1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 50
Текст из файла (страница 50)
В Ь) используйте а) и принцип индукции; в с) используйте а) и по индукции докажите, что существует такая последовательность хз, < < хь, « ... хк„точек интервала ] — 1,1[, что 1!ь)(хз,) /00(хь,„,) < 0 при 1 < 1 < й — 1. 7. Покажите, что если функция 1 определена и дифференцируема на интервале 1 и [а, Ь] С 1, то а) функция ~'(х) (даже не будучи непрерывной!) принимает на [а, Ь] все значения между ('(а) и 1" (Ь) (теоремо ДарбуО); Ь) если еще 1" (х) существует в ]а, Ь[, то найдется точка с е ]а, Ь[ такая, что ~'(Ь) — 1'(а) = 1л(с)(Ь вЂ” а). 8.
Функция 1 (х) может быть дифференцируемой на всей числовой прямой, но при этом 1" (х) может не быть непрерывной (см. пример 7 из 8 1, п. 5). а) Покажите, что функция 1'(х) может иметь разрывы только второго рода. Ъ) Укажите ошибку в следующем лдоказательствез непрерывности ('(х). м Пусть хо — произвольная точка на К и 1'(хо) — производная функции 1 в точке хо.
По определению производной и теореме Лагранжа ~'(хо) = !пп = !пп ~'(~) = 1!ш /'((), 1(х) — 1(хо) где с — точка между хо и х, стремящаяся, таким образом, к хо при х -+ хо. !ь 9. Пусть 1' — дважды дифференцируемая функция на промежутке 1. Пусть Мо = зпр [((х)[, Мз — — епр [('(х)[, Мз = зпр [ул(х)]. Покажите, что яяз кяу ' еу П Г. Дарбу (1842 — 1917) — французский математик. ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 272 а) если 1 = [ — а,а], то Ме хг+аг [УР(х)[ < е + Мг а 2а Ь) <Мг < 2~/МоМг, если длина 1 не меньше 2~/Мо/М~, Мг < ~/2МоМг если 1 = И; с) в задаче Ь) числа 2 и иР2 не могут быть заменены меньшими; о) если 1 дифференцируема р раз в И и если величины Ме и Мр вир фР~(х)[ конечны, то прн 1 ( Й ( р конечны также величины Мь лен ° р[У (х)] ген М < 2ь<р — ьНгМг — ь(РМь1р ь- О р Указание.
Используйте задачи бЬ), 9Ь) и принцип индукции. 10. Покажите, что если функция 1 имеет в точке хе все производные до порядка и+ 1 включительно и (~" ь~) (хе) ф О, то в остаточном члене формулы Тейлора, записанном в форме Лагранжа Р„(хо;х) = 1~ ~(хо 4-0(х — хо))(х — хе)", и( где О < В < 1, величина В = д(х) стремится к — при х -+ хо. 1 и+1 11. Пусть 1 — функция, п рзз дифференцируемая на промежутке 1.
Покажите, что а) Если 1 в (п+ 1) точках промежутка 1 обращается в нуль, то найдется точка С б 1 такая, что 100(с) = О. Ь) Если хг, хг,..., хр — точки промежутка 1, то существует и притом единственный многочлен Ь(х) (интерполлиионный полинам Лаеранлса) степени не выше (и — 1) такой, что 1(х;) = Цх;), г = 1,..., п. Кроме того, для х б 1 найдется точка с б 1 такая, что с) Если хг < хг « ... хр — точки промежутка 1, и; (1 < 1 < р)— натуральные числа такие, что пг + пг +... + ар — — и и ~~~>(х,) = О при О ( к ( < и; — 1, то в промежутке [хг, хр] найдется точка с, в которой ~~" О(с) = О. б) Существует и притом единственный многочлен Н(х) (интерполлиионный полинам ЭрмитаН) степени п — 1 такой, что ~рб(х;) = НОО(х,) при ПШ.
Эринт (1822 — 1901) — французский математик, занимавшийся вопросами анализа; в частности, доказал трансцендентность числа е. 23. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 273 0 < 6 < и, — 1. Кроме того, внутри наименьшего промежутка, содержащего точки х и х„ 1 = 1,..., р, найдется точка С такая,что (х — х1)"' ...(х — х„)"е п! Эта формула называется интерполлпионной формулой Эрмита. Точки хо 1 = 1,..., р, называются узлами интерполлнии кратности п1 соответственно. Частными случаями формулы Эрмита являются интерполяционная формула Лагранжа (задача Ь)) при р = п и п, = 1 (1 = 1,...,и), а также формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, получающаяся при р = 1, т.е. при интерполировании с одним узлом кратности и.
12. Покажите, что а) между двумя вещественными корнями полинома Р(х) с вещественными коэффициентами имеется корень его производной Р'(х); Ь) если полипом Р(х) имеет кратный корень, то поливом Р'(х) имеет тот же корень, но на единицу меньшей кратности; с) если се(х) — наибольший общий делитель полиномов Р(х) и Р'(х), где Р (х) — производная полинома Р(х), то полинам имеет в качестве корней Р1х'~ Я(х) корни полинома Р(х), причем все они кратности 1. 13. Покажите, что а) любой полинам Р(х) допускает представление в следующем виде: со + + с1(х — ха) +...
