1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 49
Текст из файла (страница 49)
= уо("1(хо) = О, то ~р(х) = о((х — хв) ) при х — ь хв х е Е. м При п = 1 утверждение вытекает из определения дифференцируемости функции у в точке хв, в силу которого ~р(х) = р(хо)+~р'(хв)(х — хо)+о(х — хв) при х-+ хо, х Е Е, и, поскольку ов(хв) = ф(хв) = О, имеем оо(х) = о(х — хр) при х -+ хв, х Е Е. 264 ГЛ.
Ч, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Предположим, что утверждение доказано для порядков и = к — 1 > > 1. Покажем, что тогда оно справедливо также для порядка п = й > 2. Заметим предварительно, что поскольку Р'")(хо) = ~Р' ') (ха) = 1пп у~ ') (х) — Р~ '~(хо) Евх — ~хь х — хо то сУществование Р~"~(хо) пРеДполагает, что фУнкциЯ ~Р~Ь Ц(х) опРеделена на Е хотя бы вблизи точки ха. Уменьшая, если нужно, отрезок Ь', можно заранее считать, что функции ~Р(х), ~р'(х),..., ~Р~ О (х), где к > 2, определены на всем отрезке Е с концом ха. Поскольку к > 2, то функция у(х) имеет на Е производную ~р'(х) и по условию (Р) (хо) = . =(Р) (хо) '=О. Таким образом, по предположению индукции ~р'(х) = о((х — ха)~ 1) при х-+хо, х б Е.
Тогда, используя теорему Лагранжа, получаем Ф(х) = 'Р(х) 'Р(хо) = у ЫКх — хо) = оЫ)Ы вЂ” хо) (х — ха), где ( — точка, лежащая между ха и х, т. е. )~ — хо! < )х — хо(, а а(с) — ~ О при С -+ Е, ( Е Е. Значит, при х -+ хо, х Е Е одновременно будем иметь ~ -+ Е, ( е Е и о(С) -+ О, и поскольку 1Р(хИ < !оЫ)0~х — хо!" '!х — хо!, то проверено,что ~Р(х) = о ((х — ха)") при х — 4 хо, х к Ь'. Таким образом, утверждение леммы 2 проверено принципом математической индукции. ~ Соотношение (33) называется локальной формулой Тейлора, поскольку указанный в нем вид остаточного члена (так называемая форма Пеона) г„(хо, х) = оЦх — хо)") (34) 13. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИ<Р'вЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 266 позволяет делать заключения только об асимптотическом характере связи полинома Тейлора и функции при х -+ хо, х Е Е. Формула (33) удобна, таким образом, при вычислении пределов и описании асимптотики функции при х — > хо, х Е Е, но она не может служить для приближенного вычисления значений функции до тех пор, пока нет фактической оценки величины г„(хо, х) = о((х — хо)").
Подведем итоги. Мы определили полипом Тейлора Р (хо,х) = У(хо) + 1, (х — хо) + " + , ( — хо)", У (хо) У (хо) и.' написали формулу Тейлора У(х) = У(хо) + (х — хо) +... + (х — хо) + гп(хо', х) Х (хо) Х (хо) и.' и получили следующие ее важнейшие конкретизации: Если ( имеет производную порядка и + 1 в интервале с концами хо~ х~ 1(х) = 1(хо) + , (х — хо) + ... + , (х — хо)" + 1 (хо) У (хо) + (х — хо)~~~, (35) (и+ 1)! где С вЂ” точка, лежащая между хо и х.
Если (' имеет в точке хо все производные до порядка п ) 1 включительно, то Дх) = Х(хв)+ 1, (х — хо)+ +, (х — хо)" +о((х — хо)") (36) Г'( ) ~(")( ) Соотношение (35), называемое формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, очевидно, является обобщением теоремы Лагранжа, в которую оно превращается при и = О. Соотношение (36), называемое формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, очевидно, является обобщением определения дифференцируемости функции в точке, в которое оно переходит при и = 1. ГЛ.
