1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Сейчас мы воспользуемся довольно искусственным приемом для получения информации об остаточном члене. Более естественный путь к этому даст интегральное исчисление. Теорема 2. Если на отрезке с концами хо, х функция )' непрерывна вместе с первыми и своими производными, а во внутренних точках этого отрезка она имеет производную порядка и+ 1, то при любой функции у, непрерывной на этом отрезке и имеющей отличную от нуля производную в его внутренних точках, найдется точка (, лежащая между хо и х, такая, что (8) ~ На отрезке 1 с концами хо, х рассмотрим вспомогательную функцию Ю) = У(х) — Р Ы;х) от аргумента 1.
Запишем определение Р(2) подробнее: Р(1) = ~(х) — 7'(1) + —,(х — 1) +... +, (х — 1)" . (10) Г() ~(")(1) Из определения функции Р(1) и условий теоремы видно, что Р непрерывна на отрезке 1 и дифференцируема в его внутренних точках, 13. ОснОВные теОРемы диФ<веРенциАльнОГО исчисления 257 причем Р'(() = — У'(Ф) — — + (х — () — (х — 1) + У'(1) Уо(() 1о(1) 1! 1! ут(1) у(а-~-1)(1) ~! г(а-~-1)(1) + ( )2 + ( )и ( 1)а 2! и! Применяя к паре функций Г(1), ~р(1) на отрезке 1 теорему Коши (см. соотношение (4)), находим точку С между хо и х, в которой к'(х) — ь'(хо) к" Ы) р(х) — р(хо) (о'Ы) Подставляя сюда выражение для г (0 и замечая из сопоставления формул (6), (9) и (10), что Г(х) — Г(хо) = 0 — Р(хо) = — г„(хо,х), получаем формулу (8).
~ Полагая в (8) у(г) = х — г, получаем Следствие 1 (формула Коши остаточного члена). Особенно изящная формула получается, если положить в соотношении (8) (о(1) = (х — 1)"т1: Следствие 2 (формула Лагранжа остаточного члена). (12) Отметим, что формулу (7) Тейлора при хо = 0 часто называют форллулой Маклорена ') . Рассмотрим примеры. Пример 3. Для функции 7(х) = е* при хо — — 0 формула Тейлора имеет вид 2 1 и е* = 1+ — х+ — х +... + — х" + т„(0;х), 1! 2! п! (13) ОК. Маклорен (1698 — 1746) — английский математик. 258 ГЛ. 11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ и на основании равенства (12) можно считать, что (и+ 1)! где ф < (х). Таким образом, !г„(0;х)! = е4.
!х!"+~ < е!*!. (п + 1)! (и + 1)! (14) )~~.~-1 Но при любом фиксированном х Е Й, если п -+ оо, величина ~ — *1 — —;, как нам известно (см. пример 12 из гл. П1, 8 1, п. ЗЬ), стремится к нулю. Значит, из оценки (14) н определения суммы ряда вытекает, что для х Е 2Г 2 1 и е* = 1+ — х + — т +... + — х" +... (15) 1! 2! и! Пример 4. Аналогично получаем разложение функции а* для любогоа, 0<а, аф1: 1па 1п а 2 1п" а а =1+ — х+ — х +...+ — х" +.. 1! 2! и! 1, / и г„(0;х) = 81п(~+ — (и+1)) т"+', (и+ 1)! 2 (16) откуда следует, что для любого фиксированного значения х Н К вели- чина г„(О; х) стремится к нулю при п -+ оо.
Таким образом, при любом т Н К справедливо разложение 3 1 5 ( 1) 2и11 вшх=х — — х + — х —...+ х" +... 3! 5! (2п + 1)! (17) Пример 6. Аналогично, для функции 7" (х) = соя х получаем г„(0; х) =, соя (4 + — (п+ 1)) х"+ (п+ 1)! (18) Пример 5. Пусть 7"(х) = зшх. Нам известно (см.
