1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Пример легко построить, усовершенствовав пример 5, приведенный по схожему поводу. Пусть 2хз+хзз1п ~ при х ф 0 Дх) = х' 0 при х=О. Тогдахз < ~(х) < ЗхзприО< хиЗхз < Дх) <хзприх< О, поэтому график этой функции касается оси абсцисс в точке х = 0 и переходит в этой точке из нижней полуплоскости в верхнюю. В то же 14. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 289 время производная функции 1 (х) б х + Зх 81п — — 2сов — при х ~ О, 1'(х) = 2 2 ° 1 1 х х О при х=О не монотонна ни в какой полуокрестности точки х = О. В заключение вновь вернемся к определению (11) выпуклой функции и докажем следующее 'Утверждение Т (неравенство Иенсена11). Если у": ]а,о( — 1 й— ВЫПУКЛал фУНКЦиа Х1,...,Хп — тОЧКи иктЕРВаЛа ]а,Ц, СЕ1,...,ап— неотрицательные числа такие, что ст1 +...
+ ап = 1, то справедливо неравенство Да1х1+... + апХп) ( Се1У" (Х1) +... + оп('(хп). (14) м При п = 2 условие (14) совпадает с определением (11) выпуклой функции. Покажем, что если (14) справедливо для и = т — 1, то оно справедливо и для п = т. Пусть, для определенности, в наборе о1,..., ап имеем о„ф О. Тогда 13 = стг + ... + сеп > О и — 2 +... + —" = 1. Используя выпуклость Р ''' Р функции, находим /ог оп 1(се1х1+... +опхп) = 1 ет1х1+13 ~ — хг+... + — хп < стг ~-"и ) 1,13 Р < ст1 1(х1) + Щ ~ — хг +... + — х„~), поскольку о1+ 13 = 1 и ( — 'хг +...
+ — "х„) ч ]а, Ь(. Далее, по предположению индукции / Ог Оп 1 Ог ~"и ,( ( — Хг +... + — Хп) ( — 2'(Хг) +... + — 2'(Хп). ~ ")-~ Следовательно, / '"г оп 2 (С"1Х1 + + ОвХп) Ч СЕ12 (Х1) + 132 ~ Х2 + + Хп < о1~(х1) + ог~(хг) +... + оп 1(х„). ОИ. Л. Иенсен (1859 — 1925) — датский математик. ГЛ. 11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 290 В силу принципа индукции заключаем, что (14) верно для любого и Н г1 1Для п = 1 (14) тривиально.) ~ Заметим, что, как видно из доказательства, строгой выпуклости отвечает строгое неравенство Иенсена, т. е. числа а1,..., а отличны от нуля, то знак равенства в 114) может иметь место тогда и только тогда, когда х1 =...
= х„. Для функции, выпуклой вверх, разумеется, получается обратное по отношению к неравенству (14) неравенство 1(а1х1+... + а„х„) > о11'1х1) +... + а„~(х„). (15) Пример 17. Функция 7" (х) = 1пх строго выпукла вверх на множестве положительных чисел, поэтому в силу (15) а11пх1+... + а„1пх„< 1п(а1х1+... + а„х„) или х1 ° ° ° х, " ~ ~о1х1 + ° + пах~ (16) х1 + ... + х„ Х1 . Хп <- п (17) между средним геометрическим и средним арифметическим п неотрицательных чисел.
Знак равенства в (17) возможен, как отмечалось выше, только при х1 = х2 = ... = х„. Если же в (16) положить и = 2, о1 = —, аг = —, х1 = а, х2 = 5, то вновь получим уже известное нам 1 неравенство (5). Пример 18. Пусть 7"1х) = хр, х > О, р > 1. Поскольку такая функция выпукла, имеем с и Р я О1Х1 < ~ О1ХР1 1=1 г=1 я Полагая здесь д = — с —, о1 = Ь~ ~ ~, 5~), х; = а,.Б,.