У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 266 Заметим, что формула (35) практически всегда более содержательна, ибо, с одной стороны, как мы видели, она позволяет оценивать абсолютную величину остаточного члена, а с другой, например, при ограниченности ~!" "1) (х) в окрестности хо из нее вытекает также асимптотическая формула П*) =П )+, (х- )+" +, ( — ) + Пхо) У! )(хо) + О ((х — хо)п+1) (37) Так что для бесконечно дифференцируемых функций, с которыми в подавляющем большинстве случаев имеет дело классический анализ, формула (35) содержит в себе локальную формулу (36). В частности, на основании формулы (37) и разобранных выше примеров 3 — 10 можно теперь выписать следующую таблицу асимптотических формул при х -+ 0: е =1+ — х+ — х +...+ — х +0(х ), 1 4.1 1! 2! ''' и! 2 + ,4 + ,2п ! О (Х2п4-2) ! 1!п 2! 4! (2п)! 1 1 Х вЂ” — ХЗ + — Π— + ' ' Х2п4-1 + О (Хзп4-З) 11п 3! 5! (2п + 1)! 2 1 4 1 1 + 2 + 4 + + 2п + р ( 2и-1-2) 2! 4! ' ' (2п)! + З+ 6+ + 1 1 1 2 Е1 + Р (Х2п+З) 3! 5! (2п + 1)! 2 1 3 ( 1) п Х вЂ” -Х2+-ХЗ вЂ”...
+ ( Хи+0(Хи+1), 2 3 и о(о 1) 2 о(12 1) ''(о и+1) п 1+ — х+ 1! 2! х' + ... + п! хи+ + О (Хп4-1) соо х О1ПХ 1п(1 + х) (1+ х) Рассмотрим теперь еще некоторые примеры использования формулы Тейлора. Пример 11. Напишем полипом, позволяющий вычислять значения функции сйпх на отрезке — 1 < х < 1 с абсолютной погрешностью, не превышающей 10 ~. 33. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИ<гпВЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 267 В качестве такого многочлена можно взять тейлоровский многочлен подходящей степени, получаемый разложением функции 31п х в окрестности точки хе = О. Поскольку 3!их = х — — х + — х —... + х +О х и +ггп42(0;х), 3 1 3 ( 1) 2п-~-1 2п-~-2 3! 5! (2п + 1)! где по формуле Лагранжа 3!и ((+ ~(2п+ 3)) гг --2((1;*) = ), то при !х) < 1 1 !ггп~г(0;х)! < (2п + 3)! Ио, < 10 при и > 2.
Таким образом, с нужной точностью на 1 — 3 (2п+ 3)! отрезке !х~ ~ <1 ~~ее~ 31пх = х — 3,х + з,х 1 3 1 3 Пример 12. Покажем, что Фях = х+-хз+о(хз) при х -+ О. Имеем 1 3 Фя х = соз х, 1япх = 2соз зхз1пх, -4 „„г +2 гх. Таким образом, 1яО = О, 16'0 = 1, 1япО = О, 16"'0 = 2 и написанное соотношение следует из локальной формулы Тейлора. Пример 13. Пусть а > О. Исследуем сходимость ряда ~', 1псоз —. 1 п=1 и При а > 0 — -+ О, когда п -+ оо.
Оценим порядок члена ряда 1 а 1п соз — — 1п 1 — — — + о — — — — — + о Таким образом, мы имеем знакопостоянный ряд, члены которого эквивалентны членам ряда ~, —. Поскольку последний ряд сходится — 1 га ' 1 только при а > —, то в указанной области а > 0 исходныи ряд сходится лишь при а > 1 (см. задачу 16Ь)). 268 ГЛ. Ь'. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Пример 14. Покажем что 1псобх = — -х2 — — х4 — 1 хе+ 0 (хб) 1 2 1 4 2 12 46 при х + О. На сей раз, вместо того чтобы вычислять подряд шесть производных, мы воспользуемся уже известными разложениями соя х при х -+ О и 1п(1 + и) при и -+ О: 1псобх= 1п 1 — — х + — х — — х +0(х )! =1п(1+и) = 2 1 4 1 6 8 2! 4! 6! 2 1 3 4 1 2 1 4 1 б 8 =и — — и + — и +0(и ) = ~ — — х + — х — — х +0(х )~— 2 3 2! 4! 6! 4 1 б 8 1 1 6 8 — — — х — 2 ° — х +0(х)~+ — ~ — — х +0(х)~ = 2 1,(2!)2 214! З~ (2,)8 2 1 4 1 6 8 = — — х — — х — — х +0(х ).
