1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 45
Текст из файла (страница 45)
у = 1п (у + ~/у2 — 1) . Из приведенных определений находим 1 зЬ х = — (е* + е ~) = сЬх, 2 1 сЬ'х = — (е* — е *) = зЬх, 2 а на основе теоремы о производной обратной функции получаем 1 1 1 1 ахзЬ' у— а' а* /;,у,,,г~ „' 1 1 1 1 агсЬ' у —, — = —, у>1, .ь.
=,~~,: —;,Гр:-~ 1 1 1 1 агсЬ' у — , — — — , у > 1. .ь.,',Р: —; Р:.г Последние три соотношения можно проверить, используя явные выражения для обратных гиперболических функций агзЬ у и агсЬ у. 1 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 237 Например, Ыу= ~1~- — ~1~-у ) 2у) = у» /1+у2 1 2 ~/Т + у2 + у /1 + у2 Д + у2 ф + у2 Подобно ГЕх и сГЕ х можно рассмотреть функции сЬх и сгЬх = —, зЬх' зЬх 1Ьх =— сЬх называемые гиперболическим тангенеом и гиперболическим котанген- сом соответственно, а также обратные им функции ареа-тангенс: аггЬу = — 1п, )у) < 1, 1 1+у 2 1 — у' и ареа-котангенс: агсгЬу = — 1п, )у~ > 1. у+1 2 у — 1' зЬьхсЬх — зЬхсЬ'х сЬхсЬх — зЬхзЬх 1 гЬ' х— сЬ2 х сЬ2 х сЬ2 х сЬ'хзЬх — сЬхзЬ'х зЬхзЬх — сЬхсЬх 1 сгЬ' х— зЬ2 х 12 зЬ2 х По теореме о производной обратной функции 1 1, 1 1 аггЬ'у = —, = = сЬ2х = =, ~у( < 1, гЬ'х ~ г '1 1 — гЬ~х 1 — у2' 1еьг г/ 2 агсгЬ'у =, = = — зЬ х = (-А) 1 Ь! >1.
сг 2х — 1 уг 1' Две последние формулы можно проверить и непосредственным диффе- ренцированием явных формул для функций аггЬ у и агсгЬ у. Решения элементарных уравнений, приводящие к этим формулам, мы опускаем. По правилам дифференцирования имеем ГЛ. 1г. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 238 4. Таблица производных основных элементарных функций. Выпишем теперь (см. табл. 1) производные основных элементарных функций, подсчитанные в 3 1 и 3 2.
Таблица 1 Ограничения на область Производная 7'(х) изменения аргумента х е К Функция 7'(х) 1. С (сопв1) ха х>0 при аЕК хЕК при або хбК (а>0, а~1) х ~ К '1 0 (а > О, а ф 1) а* 1па 1 хТп а сов х 3. а* 4. 1о8, )х! 5.
гбпх 6, совх 7. 18х — в!и х 1 сов х 1 г4п х 1 Л вЂ” хг 1 х гя — +~~, е хаий, ЙЕ2 8. сГ8х 9. агсвшх 10. агссовх 11. агс18х 12. агсс18х (х) < 1 (х! < 1 ч'1 х~г 1 1+х 1 1+х сЬх вЬх 1 сь х 1 вЬг х 1 ~IГ+ х 1 ~/хг — 1 1 1 — х г 1 х — 1 г 13. вЬх 14. сЬх 15. гЬх 16. сгЬх 17. агвЬ х = 1и (х + ~/Г+ хг) 18. агсЬ х = 1п (х х ~/хг — 1) хфО (х) > 1 19.
вггЬх = — 1п 2 1 — х 20. агсяЬх = — 1п— 1 х+1 2 х — 1 )х) > 1 5. Дифференцирование простейшей неявно заданной функции. Пусть у = у(1) и х = х(1) — дифференцируемые функции, определенные в окрестности У(1о) точки 2о Е К. Предположим, что функция х = х(1) имеет обратную функцию 1 = 1(х), определенную в окрестно- 2 2.
ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 239 сти $'(хо) точки хо = х(19). Тогда величину у = у(~), зависяшую от ~, можно рассматривать также как функцию, неявно зависящую от х, поскольку у(~) = у(1(х)). Найдем производную этой функции по х в точке хо, предполагая, что х'(~о) ~ О. Используя теорему о дифференцировании композиции и теорему о дифференцировании обратной функции, получаем Пример 15.
Закон сложения скоростей. Движение точки вдоль прямой вполне определяется, если в каждый момент ~ выбранной нами системы отсчета времени мы знаем координату х точки в выбранной системе координат (числовой оси). Таким образом, пара чисел (х,2) определяет положение точки в пространстве и во времени. Закон движения точки запишется в виде некоторой функции х = х(1).
Предположим, что движение этой же точки мы хотим описать в терминах другой системы координат (х, 1). К примеру, новая числовая ось движется равномерно со скоростью — о относительно первой (вектор скорости в данном случае можно отождествить с задающим его одним числом). Будем для простоты считать, что координаты (0,0) и в той и в другой системе относятся к одной и той же точке или, точнее, что в момент 1 = 0 точка х = 0 совпадала с точкой х = О, в которой часы показывали 1 = О. Тогда один из возможных вариантов связи координат (х, ~), (х,2), описывающих движение одной и той же точки, наблюдаемое из разных систем координат, доставляют классические преобразования Галилея х = х+о1, (4) Рассмотрим несколько более общую линейную связь х = ах+ )зс, 1=7х+Й, (5) АДЬО) аЫ~(х)) ауМ <~(х) ~~ Ч)=с0 уа(~о) = а,, ~...
=..О)! '=.',(2,) ,! (Здесь использовано стандартное обозначение ~(х)/,:= У(хо) ) Ксли одна и та же величина рассматривается как функция различных аргументов, то во избежание недоразумений при дифференцировании явно указывают переменную, по которой это дифференцирование проводится, что мы и сделали. 240 ГЛ.
Н. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ разумеется, в предположении, что эта связь обратима, т. е. определитель матрицы отличен от нуля. ~7 й Пусть х = х(2) и х = х(2) — закон движения наблюдаемой точки, записанный в этих системах координат.
Зная зависимость х = х(1), из формул (5) найдем х(2) = ах(2) + у82, 1(2) = ух(2) + Й, (6) а в силу обратимости преобразований (5), записав х = ах+ф2, 2= ух+ б1, (7) зная х = х(г), можно найти х(2) = бхай) + )й, 1(2) = ух(2) + й. (8) или — -) о$'(2) + ~3 (9) уЪ'(2) + б где 1 и 2 — координаты одного и того же момента времени в системах (х, 2) и (х, 1). Это всегда имеется в виду при сокращенной записи уГ+б (10) формулы (9). Из соотношений (6) и (8) видно, что для данной точки существуют взаимно обратные зависимости 1 = 2(2) и $ = 2(1). Рассмотрим теперь вопрос о связи скоростей Ъ'(г) = = хс(2) и Ъ~(2) = = хс(й) пх(1) дх(К) сй <Й нашей точки, вычисленных в системах координат (х, $) и (х, 1) соответственно. Используя правило дифференцирования неявной функции и формулы (6), имеем 4х 4х йх У ~ау+И оч ~д~ 4х+б Ж УЗГ 1 2.
ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 241 Экспериментально с достаточной степенью точности установлено (и это стало одним из постулатов специальной теории относительности),что в вакууме свет всегда распространяется с определенной скоростью с, не зависящей от состояния движения излучающего тела. Это означает, что если в момент 1 = 1 = 0 в точке х = й = 0 происходит вспышка, то через время 1 в системе (я,1) свет достигнет точек с координатами т такими, что х2 = (с1)2, а в системе (й, 1) этому событию будут отвечать время 1 и координаты й точек такие, что опять ия = (с1)2, Таким образом, если х2 — с212 = О, то и й2 — с2г2 = О, и обратно.
