1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Из доказанной леммы и теоремы о максимуме (минимуме) функции, непрерывной на отрезке, вытекает следующее 13. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 251 отверждение 1 (теорема Ролля1)). Если функция 1: [а,Ь] — + )к непрерывна на отрезке [а,Ь], дифференцируема в интпервале ]а,Ь[ и Яа) = 1 (6), то найдетпся точка С Е ]а, Ь[ такая, что у'(С) = О. < Поскольку функция 1 непрерывна на отрезке [а, 6], то найдутся точки х, хм е [а, Ь], в которых она принимает соответственно минимальное и максимальное из своих значений на этом отрезке. Если у(х ) = ~(хм), то функция постоянна на [а, 6], и поскольку в этом случае Г'(х) = О, то УтвеРжДение, очевидно, выполнено. Если же ~(хся) < < у(хм), то, поскольку 1(а) = у(Ь), одна из точек х, хм обязана лежать в интервале ]а, 6[. Ее мы и обозначим через с.
По лемме Ферма Я) =О. и 2. Теоремы Лагранжа и Коши о конечном приращении. Следующее утверждение является одним из наиболее часто используемых и важных средств исследования числовых функций. Теорема 1 (теорема Лагранжа о конечном приращении). Если функция 1: [а,Ь] — + К непрерывна на отрезке [а,Ь] и дифференцируема в интервале ]а, 6[, то найдется точка с Е ]а, 6[ такая, чтпо (2) м Для доказательства рассмотрим вспомогательную функцию которая, очевидно, непрерывна на отрезке [а,6], дифференцируема в интервале ]а,Ь[ и на его концах принимает равные значения: Е(а) = = Г(Ь) = у (а). Применяя к Е(х) теорему Ролля, найдем точку С Е ]а, Ь[, в которой Г'(() = у'(с) — = О. Ь вЂ” а Замечания к теореме Лагранжа.
1' Геометрически теорема Лагранжа означает (рис. 21), что в некоторой точке (~, у(С)), где С Е Е ]а, Ь[, касательная к графику функции будет параллельна хорде, соединяющей точки (а, у(а)), (Ь, )'(6)), ибо угловой коэффициент последней равен у~-~-~~~~. ОМ. Раляь (1652 — 1719) — франиузский математик. ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 252 2' Если х интерпретировать как время, а у (Ь) — ((а) — как величину перемещения за время Ь вЂ” а частицы, движущейся вдоль прямой, то теорема Лагранжа означает, что скорость )'(т) частицы в некоторый У момент ~ Е ]а, Ь[ такова, что если бы /(6) в течение всего промежутка времени [а, Ь] частица двигалась с постоянной скоростью ~'((), то она сместилась бы на ту же величину ДЬ) — ~(а).
Величину 1'(() естественно считать средней скоростью движения в про- 1(а) межутке [а, Ь]. 3' Отметим, однако, что при дви- 6 * женин не по прямой средней скорости в смысле замечания 2' может не Рис. 21. быть. Действительно, пусть, например, частица движется по окружности единичного радиуса с постоянной угловой скоростью ы = 1. Закон ее движения, как мы знаем, можно записать в виде О а г(6) = (сов 6, вш 6). Тогда г(6) = в(6) = ( — в(п 6, сов 6) ~ ~ =,4й'~~ 6 = 1.
В моменты 6 = 0 и 6 = 2я частица находится в одной и той же точке плоскости г(0) = г(2я) = (1,0), и равенство г(2я) — г(0) = в(()(2я — О) означало бы, что в(С) = О, но зто невозможно. Однако мы сознаем, что зависимость между перемещением за некоторый промежуток времени и скоростью движения все же имеется. Она состоит в том, что даже вся длина Ь пройденного пути не может превышать максимальной по величине скорости, умноженной на время в пути.
Сказанное можно записать в следующей более точной форме: (3) 13. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 253 Как будет в свое время показано, это естественное неравенство действительно всегда справедливо. Его тоже называют теоремой Лагранжа о конечном приращении, а формулу (2), справедливую только для числовых функций, часто называют теоремой Лагранжа о среднем значении (роль среднего в данном случае играет как величина 1'(с) скорости, так и точка с, лежащая между а и Ь). 4' Теорема Лагранжа важна тем, что она связывает приращение функции на конечном отрезке с производной функции на этом отрезке. До сих пор мы не имели такой теоремы о конечном приращении и характеризовали только локальное (бесконечно малое) приращение функции через производную или дифференциал в фиксированной точке.
Следствия теоремы Лагранжа Следствие 1 (признак монотонности функции). Если в любой точке некоторого интервала проиэводнал функции неотрицательна (положительна), то функция не убывает (возрастает) на этом интервале. м Действительно, если хы хг — две точки нашего интервала и х1 < < х2, т.
е. х2 — х1 > О, то по формуле (2) Х'(хг) — У(х1) = Г(С)(хг — х1), где х1 < С < хг, и, таким образом, знак разности, стоящей в левой части равенства, совпадает со знаком Х'(с). 1» Разумеется, аналогичное утверждение можно высказать о невозрастании (убывании) функции с неположительной (отрицательной) производной. Замечание. На основании теоремы об обратной функции и следствия 1, в частности, можно заключить, что если на каком-то промежутке 1 числовая функция 1(х) имеет положительную или отрицательную производную, то функция Х непрерывна на 1, монотонна на 1, имеет обратную функцию 1 ', определенную на промежутке Х' = 1(1) и дифференцируемую на нем.