2 12 45 Дх) = сб+с1х+... +с„х" +о(х") при х-+ О, то ,1!")(О) сь = и ('(~)(0) = й! сь. к! Таким образом, в нашем случае получаем (1псоб)(О) = О, (1псоб)'(О) = О, (1псоб)" (О) = — — 2!, (1псоб)! !(О) = —— 12 (1псоб)1~!(0) = —— 45 (1псоб)ОО(О) = О, (1псоб)!6)(0) = О, 41, 6! Пример 15. Найдем значения первых шести производных функции 1п сов х при х = О. Имеем (1псоб)'х = обх, и потому ясно, что в нуле данная функция имеет производные любого порядка, ибо соя 0 ~ О. Мы не станем искать функциональные выражения этих производных, а воспользуемся единственностью полинома Тейлора и результатом предыдущего примера. Если 33.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФ<ЬЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 269 Пример 16. Пусть 1(х) — бесконечно дифференцируемая в точке хо = 0 функция, и пусть известно разложение ,1 (х) = со + с1х +... + с„х" + О (х" ~ ) ее производной в окрестности нуля. Тогда из единственности тейлоров- ского разложения имеем (у')!~)(0) = к! с~в, поэтому ~!"+1>(0) = 14! с,',. Таким образом, для самой функции Дх) име- ем разложение с,1 1! с1 и! с'„ или, после упрощений, СО С'1 г 4 .1 Г(х) Г(0) + ох + 1хг + + " х"'1-1 + О (х" "2) . 1 2 и + 1 Пример 17.
Найдем тейлоровское разложение функции Дх) = агс18 х в нуле. Нескольку ~'(х) = 1 = (1+ х2) = 1 — х2+х4 —... +( — 1)"х2" + 1+х + О (х2" ~2), то по соображениям, изложенным в предыдущем примере, ~(х) — ~(0) ! х хз + х5 + х2п+1 ! О (х2в+3) 3 1 5 ( 1) 2п4-1 1 3 5 2п+ 1 т.
е. 3 1 5 ( 1) 2в+1 агс38х=х — — х + — х —...+ х "+ +О(х "+ ). 3 5 2п+1 Пример 18. Аналогично, раскладывая по формуле Тейлора функцию агсв!и'х = (1 — х2) 112 в окрестности нуля, последовательно находим (1+и) ~ =1+ и+ 11 — ( — 2 — 1) — — ( — — — 1)... ( — — — и+ 1) и" +О (и"+ ), ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 270 -1/2 1 2 1 3 4 1 3 ... [2п — 1) зп + 0 [Хзп+2) 3 1 3 5 [2п — 1))! 2п+1 2 3 22 21 5 [2п)0[2 +1) +0~ 2п+З) или, после злементарных преобразований, 1 з [3!!] 5 И2п — 1)! )] агса[п х = х + — хз + хз +... -[- хзп4 1 + 0 (хзп4 з) .
3! 5! [2п + 1)! Здесь [2п — 1)![:= 1 3 ... [2п — 1), [2п)!!:= 2 4 ... [2п). Пример 19. Воспользуемся результатами примеров 5, 12, 17, 18 и найдем х — 1 ха + 0[ха)] — ~х — 1 хз + 0[хо)1 агс18 х — гйп х 1пп = 1пп о 1их — агсгйпх * о ~ х+ 1хз+0[хз)1 — ~х+ 1,ха+0[ха)] — 1хз + 0[ха) П 6 = — 1. о 1хз + 0[ха) 6 Задачи и упразкнении 1. Подберите числа а и 6 так, чтобы функция у[х) = соах — — прн 1+ ах 1+Ьх х + 0 была бесконечно малой возможно более высокого порядка. 2. Найдите 1пп х ~ — — ( — * ) ~. 3. Напишите поливом Тейлора функции е* в нуле, который позволял бы вычислять значения е* на отрезке — 1 < х < 2 с точностью до 10 з.
4. Пусть г' — бесконечно дифференцируемая в нуле функция. Покажите, что а) если у четная,то ее ряд Тейлора в нуле содержит только четные степени х; Ъ) если у нечетная, то ее ряд Тейлора в нуле содержит только нечетные степени х. б. Покажите, что если 2 6 С!'и![ — 1,1], ~!п1[0) = 0 для и = 0,1,2,... и существует число С такое, что ацр ]у!"1[Х)] < и!С, п 6 И, то 2: — 0 на [ — 1,1]. — 1« 1 13, ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 271 6.
Пусть 1 е С!"![] — 1,1[) и зцр [1(х)] < 1. Пусть ть(1) = !п1 [~00(х)[, -1<я<1 лег где 1 — промежуток, содержащийся в интервале ]-1, Ц. Покажите, что а) если 1 разбит на три последовательных промежутка 1ы 1з, 1з и р— длина 1з,то 1 тз(1) < — (ть з(1з) +те з(1з)); д Ь) если 1 имеет длину Л, то 2"!е+'азу,е тя(1) < Л" с) существует такое число о„, зависящее только от п, что если ]1'(0) [ ) о„, то уравнение 100(х) = 0 имеет в ] — 1,1[ по крайней мере п — 1 различных корней. Указание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
