1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 54
Текст из файла (страница 54)
ИССЛЕДОВАНИЕ<РУНКЦИЙ 297 Из определения 4, очевидно, вытекает, что П') с1 = 1пп х-~-со х се = 1пп Щх) — с1х). И вообще, если Дх) — (сд + с1х +... + с„х") = о(1) при х -+ — со, то с„= 1пп У( ') и Дх) — с„х" с„1 = 1пп х->-00 ха — 1 со = 1пп Щх) — (с~х+... +с„х")). Эти соотношения, выписанные нами для случая х — ~ — оо, разумеется, справедливы также в случае х — ~ +со и могут быть использованы для описания асимптотического поведения графика функции у(х) с помощью графика соответствующего алгебраического полинома се + +с1х+...+с„х . Пример 26. Пусть (р, ~р) — полярные координаты на плоскости, и пусть точка движется по плоскости так, что в момент времени ~ (1 > О) я р= р(1) =1 — е соя — 1, р = ~о(1) = 1 — е ' вш 2 Требуется нарисовать траекторию точки.
Нарисуем для этого сначала графики функций р(г) и у(1) (рис. 34,а, 34,Ь). Теперь, глядя одновременно на оба построенных графика, можем нарисовать общий вид траектории точки (рис. 34, с). с. Использование дифференциального исчисления при построении графика функции. Как мы видели, графики многих функций можно в общих чертах нарисовать, не выходя за пределы самых простых соображений. Однако если мы желаем уточнить эскиз, то в случае, когда производная исследуемой функции не слишком сложная, ГЛ. У.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 298 1 2 3 О 1 2 3 С О Рнс.
34. можно привлечь аппарат дифференциального исчисления. Продемон- стрируем это на примерах. Пример 27. Построить график функции у = у[х) в случае )'[х) = ~х+ 2]е ~1*. Функция Дх) определена при х Е %10. Поскольку е 11* — 1 1 при х -+ оо, то — (х+2) при х-+ — оо, ]х + 2[е ~~*— (х+2) при х — 1+со. Далее, при х -+ — О, очевидно, имеем [х + 2]е 1~* — 1 +со, а при х -+ -+ +О [х + 2]е 11* -+ +О. Наконец, видно, что )'[х) > 0 и Д вЂ” 2) = О.
На основании этих наблюдений уже можно сделать первый набросок графика (рис. 35, а). Выясним теперь основательно, действительно ли данная функция монотонна на промежутках ] †, — 2], [ — 2,0[, ]О, +со[, действительно ли она имеет указанные асимптоты и правильно ли изображен характер выпуклости графика функции. Поскольку х~+ х+ 2 — 1/х 3 '+я+2 11, х у' (х) = если х < — 2, если — 2(х и хФО, 14.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 299 — 2 — 1 021 3 — 2 — 10 Рис. 35. и 1'(х) ф О, то можно составить следующую таблицу: — х — 1+ о(1) при х -+ — оо, ~х + 2~е ~~*— х + 1 + о11) при х — + +со, значит, на самом деле наклонные асимптоты графика суть у = — х — 1 при х -+ — со и у = х + 1 при х + +со.
Па участках постоянства знака производной функция, как мы знаем, имеет соответствующий характер монотонности. В нижней строке таблицы символ +со " О означает монотонное убывание от +со до О, а символ О,Р +оо — монотонное возрастание значений функции от О до +оо. Заметим, что ~'(х) -+ — 4е 1~2 при х -+ — 2 — О и Г'(х) -+ 4е 1~2 при х -+ — 2 + О, поэтому точка ( — 2, О) должна быть угловой точкой графика (излом типа излома у графика функции ~х~), а не обычной точкой, как это у нас изображено на рис. 35, а.
Далее, 1'1х) -+ О при х -+ +О, поэтому график должен выходить из начала координат, касаясь оси абсцисс (вспомните геометрический смысл 1'1х)!). Уточним теперь асимптотику функции при х -+ — оо и х -+ +со. Поскольку е 1~* = 1 — х 1+ о(х 1) при х-+ со, то ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 300 По этим данным уже можно построить достаточно надежный эскиз графика, но мы пойдем дальше и, вычислив 2 — Зх -1/х 4 2 — Зх -1/х е х / (х) = если х < — 2, если — 2<х и хфО, найдем участки выпуклости графика. Поскольку /"(х) = О лишь при х = 2/3, то имеем следующую таблицу: В заключение рассмотрим еще один Пример 28.
Пусть (х, у) — декартовы координаты на плоскости, и пусть движущаяся точка в каждый момент 2 (2 > 0) имеет координаты 2 — 223 ~2' 1 22' Требуется изобразить траекторию движения точки. Поскольку при х = 2/3 наша функция дифференцируема, а при переходе через эту точку /Я(х) меняет знак, то точка (2/3, /(2/3)) является точкой перегиба графика. Между прочим, если бы производная /'(х) обращалась в нуль, то из таблицы знаков /'(х) можно было бы судить о наличии или отсутствии экстремума в соответствующей точке.
В нашем случае /'(х) нигде не обращается в нуль, но в точке х = — 2 функция имеет локальный минимум: она непрерывна в этой точке и при переходе через нее /'(х) меняет знак с — на + . Впрочем, то, что при х = — 2 наша функция имеет минимум, видно уже из приведенного в таблице описания изменения значений функции /(х) на соответствующих промежутках, если, конечно, учесть еще, что /( — 2) = О.