Следствие 2 (критерий постоянства функции). Непрерывная на отрезке (а, Ь] функция постоянна на нем тогда и только тогда, когда ее производная равна нулю в любой точке отрезка ]а, Ь] (или хотя бы интервала ]а, Ь(). 254 ГЛ, Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ М Интерес представляет только доказательство того факта, что еслибы'(х) = Она]а,6(, тодлялюбыхх1,Х2 Н (а,6] имеетместоравенство 1(Х1) = 1 (х2).
Но это вытекает из теоремы Лагранжа, по которой з (х2) — з (х1) = з (0(х2 х1) = О, ибо С лежит между х1 и Х2, т. е. ~ Е ]а, 6[ и 1'(С) = О. ~ Замечание. Отсюда, очевидно, можно сделать следующий (как мы увидим, очень важный для интегрального исчисления) вывод: если производные Е1(х), Е2(х) двух функций Е1(х), Е2(х) совпадают на некотором промежутке, т.
е. г1(х) = гг(х), то на этом промежутке разность г1(х) — г2(х) есть постоянная функция. Полезным обобщением теоремы Лагранжа, которое тоже основано на теореме Ролля, является следующее з'тверждение 2 (теорема Коши о конечном приращении). Пусть х = х(1) и у = у(2) — функции, непрерывные на отрезке [а,,З] и дифференцируемые в интервале ]а, ~З[. Тогда найдется точка т Е ]а,13[ такая, что х'(т) (у(13) — у(а) ) = у'(т) (х(,3) — х(а) ). Если к тому же х'(6) ф О при любом ~ Н ]а,(3[, то х(а) ~ х(Я и справедливо равенство у(13) — у(а) у'(т) х(13) — х(а) х'(т) (4) Замечания к теореме Коши.
1' Если пару функций х(1), у(1) рассматривать как закон движения частицы, то (х'(1),у'(1)) есть вектор ее скорости в момент 1, а (х(13) — х(а), у(13) — у(а)) есть вектор ее смещения за промежуток времени [а, 13], и теорема утверждает, что в некоторый момент т Н [а,)3] эти векторы коллинеарны. Однако этот ~ Функция Е(1) = х(6)(у(13) — у(а)) — у(1)(х(13) — х(а)) удовлетворяет условиям теоремы Ролля на отрезке [а, 13], поэтому найдется точка т Н ]а„З[, в которой Е'(т) = О, что равносильно доказываемому равенству. Чтобы получить из него соотношение (4), остается заметить, что если х'(1) ф О на ]а,,З[, то по той же теореме Ролля х(а) ф х(13). ~ 53.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 255 факт, относящийся к движению в плоскости, является таким же приятным исключением, каким является теорема о средней скорости в случае движения по прямой. В самом деле, представьте себе частицу, равномерно поднимающуюся по винтовой линии. Ее скорость составляет постоянный ненулевой угол с вертикалью, в то время как вектор смещения может быть и вертикальным (один виток).
2' Формулу Лагранжа можно получить из формулы Коши, если в последней положить х = х(1) = 1, у(1) = у(х) = у (х), сг = а,,З = 5. 3. Формула Тейлора. Из той части дифференциального исчисления, которая уже изложена к настоящему моменту, могло возникнуть верное представление о том, что чем больше производных (включая производную нулевого порядка) совпадает у двух функций в некоторой точке, тем лучше эти функции аппроксимируют друг друга в окрестности этой точки. Мы в основном интересовались и сейчас будем интересоваться приближением функции в окрестности некоторой точки с помощью многочлена Р„(х) = Р„(хо,х) = со+с1(х — хо)+...+с„(х — хо)".
Нам известно (см. пример 25 из 5 2, п. 6), что алгебраический полипом можно представить в виде Р„(х) = Р„(хо) + ", (х — хо) + ... + , (х — хо) , Р (хо) Ра (хо) т. е. сь = — о-„-,'-*-~~ (lс = О, 1,..., и). В этом легко убедиться непосредственно. Таким образом, если нам будет дана функция 7'(х), имеющая в точке хо все производные до порядка и включительно, то мы можем немедленно выписать полипом Ра(хо,'х) = Ра(х) = У(хо) + , (х — хо) + " + , (х — хо)", (5) Х (хо) У (хо) производные которого до порядка и включительно в точке хо совпадают с производными соответствующего порядка функции 7' (х) в точке хо. Определение 5.
Алгебраический полином, заданный соотношением (5), называется полиномом Тейлора1) порядка и функции 7'(х) о точке хо. ОВ. Тейлор (1585 — 1731) — английский математик. ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 25б Нас будет интересовать величина (6) П*) — Р (~м ) =г (~м ) уклонения полинома Р„(х) от функции 7'(х), называемая часто остатком, точнее, и-м остатком или и-м остаточным членом формулы Теилора: ~(х) =1(хо) +, (х — хо) + +, (х — хо)" + г„(хо;х) (7) У (хо) У (хо) и)' Само по себе равенство (7), конечно, не представляет интереса, если о функции г„(хо, х) не известно ничего, кроме ее определения (6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
