, что функция аналитична в точке го Е С, если в некоторой окрестности этой точки ее можно представить в следующем («аналитическомэ) виде: У(г) = ~',с ( — о), п=о т.е. как сумму степенного ряда по степеням г — хо. Нетрудно проверить (см. задачу 7), что сумма степенного ряда аналитична в любой внутренней точке круга сходимости этого ряда. С учетом определения аналитичности функции, из доказанной теоремы получаем Следствие.
а) Если функция аналитична в точке, то она бесконечно дифференцируема в этой точке и ее ряд Тейлора сходится к ней в окрестности этой точки. Ь) Ряд Тейлора функции, определенной в окрестности 1почки и бесконечно дифференцируемой в точке, сходится к функции в некоторой окрестности точки тогда и только тогда, когда функция аналитична в этой точке. В теории функции комплексного переменного доказывается замечательный факт, не имеющий аналогов для вещественных функций. А именно, оказывается, что если функция 1(х) дифференцируема в окрестности точки хо Е С, то она аналитична в этой точке.
Это и в самом деле удивительно, поскольку в силу доказанной выше теоремы отсюда следует, что если функция 7" 1х) имеет одну производную 7"'(г) в окрестности точки, то в этой окрестности она имеет также производные всех порядков. На первый взгляд это так же неожиданно, как то, что, присоединив к К корень 1 одного конкретного уравнения х = — 1, мы получаем поле С, в котором любой алгебраический многочлен Р(х) имеет корень. Факт разрешимости в С алгебраического уравнения РЯ = 0 мы собираемся использовать и поэтому докажем его в качестве хорошей иллюстрации к введенным в этом параграфе начальным представлениям о комплексных числах и функциях комплексного переменного.
5. Алгебраическая замкнутость поля С комплексных чисел. Если мы докажем, что любой полипом Р(г) = со+с1г+... +с„г", п > 1, 15. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 327 с комплексными коэффициентами имеет корень в С, то уже не возникнет надобности в расширении поля С, вызванной неразрешимостью в С некоторого алгебраического уравнения. В этом смысле утверждение о наличии корня у любого многочлена Р(я) устанавливает алгебраическую замкнутость полл С. Чтобы получить вполне наглядное представление о том, почему в С любой полинам имеет корень, в то время как в К его могло не быть, воспользуемся геометрической интерпретацией комплексного числа и функции комплексного переменного.
Заметим,что „ /са с1 Са — 1 РЯ =г" ~ — + — +...+:+с„ ~го 3 -1 Е и, следовательно, Р(е) = с„г" + о(ла) при ~е~ -+ оо. Поскольку нас интересует корень уравнения Р(д) = О, то, поделив обе части уравнения на с„, можно считать, что коэффициент с„многочлена Р(е) равен 1 и потому Р(д) = з" + о(з") при ф — 1 оо. (33) Если вспомнить (см, пример 15), что при отображении г ~-+ г" окружность радиуса г переходит в окружность радиуса г" с центром в точке О, то при достаточно больших значениях т, в силу (33), с малой относительной погрешностью образ окружности ф = г будет совпадать с окружностью ~1о~ = г" плоскости 1о (рис. 44). Во всяком случае, важно, что образом будет кривая, охватывающая точку 1о = О. Если круг ~г~ < г рассматривать как пленку, натяну- о ---. е тую на окружность |г~ = г, то при непрерывном отображении, осуществляемом полино-, е, оа мом ю = Р(г), зта пленка перейдет в пленку,натянутую на образ окружности.
Но посколь- [1-:ЯЯ) ку последний охватывает точ- Рис. 44. ку ш = О, то некоторая точка этой пленки обязана совпадать с 1о = О и, значит, в круге ф < г найдется точка га, которая при отображении ш = Р(д) перешла именно в ш = О, т.е. Р(,за) = О. 328 ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Это наглядное рассуждение приводит к ряду очень важных и полезных понятий топологии 1индекс пути относительно точки, степень отображения) и с помощью этих понятий может быть доведено до полного доказательства, справедливого, как можно понять, не только для полиномов. Однако эти рассмотрения, к сожалению, отвлекли бы нас от основного предмета, которым мы сейчас занимаемся; поэтому мы проведем другое доказательство, лежащее в русле тех идей, с которыми мы уже достаточно освоились.
Теорема 2, Каждый полинам Р(з): со + с13 +... + сок степени и > 1 с комплексными коэффициентами имеет е С корень. м Без ограничения общности утверждения теоремы, очевидно, можно считать, что с„= 1. Пусть д = ш1 ~Р(з) ~. Поскольку Р(з) = дв 1+ — '" ' +...
+ 'о ~, то зЕС !Р( )!>! ! ~1— )с„ 1! (со) 1 и, очевидно, )Р(з)! > шах 11,2и) при ф > Л, если В достаточно велико. Следовательно, точки последовательности (гь), в которых 0 < (Р(гь))— 1 — д < ~, лежат в круге ф < В. Проверим, что в С (и даже в этом круге) есть точка зо, в которой ~Р(зо)~ = р. Для этого заметим, что если зь = хь + 1уы то шах Цхь(, ~уь!) < )зь! < Рс и, таким образом, последовательности действительных чисел (хь), (уь) оказываются ограниченными.
Извлекая сначала сходящуюся подпоследовательность )хь,) из ~хь), а затем сходящуюся подпоследовательность (уь, ) из (уь,),получим подпоследовательность зь, = х1н +1Уь, послеДовательности (зь),котоРан имеет предел 1ш1 зь, = 1пп х1н + г 1пп уь, = хо + гуо = зо,и поскольку уй — Фсо ~ л$ — ~00 1 тп — ~со ~гь! -+ (зо! при й -+ оо, то )го! < В. Чтобы избежать громоздких обозначений и не переходить к подпоследовательностям, будем считать, что уже сама последовательность (зь) сходится. Из непрерывности РЯ в зо Н С следует, что 1пп Р(зь) = Р(зо).
Но тогда11 ~Р(зо)~ = 1пп )Р(гь)) = д. Ь-~со ООбратите внимание — мы, с одной стороны, показали, что из любой ограниченной по модулю последовательности комплексных чисел можно извлечь сходящуюся подпоследовательность, а с другой стороны, продемонстрировали еще одно из воз- 15. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 329 Теперь предположим, что 1» > О, и приведем это предположение к противоречию. Если Р(зо) ~ О, то рассмотрим полипом «Зл) = Р~хо) По построению, »Э(0) = 1 и ~фл) ~ = ) — ~~+ — "4 > 1. 1Р( оП Поскольку «ЗО) = 1, полипом ®л) имеет вид Ю( ) = 1+ дал~ + дьч.~в~~' +... + д л", где ~дь~ ф 0 и 1 < а < и.
Если дь = ре«т, то при д» = ~- ~ будем иметь дь (е™)" = рее"ед»«~ = ре' = — р= — ~дь~. Такимобразом, прил = геня получим ~фге'"')~ < /1+ дев !+ (/дь+~я ь~/+... + /д„л"/) = = )1 — « ~дав+ т (~дьч.~)+... + ~дп~г™ ь) = = 1 — т ((дь! — г~дьч ~~ —... — г™~дп0 < 1, если г достаточно близко к нулю. По )Я(л)! > 1 при л Е С. Полученное противоречие показывает, что Р(ло) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