В силу некоторых дополнительных физических соображений следует считать, что вообще т2 — с212 (12) если (т, 1) и (й, 1) отвечают одному и тому же событию в различных системах координат, связанных соотношением (5). Условия (12) дают следующие соотношения на коэффициенты а, 13, у, Б преобразования (5): а2 с2„,2 — 1 о13 — с2.15 = О, 32 252 2 (13) Если бы было с = 1, то вместо (13) мы имели бы с" 7 11 с а ~3~ — б~ = — 1, (14) откуда легко следует, что общее (с точностью до перемен знака в парах (а, )3), (у, б)) решение системы (14) может быть дано в виде б = сЬ ~о, а = сЬ р, где у — некоторый параметр.
В случае преобразований (4) Галилея из (10) получаем классический закон сложения скоростей 1 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 243 откуда видно, что при ~о~ << с, т.е. при с — ~ оо, они превращаются в классические преобразования Галилея (4). 6. Производные высших порядков. Если функция у; Š— ~ )к дифференцируема в любой точке х Е Е, то на множестве Е возникает новая функция 1'. Š— + )Е„значение которой в точке х Е Е равно производной у'(х) функции у в этой точке. Функция ~'. Е -+ Ж сама может иметь производную (~')'. Е -+ )к на Е, которая по отношению к исходной функции 1 называется второй производной от 1 и обозначается одним из символов дгУ~ .) дхг а если хотят явно указать переменную дифференцирования, то в первом случае еще, например, пишут 1о (х).
Определение. По индукции, если определена производная 1 1" 1) (х) порядка и — 1 от 2, то производная порядка и определяется формулой Для производной порядка и приняты обозначения х(п) ( ) д У1х) дхо Условились считать, что у'1в)(х):= 1(х). Множество всех функций у: Š— > )я„имеющих на Е непрерывные производные до порядка и включительно, будем обозначать символом С1")(Е,К), а когда это не ведет к недоразумению — более простыми символами С1")(Е) или С" 1Е, К) и С" (Е) соответственно. В частности, С1в)(Е) = С(Е) в силу принятого соглашения, что ~1')О=а ) Рассмотрим несколько примеров вычисления производных высших порядков.
У"(х) ах1п а ех — в)пх Примеры. У(х) Г(х) 16. ах ах 1па 17. ех ех 18. яп х сов х 11") (х) ах 1п" а ех в1п(х + ия/2) 244 ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ соя(х + пх/2) а(а — 1)... (а — и+ + 1)(1 + х) а(а — 1)...(а — и + + 1)ха " ~~" '1-) 1а а 19. соя х — О1п х 20. (1+х)а а(1+х) -' — СОО Х а(а — 1)(1 + х)а ха а — 1 „( 1).а — 2 — х — 1 — 2 1аа 22. 1оя, ~х) —,„',х 1 23. 1п (х~ х ( 1) .— 2 ( 1)п — 1( 1)1 .— а Пример 24. Формула Лейбница. Пусть и(х) и э(х) — функции, имеющие на общем множестве Е производные до порядка и включительно.
Тогда для и-й производной от их произведения справедлива следующая формула Лейбница: (ии)(") = ~~1 Са и(" ~)и( (19) Формула Лейбница очень похожа на формулу бинома Ньютона и на самом деле с нею непосредственно связана. (ии)("+1) = ~ ~С и(" +Ни( ) + ~~ С и(" )и( а а т=О аь= Π— ( ( +~~~'(С „С ) (( )( ( ( )— а-~-1 = ~ ~Сс и(("+') С)и(с). а+1 Мы объединили слагаемые, содержащие одинаковые произведения производных от функций и, и, и воспользовались тем, что СС+ СС с = С„.,1 Таким образом, по индукции установлена справедливость формулы Лейбница. ~ м При п = 1 формула (19) совпадает с уже установленным правилом дифференцирования произведения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