Теперь можно нарисовать более точный эскиз графика данной функции (см. рис. 35, Ь). 14. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 301 Нарисуем сначала эскизы графиков каждой из данных координатных функций х = х(1) и у = у11) 1рис. 36, а, 36, Ь). Второй из этих графиков несколько интереснее, поэтому поясним его построение. Поведение функции у = У11) при 1 -+ +О, 1 -+ 1 — О, 1 -+ 1 + О и асимптотику у11) = 21+ о11) при 1 — 1 +со усматриваем непосредственно из вида аналитического выражения для У11). Вычислив производную находим ее нули: 11 — 0,5 и 13 — 1,5 в области 1 ) О. Составив таблицу: находим участки монотонности и локальные экстремумы у(11) 1 3 (щах) и У112) 4 (гп1п). Теперь, глядя одновременно на оба графика х = х11) и у = у(1), строим эскиз траектории движения точки по плоскости 1см.
рис. 36, с). Этот эскиз можно уточнять. Например, можно выяснить асимптотику траектории. Поскольку 1пп У)"-1 = — 1 и 1пп 1у(1) + х11)) = 2, то прямая у = С-~1*А 1- 1 = — х + 2 является асимптотой для обоих концов траектории, отвечающих стремлению 1 к 1. Ясно также, что прямая х = О есть вертикальная асимптота для участка траектории, отвечающего 1 — > +со. Найдем далее У1 1 — 51з -1- 214 Ух = х, 1+8 1 — 3 +2 Функция "+ 2" как легко выяснить монотонно убывает от 1 до — 1 при возрастании и от О до 1 и возрастает от — 1 до +ос при возрастании и от 1 до +ос.
Из характера монотонности у' можно сделать заключение о характере выпуклости траектории на соответствующем участке. С учетом $ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 303 сказанного теперь можно построить следующий, более точный эскиз траектории движения точки (см. рис.36,е!). Ксли бы мы рассматривали траекторию также для 1 ( О, то, как следует из нечетности функций х(1), у(1), к уже построенным на плоскости (х, р) линиям добавились бы еще центрально симметричные им кривые. Подведем некоторые итоги в виде самых общих рекомендаций относительно порядка построения графика заданной аналитически функции. Вот эти рекомендации.
1' Указать область определения функции. 2' Отметить специфические особенности функции, если они очевидны (например, четность, нечетность, периодичность, совпадение с точностью до простейших преобразований координат с графиками уже известных функций) . 3' Выяснить асимптотическое поведение функции при подходе к граничным точкам области определения и, в частности, найти асимптоты, если они существуют. 4' Найти промежутки монотонности функции и указать ее локальные экстремумы.
5' Уточнить характер выпуклости графика и указать точки перегиба. 6' Отметить характерные точки графика, в частности точки пересечения с осями координат, если таковые имеются и доступны вычи- слению. Задачи н упражнения 1. Пусть х = (хм, .., х„), а = (ае,..., а„), причем х, > О, а; > О при 1 = = 1,...,п и 2 а, = 1.
Для любого числа 1ф О рассмотрим среднее порядка! ые чисел хе,...,х„с весами а;: ~,ч Мс(х,а) = ~~',а~х, а=1 В частности, при ае — — ... — — а„= — „и ! = — 1,1,2 получаем соответственно 1 среднее гармоническое, среднее арифметическое и среднее квадратическое. Покажите, что а) !пп Ме(х, а) = х '... х ", т.е. в пределе можно получить среднее гео- ,„О ' ' 1''' е' метрическое; 304 ГЛ.
11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Ь) !пп Мз(х,сз) = 1пах х,; 1 .1- 1<з<зз с) 1пп Мз(х,а) = ппп х„ з-з — ос 1<1<зз д) Мз(х, сз) — неубывающая функция от 1 на Н, причем она строго возрастает, если и > 1 и все числа х1 отличны от нуля. 2. ПОКажИтЕ, ЧтО ]1+ Х[1' > 1+рХ+ Срзрр(Х), ГдЕ Ср — - ПОСтОяииая, ЗаВИСящая только от р, а ( ]х[2 при [х] < 1, ур(х) = если 1<р<2, ( ]х[Р при [х] > 1, и злр(х) = ]х]Р на И, если 2 < Р.
;з 3. Проверьте, что соях < (м"*) при О < [х] < ~. 4. Исследуйте функцию /(х) и постройте ее график, если а) 1(х) = ахсся 1оя2 соз [»х + 4); Ь) 1(х) = атосов (2 — язв х); ) 1Р) =;ЯЁ з зз', сз) постройте кривую, заданную в полярных координатах уравнением зр = , р > О, и укажите ее асимптоту; 2 е) укажите, как, зная график функции у = 1(х), получить графики функций ((х) + В; А2(х); 2(х+ Ь); /(ах) и, в частности, — 2(х) и 2( — х). 5. Покажите, что если у Е С(]а, Ь[) и для любых точек х1,х2 Е ]а, Ь[ выполнено неравенство х1+х2 1 2(х1)+2(х2) 2,l 2 < то функция 1 выпуклая на ]а, Ь[. 6. Пусть х = а1Х1 + сззх2, где аз + сз2 = 1. а) Опишите положение точки х по отношению к отрезку [х1, Х2] при различных значениях параметров сз1, 122.
Ь) Нарисуйте график функции у, строго выпуклой на числовой оси, и прямую, проходящую через точки (х1,,1(хз)), (х2, 1(Х2)) графика. После этого напишите очевидные неравенства между ((сз1Х1 + сзгхг) и о1У(Х1) + сзЖХ2) при различных значениях параметров аз, аю удовлетворяющих соотношению 121 + сзг = 1. с) Каковы неравенства (Юнга) между аР Ьз и -а+ -Ь при различных зна- 1 1 Р 4 чениях р 11 если — + — = 1? 1 1 Я сз) Напишите уравнение касательной к графику функции (1 + х)~ в точке (О, 1) и укажите правильный знак неравенства между величинами (1+ х) и о 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