пример 18 из 8 2, п. 6), что 1'!"!(х) = 81п (х+ 2 и), п Е 14, поэтому из формулы (12) Лагранжа при хо = 0 и любом х Н К находим 13. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 239 2 1 4 ( 1) 2в сов х = 1 — — х + — х —... + х " + .. 2! 4! (2п)! Пример 7. Поскольку вЬ' х = сЬ х, сЬ' х = вЬ х, для функции у (х) = = вЬх при хв = 0 из формулы (12) получаем г„(0; х) =,, 1р(() х"" 1, (и+ 1! 3 1 3 1 вЬх=х+ — х + — х +...+ 3! 5! ' ' ' (2п+ 1)! х2"4 1 + ..., (20) справедливое для любого х Е !к. Пример 8.
Аналогично получаем разложение сЬх=1+ — х + — х +...+ х "+..., 2 1 4 1 2п 2! 4! (2п)! (21) справедливое для любого значения х Е )к. Пример О. Для функции у(х) = 1п(1 + х) имеем ~!")(х) ! и-1 ', поэтому формула Тейлора (7) при хв = 0 для этой (1+ х)" функции имеет вид 1п(1+х) = х — — х + — х —... + х" + г„(0;х). (22) 2 1 3 ( 1) в 2 3 На сей раз представим г„(0; х) по формуле Коши (11): 1 ( — 1)" п! г„(0;х) = —,, (х — с)"х, или 1и г„(0; х) = (-1)" ) (23) где точка с лежит между 0 и х. где 1р(С) = вЬС, если и четно, и у(~) = сЬС, если и нечетно. В любом случае !1р(С)! < шахЦвЬх), ~ сЬх!1 = сЬх, ибо ф < (х~. Значит, для любого фиксированного значения х е К выполняется г„(0; х) + 0 при и -+ оо, и мы получаем разложение 266 ГЛ. Ч.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Если ~х~ < 1, то из условия, что ~ лежит между 0 и х, следует, что х — ( )х! — ф (х) — ф 1 — )х) 1 — )х) 1 + 4 ~1 + 4| 1 — ~(~ 1 — )4! 1 — )0) Таким образом, при ~х~ < 1 )х)~«-1 )г„10;х)) < 125) и, следовательно, при ~х~ < 1 справедливо разложение г 1з 11) 1п11+х) =х — -х +-х —...+ х" +.. 2 3 п 126) (1 «- х)'* = 1 «- о х «- О 27 Используя формулу Коши 111), находим г„10;х) =, 11+~) " ~1х — ~)"х, 128) где с лежит между 0 и х. Если ~х~ < 1, то, используя оценку 124), имеем )г„(0;х)! < а(1 — — )... (1 — — )((1+() ')х)""~.
(29) При увеличении и на единицу правая часть неравенства 129) умножается на ~ (1 — ) х~. Но поскольку ~х~ < 1, то при достаточно больших в+1у значениях п независимо от значения а будем иметь 11 — о ) х < п+ 1/ < 9 < 1, если )х~ < д < 1. Заметим, что вне отрезка ~х! < 1 ряд, стоящий справа в 126), всюду расходится, так как его общий член не стремится к нулю, если ~х~ ) 1.
Пример 10. Еслибы"1х) =11+х),где о Е К, то )'1")1х) = а(а — 1)х х... х 1о — и+ 1И1+ х)" ", поэтому формула Тейлора 17) при хе = 0 для этой функции имеет вид 13. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 261 Отсюда следует, что при любом а Е К и любом х из интервала !х~ < 1 выполнено г„(0; х) -+ О, когда и -+ оо; поэтому на интервале !х~ < 1 справедливо полученное Ньютоном разложение (бином Ньютона) (1+ ) = 1+ —,х+, ~+...+ а а(а — 1) з а(а — 1)...
(а — и + 1) х" +... (30) Заметим, что, как следует из признака Даламбера (см. гл. Н1, ~ 1, п. 4Ь), при !х! > 1 ряд (30) вообще расходится, если только а !ь Ы Рассмотрим теперь особо случай, когда а = и Е 14. В этом случае функция 1(х) = (1+ х) = (1+ х)" является поли- номом степени и, и поэтому все ее производные порядка выше чем и равны нулю. Таким образом, формула Тейлора (7) и, например, формула Лагранжа (12) позволяют записать следующее равенство: и и(и — 1) з и(и — 1) .... 1 (1 + х)" = 1 + †,х + , х~ + ... + , х", (31) представляющее собой известную из школы формулу бинома Ньютона для натурального показателя: (1 + х)" = 1 + С„'х + С~хз +...