+ с„(х — хо)"; Ь) существует единственный полипом степени и, для которого )(х) — Р(х) = = о((х — ха)") при Е В х — 1 ха. Здесь 1 — функция, определенная на множестве Е, а хо — предельная точка Е. 14. С помощью индукции по Ь, 1 < Ь, определим конечные р зности порядка 6 функции 1 в точке ха. ~1'У(хо, '61) ьв ~У(хо, '61) = 1(ХО + 61) — У(ХО), 12 У(ХО; 61, 62) ьв 22121(ХО; 61, 62) = = (2(ха + Ь1 + 62) — 2(ха + 62)) — (1(хо + 61) — 1(ХО)) = =2(ха + 61 + 62) — 2 (хе + 61) — 2(ХО + 62) + 2 (ХО), Ь~|(ХО;61 ...,61) гв Ь~ ~дк(ХО'61 ..
Ьь — 1) где дь(х) = 161,((х; 6|) = /(х + Ьь) — 1(х). а) Пусть 1 б С1" Н [а, Ь] и существует 11"1(х) по крайней мере в интервале ]а, Ь[. Если все точки хо, ха + 61, ха + 62, ха + 61 + 62, ха + 61 +... + Ь„лежат в [а, Ь], то внутри наименьшего отрезка, вх содержащего, найдется точка С такая, что 6"1(ХО', 61," 6~) = /ОО(С) 61 " Ь~ ГЛ. з7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 274 Ь) (Продолжение.) Если существует ~1"~(хе), то имеет место оценка /~ У(ха~ Ьь ~ Ьв) У (хв) Ь1 Ьп/ < !Х " (х) — Х " ( в)) .~Ь,~...~Ь„~.
яе)а,ь! с) (Продолжение.) Положим сь"1(хе,.Ь,...,Ь) =: Ь"Дхо,.Ь"). Покажите, что если существует ~00(хв), то 00( ), Ь" |(хв, Ь") ь о Ь" д) Покажите на примере, что предыдущий предел может существовать даже тогда, когда 100(х) в точке хв не существует. Указание. Рассмотрите, например, съз7 (О; Ьз) для функции ) хзв1п-,', х~0, (О, х=0, и покажите, что Ьз у" (О; Ьз) ь- е Ьз 15. а) Применив теорему Лагранжа к функции —, где о > О, покажите, 1 хв что при и е И и о > 0 имеет место неравенство ОО Ь) Воспользуйтесь результатом задачи а) и покажите, что ряд 2 — сходится при и > 1. 0 4. Исследование функций методами дифференциального исчисления 1.
Условия монотонности функции Утверждение 1. Между характером монотонности дифференцируемой на интервале )а,6( = Е функции 1: Š— + К и знаком (положительностью) ее производной ~' на этом интервале имеется следующая взаимосвязь: ~'(х) > 0 =ь ~ возрастает ~ ~'(х) > О, 7"(х) > 0 =ь 1 не убывает =ь ~'(х) > О, у'(х) г— в О ~ у— : соцвс ~ Г'(х) = О, 14. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 275 1'(х) < О =ь 1 не возрастает =ь 1 (х) < О, ~'(х) < О ~ З убывает ~ 1'(х) < О.
< Левый столбец следствий нам уже знаком по обсуждению теоремы Лагранжа, в силу которой ((хг) — 1(х1) = 1'(С)(х2 — х1), где хм х2 Е Е ]а, Ь[ и С вЂ” точка между х1 и х2. Из этой формулы видно, что при х1 < х2 положительность разности 1(х2) — 1(х1) совпадает с положительностью 1'(С). Правый столбец следствий получается непосредственно из определения производной.
Покажем, например, что если дифференцируемая на ]а, б[ функция 1 возрастает, то 1'(х) > О на ]а, б[. Действительно, ( 1. У(х+ Ь) — Пх) 6->0 Ь Если Ь > О, то Х(х+ Ь) — 1(х) > О, а если 6 < О, то 1(х+ А) — 1(х) < О; поэтому дробь под знаком предела положительна. Следовательно, ее предел 1'(х) неотрицателен, что и утверждалось. в. Замечание 1. На примере функции 1'(х) = хз видно, что возрастание дифференцируемой функции влечет только неотрицательность производной, а не ее положительность.
В нашем примере 1'(0) = зхг!, 0 =О, Замечание 2. В символе А ~ В, как мы уже в свое время отмечали, А — условие, достаточное для В, а  — условие, необходимое для того, чтобы было выполнено А. Значит, из утверждения 1, в частности, можно сделать следующие выводы: функция постоянна на интервале тогда и только тогда, когда ее производная тождественно равна нулю на этом интервале; для того чтобы дифференцируемая на интервале функция убывала на нем, достаточно, чтобы ее производнол была отрицательна в любой точке этого интервала; для того чтобы дифференцируемал на интервале функция убывала на нем, необходимо, чтобы ее производная была неположительна на этом интервале. Пример 1.
Пусть 1(х) = хз — Зх+ 2 на 2. Тогда ~'(х) = Зхг— — 3 = 3(х — 1) и, поскольку ~'(х) < О при ]х~ < 1 и з"(х) > О при ф > 1, можем сказать, что на интервале ] — оо, — 1[ функция возрастает, на интервале ] — 1, 1[ убывает, а на интервале ]1, +ос[ вновь возрастает. ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 276 2. 'Условия внутреннего экстремума функции.
Учитывая лемму Ферма (лемма 1, ~ 3), можно сформулировать следующее Утверждение 2 (необходимые условия внутреннего экстремума). Для тово чтобы точка хо была точкой экстремума функции 1": У(хо) — + К, определенной в окрестности П(хо) этой точки, необходимо выполнение одного иэ двух условий: либо функция не дифференцируема в хо, либо э"(хо) = 0 Простые примеры показывают, что эти необходимые условия экстремума не являются достаточными. Пример 2. Пусть Дх) = хз на И. Тогда ~'(0) = О, но в точке хо = 0 экстремума нет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
