1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Если функции и, и имеют производные до порядка и+1 включительно, то, в предположении справедливости формулы (19) для порядка и, после дифференцирования ее левой и правой частей получаем 245 1 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ Пример 25. Если Р„(х) = се+ с1х+... +с„х", то Р„(0) = св, Р„'(х) = с1 +2сгх+... +пс х" ' и Р,',(0) = с1, Рв(х) = 2сг + 3 2свх +... + п(п — 1)с х г и Рв(0) = 2! сг, Р~~)(х) = 3 ° 2св+... +п(п — 1)(п — 2)с„х" в и Р~~~(0) = 3!св, Р("~(х) = п(п — 1)(п — 2)...
2с„и Р(")(0) = и! с„, Р(~)(х) = 0 при й > п. Таким образом, полипом Р„(х) можно записать в виде Р„(х) — Р(в)(0) + — Р(1)(0)х+ — Р)г)(0)хг +... + — Р(")(0)х". Пример 26. Используя формулу Лейбница и то обстоятельство, что производные от полинома, имеющие порядок выше его степени, тождественно равны нулю, можно найти и-ю производную функции 1(х) = хг япх: ~00(х) = вш("1х хг+ ССяп(" Ох 2х+ ~св1п(" ~~х 2 = 2 / п1 = х вш (х + п — ) + 2пх яп (х + (и — 1) — ) + 2) 2) + ( — п(п — 1) вш (х+ и — )) г / 7Г'1 / 7Г1 = (х — п(п — 1)) яп (х+ и — ) — 2пх сов (х+ и — ) . 2) 2) Пример 27.
Пусть у(х) = ахс1ях. Найдем значения у00(0) (и = = 1,2,...). Поскольку 1'(х) =, то (1+ х )1'(х) = 1. 1+х Применяя формулу Лейбница к последнему равенству, находим рекуррентную формулу (1+ хг)1("+1)(х) + 2пх100(х) + п(п — 1)1'(" 1)(х) = О, из которой можно последовательно найти все производные функции 1(х).
ГЛ. 11, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 246 Полагая х = О, получаем ~("+1)(0) = -п(п- 1)У("-1)(0) При п = 1 имеем у(г)(0) = О, поэтому вообще ('(г")(0) = О. Для производных нечетного порядка имеем ~(г -ь1) (О) 2пг(2пг 1)) ( -1) (О) и, поскольку у'(0) = 1, получаем У(г +Ц(0) = ( — 1) (2т)!, Пример 28. Ускорение.
Если х = х(() — зависимость от времени координаты движущейся вдоль числовой оси материальной точки, то ах 1 (-) = = х(1) есть скорость точки, а тогда — ~ — — — е = х(1) есть ее йх(1) йг хи) аГ ~ф ускорение в момент 4. Если х(1) = а1 + )3, то х(4) = о, а х(1) = О, т. е. ускорение в равномерном движении равно нулю. Вскоре мы проверим, что если вторая производная функции равна нулю, то сама функция имеет вид а(+ ~3. Таким образом, в равномерных движениях и только в них ускорение равно нулю. Но в том случае, если мы желаем, чтобы наблюдаемое из двух систем координат движущееся по инерции в пустом пространстве тело в обеих системах двигалось равномерно и прямолинейно, нужно, чтобы формулы перехода из одной инерцизльной системы в другую были линейными.
Именно по этой причине в примере 15 были выбраны линейные формулы (5) преобразования координат. Пример 29. Вторая произеодная простейшей неявно заданной функции. Пусть у = у(() и х = х(1) — дважды дифференцируемые функции. Предположим, что функция х = х(1) имеет дифференцируемую обратную функцию 4 = ((х), тогда величину у(() можно считать зависящей неявно от х, ибо у = у(с) = у(4(х)).
Найдем вторую производную у" в предположении, что х'(1) ~ О. По правилу дифференцирования такой функции, рассмотренному в пункте 5, имеем 12. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 247 поэтому ! с я ! ! я ссс ~ р с я я I я ( с с (ух)с ~хс~ с (хс) хсусс хпус у =(у)— хх х)х .с с с ( с)З с с Заметим, что явные выражения всех участвующих здесь функций, в том числе и у", зависят от 1, но они дают возможность получить значение у" в конкретной точке х после подстановки вместо 1 значения $ = 1(х), отвечающего заданному значению х. Например, если у = е', х = 1п1, то с Ус е с у = —,= — =1е, х', 1/с (у' )', е' + 1е' Мы специально взяли простой пример, в котором можно явно выразить | через х, 1 = е*, и, подставив 1 = ех в у(1) = е', найти явную зависимость у = е' от х.
Дифференцируя последнюю функцию, можно проверить правильность полученных выше результатов. Ясно, что так можно искать производные любого порядка, последовательно применяя формулу (я) (ух" с ) У хс ехр — — при — 1 < х < 1, 1 1 бесконечно дифференцируема на К. Задачи и упражнения 1. Пусть ае, ас,..., а„— заданные вещественные числа. Укажите много- член Р„(х) степени п, который в фиксированной точке хе Е К имеет произ- водные Р„(хе) = аы й = О, 1,..., и. ОО 2. Вычислите 7"'(х), если ехр( — — ) при хфО, ( 0 при х=О; ~ х ап — при хф.О, с) Проверьте, что функция иэ задачи а) бесконечно дифференцируема на К, причем ~00(О) = О.