+ С„"х". Итак, мы определили формулу Тейлора (7) и получили вид (8), (11), (12) остаточного члена формулы Тейлора. Мы получили соотношения (14), (16), (18), (25), (29), позволяющие оценивать погрешность вычисления важных элементарных функций по формуле Тейлора. Наконец, мы получили разложения этих функций в степенные ряды. Определение 6. Если функция 1'(х) имеет в точке хо производные любого порядка и Е Ы, то ряд 1 1 Дхо) + — ~'(хо)(х — хо) + " .
+ — У!"!(хо)(х — хо)" + " 1! и! называется рядом Тейлора функции 7' в точке хо. Не следует думать, что ряд Тейлора каждой бесконечно дифференцируемой функции сходится в некоторой окрестности точки хо, ибо для любой последовательности со, с1,..., с„,... чисел можно построить (это не совсем пРосто) фУнкцию 1(х) такУю, что 1~")(хо) = с„, и Е И. ГЛ. Ч.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 262 Не следует также думать, что если ряд Тейлора сходится, то он обязательно сходится к породившей его функции. Сходимость ряда Тейлора к породившей его функции имеет место только для так называемых оно итичесних фунниии. Вот пример Коши неаналитической функции: е '~* , если х ф О, У(х) = О, если х = О. я — 1!х2 Исходя из определения производной и того, что х~е 1~* -~ 0 при х — + 0 независимо от значения в' (см.
пример 30 из ~ 2 гл.111), можно проверить, что ~~")(0) = 0 для п = О, 1, 2,... Таким образом, ряд Тейлора в данном случае состоит только из нулевых членов и его сумма тождественно равна нулю, в то время как 1(х) ~ 0 при х ~ О. В заключение остановимся на локальном варианте формулы Тейлора. Вернемся снова к задаче о локальном приближении функции ~: Е -+ — ~ К полиномом, которую мы начали обсуждать в ~ 1, п.
3. Мы хотим подобрать полипом Р„(хо, х) = со + с1(х — хо) +... + с„(х — хо)" так, чтобы иметь У(х) = Р„(ха,х)+о((х — хо)") при х-+ хо х Н Е, или, подробнее, ~(х) = " + с~(х - хо) + + с (х - .о)" + о((х - хо)") при х -+ хо, х Н Е. (32) Сформулируем в явном виде по существу уже доказанное о'тверждеиие 3. Если удовлетворлюилий условию (32) полинам Р„(хо, х) = со + с1(х — хо) +... + с (х — хо)" существует, то он единственный.
< Действительно, из условия (32) последовательно и вполне однозначно (в силу единственности предела) находятся коэффициенты по- линома 63. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 263 со = 1пп ~(х), Евхохо у (х) — св с1 = 1пп ЕЭ -охо Х вЂ” ХО у(х) — (со+... + с„1(х — хв)" ~] с„= 1пп в Еьх-охо (х — хо)" Докажем теперь следующее ,х'тверждение 4 (локвльная формула Тейлора). Пусть Š— отрезок с концом хв Е К. Если функция ~: Š— х К имеет в точке хв все производные ~'(хв),..., (("1(хв) до порядка п включительно, то справедливо следующее представление: У(х) = У(хо) + , (х — хо) + .
+ , (х — хв)" + У'(хв) ~00(хв) + о((х — хо) ) при х -+ хо х Е Е. (33) Таким образом, задачу локального приближения дифференцируемой функции решает полипом Тейлора соответствующего порядка. Поскольку полипом Тейлора Р„(хо,.х) строится из условия совпадения всех его производных до порядка и включительно с производными соответствующего порядка функции ( в точке хв, то (Чь)(хв)— — Р„(хв,.хв) = 0 (ь. = 0,1,...,п) и справедливость формулы (33) 1ь) устанавливает следующая Лемма 2. Если функция р: Š— о 2, определенн я на отрезке Е с концом хв, такова, что она имеет в точке хв все производные до порядка и включительно и р(хв) = у'(хо) = ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