Др 1 ~ 59, вновь 1=1 1=1 при х; > О, ол > О (г = 1,..., п) В частности, если о1 =... = венство и ~;а;=1. 1=1 а„= — „, получаем классическое нера- 1 14.ИССЛЕДОВАНИЕ«РУНКЦИЙ 291 получаем неравенство (7) Гельдера где — + — =1 и р>1. 1 1 Р 9 При р < 1 функция у(х) = х" выпукла вверх, поэтому аналогичными рассуждениями можно получить и другое неравенство (8) Гельдера. 4. Правило Лопнталя. Остановимся теперь на одном частном, но иногда полезном приеме отыскания предела отношения функций, известном как правило Лопитзля1). л'тверждение 8 (правило Лопиталя). Пусть функции у: ]а, Ь[ — ь — у )к и д: ]а, Ь[ — ь К дифференцируемы на интервале ]а, Ь[ ( — оо < а < < Ь ( +ею), причем д'(х) ~ 0 на ]а, Ь[ и У'(х) — +А при х — +а+О ( — оо < А <+со). д'( ') Тогда в каждом из двух следующих случаев: 1' Щх) -+ 0) А (д(х) — > 0) при х -+ а+0 или 2' д(х) -+ оо при х-+ а+0 будет Пх) — — ь А при х — ь а+О. д(х) Аналогичное утверждение справедливо и при х — ь Ь вЂ” О.
Коротко, но не вполне точно правило Лопитзля формулируют так: предел отношения функций равен пределу отношения их производных, если последний существует. м Если д«(х) ф О, то на основании теоремы Ролля заключаем, что д(х) строго монотонна на ]а, Ь[. Значит, уменьшив, если нужно, промежуток ]а, Ь[ за счет сдвига в сторону конца а, можно считать, что ОГ.Ф.де Лопитзль (1661 — 1704) — французский математик, способный ученик Иоганна Бернулли, маркиз, для которого последний в 1691 — 1692 гг. написал первый учебник анализа. Часть этого учебника, посвященная дифференциальному исчислению, в слегка измененном виде была опубликована Лопитзлем под своим именем. Таким обрезом, «прзвилом Лопитвля«мы обязаны Иоганну Бернулли.
ГЛ. Н. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 292 д(х) ~ 0 на ]а, Ь[. Для х,у Н ]а, Ь[ по теореме Коши найдется точка С Н ]а, Ь[ такал, что У( ) — У(у) ГЫ) д(х) — д(у) д'(() Перепишем это равенство в удобном для нас сейчас виде При х — ~ а+0 согласованно с изменением х будем стремить у к а+0 так, чтобы при этом — -+0 У(у) д(х) и — -+ О. д(у) д( ') В любом из данных нам двух вариантов 1' и 2' это, очевидно, можно сделать. Так как ( лежит между х и у, то вместе с х и у также С -+ -+ а + О. Значит, правая, а следовательно, и левая часть последнего равенства при этом стремятся к А. ~ Пример 19. 1пп ""* = 1пп ~~~~ = 1.
х-~0 х-~0 Пример 21. 1пх . (х) . 1 1пп — = 1пп = 1пп — = 0 при х — И-аа Ха х — Н-аа оХа 1 х-~+ах оха о > О. Пример 22. ха , оха 1, о(о — 1) .. (о — п.1 1)ха " 1пп — = 1пп =... = 1пп — 0 х — ч-аа ах х-и-аа ах !па х — ~-~ха ах(1па)" а — п при а > 1, ибо при п > о и а > 1, очевидно, * — > О, если х -+ +со.
„х Этот пример не следует рассматривать как новое, независимое доказательство того, что — "" х — ~ 1 при х — ~ О. Дело в том, что, например, при выводе соотношения яш' х = соя х мы уже использовали вычисленный здесь предел. В возможности применения правила Лопиталя всегда убеждаемся только после того, как найдем предел отношения производных. При этом не следует забывать о проверке условий 1' или 2'.