с() Покажите, что производная функции из задачи Ъ) определена на К, но не является непрерывной функцией на К. е) Покажите, что функция ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 248 3. Пусть у Е Сг~1(й). Покажите, что при х ОО 0 4. Пусть у — дифференцируемая на И функция. Покажите, что а) если у — четная, то у' — нечетная функция; Ь) если у — нечетная, то /' — четная функция; с) (у' нечетна) оь (у четна). 5. Покажите, что а) функция 1(х) дифференцируема в точке хо в том и только в том случае, когда /(х) — Дхо) = р(х)(х — хо), где ~о(х) — функция, непрерывная в хо (и в таком случае д(хо) = Г(хо))' Ь) е и у(х) — у(хо) = Ф(х)(х — хо) и д с С~" О(П(хо)) где У(хо)— окрестность точки хо, то функция у(х) имеет в точке хо производную ~<"1(хо) порядка и. 6.
Приведите пример, показывающий, что в теореме 3 условие непрерывности у 1 в точке уо не является излишним. У. а) Два тела с массами т1 и тз соответственно перемещаются в пространстве только под действием сил взаимного притяжения. Используя законы Ньютона (формулы (1) и (2) из 8 1), проверьте, что величина Е= — т1о1+ — тгоз +( — С ) =:К+У, где о1 и оз — скорости тел, а г — расстояние между ними, не меняется при таком движении. Ь) Дайте физическую интерпретацию величины Е = К + У и ее составляющих. с) Распространите результат на случай движения и тел. 8 3.
Основные теоремы дифференциального исчисления 1. Лемма <1зерма и теорема рояля Определение 1. Точка хо н Е С К называется точкой локального максимума (мииимума), а значение функции в ней — локальным максимумом (мииимумом) функции у: Š— о В„если существует окрестность Уе(хо) точки хо в множестве Е такая, что в любой точке х Н Уе(хо) имеем 1(х) ( У(хо) (соответственно, ((х) >,((хо)). о Определение 2. Если в любой точке х Н Ун(хо) 1 то = ~УЕ(хо) имеет место строгое неравенство у(х) ( у(хо) Щх) > у (хо)), то точ- 13. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 249 ка хв е Е называется точкой строгого локального максимума 1минимума), а значение функции в ней — строгим локальным максимумом (минимумом) функции 1:Е + К.
Определение 3. Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения функции в них— локальными экстремумами 4ункции. Пример 1. Пусть хг, если — 1<х<2, 11х) = 4, если 2<х 1рис. 20). Для этой функции х = -1 †точ строгого локального максимума; — 1 0 х = Π†точ строгого локального минимума; Рис. 20.
х = 2 — точка локального максимума; х > 2 — точки экстремума, являющиеся одновременно точками и локального максимума, и локального минимума, поскольку здесь функция локально постоянна. Пример 2. Пусть 1'(х) = пп 1 на множестве Е = К 10. ь — 1 Точки х = (2 + 2кк), к Е Ж, являются точками строгого ло- в — 1 кального максимума, а точки х = ( — —" + 2кя), Й Е Ж, — точками строгого локального минимума для 11х) 1см. рис. 12).
ОпРеделение 4. ТочкУ хв Е Е экстРемУма фУнкции 1: Е -+ К будем называть точкой внутреннего экстремума, если хв является предельной точкой как для множества Е = 1х Е Е ~ х < хв), так и для множества Е.ь = 1х е Е ( х > хв1. В примере 2 все точки экстремума являются точками внутреннего экстремума, а в примере 1 точка х = — 1 не является точкой внутреннего экстремума. Лемма 1 (Ферма).
Если Яункция 1: Е + К дифу1еренцируема в точке внутреннего экстремума хв Е Е, то ее производная в этой точке равна нулю: ~'(хв) = О. ГЛ. Ь'. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 250 < По определению дифференцируемости функции в точке хе У(хо + 6) — У(хо) = 1'(хо)6 + а(хо,' 6)6, где а(хе, 6) -+ О при Ь -+ О, хо+ Ь Е Е. Перепишем это соотношение в виде Х(хо + 6) — У(хо) = (У'(хо) + о(хо', 6)~ 6.
Поскольку хо — точка экстремума, то левая часть равенства (1) либо неотрицательна, либо неположительна одновременно для всех достаточно близких к нулю значений 6 таких, что хр + 6 Е Е. Если бы бь|ло у'(хо) ф О, то при Ь достаточно близких к нулю величина у'(хо)+а(хо, Ь) имела бы тот же знак, что и ~'(хо), ибо а(хо, 6) — + О при Ь вЂ” ~ О, хо+ 6 е Е. Что же касается самого значения Ь, то оно может быть как положительным, так и отрицательным, коль скоро хе — точка внутреннего экстремума.
Таким образом, предположив, что ~'(хо) ~ О, мы получаем, что правая часть (1) меняет знак при изменении знака 6 (если 6 достаточно близко к нулю), в то время как левая часть (1) не может менять знака (если Ь достаточно близко к нулю). Это противоречие завершает доказательство. > Замечания к лемме сЬерма. 1' Лемма Ферма дает, таким образом, необходимое условие внутреннего экстремума дифференцируемой функции. Для невнутренних экстремумов (как точка х = — 1 в примере 1) утверждение о том, что ~'(хо) = О, вообще говоря, неверно. 2' Геометрически лемма вполне очевидна, ибо она утверждает, что в точке экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику горизонтальна (ведь 1'(хо) есть тангенс угла наклона касательной к оси Ох). 3' Физически лемма означает, что при движении по прямой в момент начала возврата (экстремум!) скорость равна нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