Важность этих условий показывает следующий Пример 20. Пусть у(х) = созх, д(х) = 01пх. Тогда~'(х) = — 01пх, и! д'(х) = сов х и 4~~ -+ +оо при х -+ +О, в то время как ~'-Д) -+ 0 при 9'( ) х — > +О. 14. ИССЛЕДОВАНИЕ«вУНКЦИЙ 293 Заметим, что вся цепочка последних равенств носила условный характер до тех пор, пока мы не пришли к выражению, предел которого смогли найти. 5. Построение графика функции. Для наглядного описания функции очень часто используют ее графическое представление.
Как правило, такое представление бывает полезно для обсуждения качественных вопросов поведения исследуемой функции. Для точных расчетов графики используются реже. В связи с этим практически важным оказывается не столько скрупулезное воспроизведение функции в виде графика, сколько построение эскиза графика функции, правильно отражающего основные элементы ее поведения.
Некоторые общие приемы, встречающиеся при построении эскизов графиков функций, мы и рассмотрим в этом пункте. а. Графики элементарных функций. Напомним прежде всего, как выглядят графики основных элементарных функций, свободное владение которыми необходимо для дальнейшего (рис. 24-30). Ь. Примеры построения эскизов графиков функций (без привлечения дифференциального исчисления). Рассмотрим теперь некоторые примеры, в которых эскиз графика функции может быть легко построен, если нам известны графики и свойства простейших элементарных функций. Пример 23.
Построим эскиз графика функции у 1обх» — зх-~-з 2 Учитывая,что 1 1 у 1оах» — зхез 2 1ояз(хз — Зх + 2) 1обз(х — 1)(х — 2) ' строим последовательно график квадратного трехчлена у» = х~ — Зх+2, затем уз = 1оязу1(х) и затем у = 1 (рис.31). 92~х! «Угадать» такой вид графика можно было бы и иначе: выяснить область определения функции 1оя» 3 92 = (1одз(х~ — Зх+ 2)) 1, найти поведение функции при приближении к граничным точкам области определения и на промежутках, концы которых являются граничными точками области определения, нарисоваты плавную кривую» с учетом найденного поведения функции у концов промежутка. ГЛ. Ч.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 294 0 и Рис. 24. Рис. 25. Рис. 26. Рис. 28. Рис. 27. 0 1 Рис. 30. Рис. 29. 14, ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 295 Пример 24. Построение эскиза графика функции у =вшх 2 видно из рис. 32. Мы построили этот график по некоторым характерным для данной функции точкам — тем точкам, где я1пх2 = — 1, яшх2 = 0 или в1пх = 1. Между двумя соседними точками такого типа функция монотонна. Вид графика в окрестности точки х = О, у = 0 определяется тем, что вшх2 х2 при х — » О.
Кроме того, полезно заметить, что данная функция четна. Поскольку мы все время будем говорить только об эскизном, а не точном построении графика функции, то условимся ради краткости в дальнейшем считать, что требование «построить график функции» для нас всегда будет равносильно требованию <построить эскиз графика функциик Пример 25. Построим график функции у = х + агой (х — 1) (рис. ЗЗ). При х -+ — оо график хорошо приближается прямой у = х — ~, а при х -+ +оо — прямой у = х+ Е. 2' Введем следующее полезное Определение 4. Прямая у = се + с1х называется асимитотой графика функции у = ((х) при х -+ — оо (при х -+ +оо), если 1(х)— — (се + с1х) = о(1) при х -+ — оо (при х -+ +со). Таким образом, в нашем случае при х -+ — оо график имеет асимптоту у = х — ~, а при х -+ +со — асимптоту у = х + —.
Если при х -+ а — 0 (или при х -+ а + О) (~(х)! -+ оо, то ясно, что график функции в этом случае будет по мере приближения х к а все теснее примыкать к вертикальной прямой х = а. Эту прямую называют вер«пикальной асимптотой графика, в отличие от введенной в определении 4 асимптоты, которая всегда наклонна. Так, график из примера 23 (см. рис. 31) имеет две вертикальные асимптоты и горизонтальную асимптоту (общую для х -+ — оо и х » -+ +со). 14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
