1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Пример 3. Пусть / х при х>0, [ 2х при х (О. Эта функция с изломом в нуле, очевидно, не имеет в нуле ни производной, ни экстремума. Пример 4. Найдем максимум функции 1(х) =х~ на отрезке [ — 2, Ц. В данном случае очевидно, что он будет достигнут в конце — 2 отрезка, но регулярный способ его отыскания таков. Находим ~'(х) = 2х и все точки интервала ] — 2, 1[, где ~'(х) = О. В нашем случае это одна точка х = О. Максимум Дх) должен быть либо среди этих точек, либо в одной из концевых точек, о которых утверждение 2 ничего не говорит.
Таким образом, надо сравнить значения ~( — 2) = 4, ДО) = О, 1(1) = 1, откуда заключаем, что максимальное значение функции 1(х) = х~ на отрезке [ — 2, 1] равно 4 и принимается в точке — 2, являющейся концом этого отрезка. Используя установленную в пункте 1 связь между знаком производной и характером монотонности функции, приходим к следующим достаточным условиям наличия или отсутствия локального экстремума в точке. Утверждение 3 (достаточные условия экстремума в терминах первой производной). Пусть ~: ь1(хо) — э К вЂ” функция, определенная в окрестности ь1(хо) точки хо, непрерывная в самой этой точке и диф- о4. ИССЛЕДОВАНИЕ<РУНКЦИИ 277 о о ферениируемал в ее проколотой окрестности О1хо). Пусть П 1хо) = о = 1х Е 11(хо) ~ х < хо) и С~1хо) = 1х Е О1хо) ~ х > хо).
Тогда справедливы следующие заключения: а) (Чх Е П 1хо) 1,7 1х) < 0)) Л 1Чх Е П 1хо) 1э 1х) < 0)) =ь ~ (~ в хо экстремума не имеет); Ь) 1Чх Е П (хо) 1у'1х) < 0)) Л1Чх Е П+1хо) 1у'1х) >0)) ~ ~ (хо — точка строгого локального минимума ) ); с) (Чх е П (хо) (2"(х) > 0)) Л (Чх Е с7~(хо) (,1"(х) < 0)) ~ ~ (хо — точка строгого локального максимума у); Й) (Чх Е П (хо) 17 1х) > 0)) Л 1ох Е 0~1хо) 1у (х) > 0)) =ь =Ь (Э' в хо экстремума не имеет). Кратко, но менее точно, можно сказать, что если при переходе через точку производная меняет знак, то экстремум есть, а если ее знак при этом не меняется, то экстремума нет. Заметим сразу же, что эти условия, являясь достаточными, не являются необходимыми для экстремума, в чем можно убедиться на следующем примере. Пример 5.
Пусть 2х2+ х2 в1п 1 при х ф О, йх) = 0 при х=О. Поскольку х2 < ~(х) < Зхг, то ясно, что функция имеет строгий локальный минимум в точке хо = О, однако ни в какой проколотой полуокрестности этой точки ее производная 1'(х) = 4х + 2хвш — сов — не сохраняет знак. Этот же пример указывает на недоразумения, 1 которые могут возникнуть в связи с приведенной выше сокращенной формулировкой утверждения 3. Теперь обратимся к доказательству утверждения 3.
м а) Из утверждения 2 следует, что функция у строго убывает на о П (хо). Поскольку она непрерывна в хо, имеем 1пп 7'(х) = 1'(хо) о и-1, ь)э*-~хь и, следовательно, 1(х) > 1 1хо) при х Е П 1хо). По тем же соображениям 278 ГЛ. Ч. ДИФ<РЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ з (хо) > У(х) при х е 17~(хо). Таким образом, функция строго убывает во всей окрестности 17(хо) и хо не является точкой экстремума. Ь) Сначала, как и в а), заключаем, что ввиду убывания Дх) на о о (хо) и непрерывности 1 в хо имеем 1(х) > Дхо) при х Е П (хо). о Из возрастания 1 на 17+(хо) и непрерывности 1 в хо заключаем, что о 1(хо) ( Дх) при х Е 17+(хо). Таким образом, функция 1 имеет в хо строгий локальный минимум.
Утверждения с) и с1) доказываются аналогично. > Утверждение 4 (достаточные условия экстремума в терминах высших производных). Пусть функиил 1: 17(хо) — + К, определенная в окрестности П(хо) точки хо, имеет в хо производные до порлдка и включительно (и > 1). Если У'(хо) = ... = ~~" Ц(хо) = О и ~~"~ ~ О, то при и нечетном в хо экстремума нет, а при и четном экстремум есть, причем это строгий локальный минимум, если ~~")(хо) > О, и строгий локальный максимум, если ~~")(хо) ( О. < Используя локальную формулу Тейлора Х(х) — Х(хо) = —,Х~")(хоЦх — хо)" + о(х)(х — хо)" (1) где а(х) -+ О при х -+ хо, будем рассуждать так же, как при доказа- тельстве леммы Ферма. Перепишем (1) в виде У(х) — Пхо) = —,У'"'(хо) + о(х) (х — хо)" (2) Поскольку У<") (хо) ~ О, а а(х) -+ О при х -+ хо, то сумма У<") (хо) + + а(х) имеет знак ~~"1(хо), когда х достаточно близко к хо.
Если и нечетно, то при переходе через хо скобка (х — хо)" меняет знак и тогда изменится знак всей правой, а следовательно, и левой части равенства (2). Значит, при и = 2к + 1 экстремума нет. Если и четко, то (х — хо)" > О при х ф хо и, следовательно, в малой окрестности точки хо знак разности Дх) — Дхо), как видно из равенства (2), совпадает со знаком ~~")(хо). ь Рассмотрим примеры. 14. ИССЛЕДОВАНИЕ<РУНКЦИЙ 279 Пример 6. Закон преломления света в геометрической оптике (закон Снеллиуса')).
Согласно принципу Ферма истинная траектория света между любыми двумя точками такова, что на ней реализуется минимум времени, которое необходимо свету, чтобы пройти из одной точки в другую по любому фиксированному пути, соединяющему эти точки. Из принципа Ферма и того, что кратчайшей линией между любыми дву- мя точками является отрезок прямой с концами в этих точках, следует, что в однородной изотропной среде (устроенной одинаково как в каждой точке, так и в каждом направлении) свет распространяется прямолинейно. Пусть теперь имеются две такие сре- ды и свет распространяется из точки А1 Рис. 22.
к А2, как показано на рис. 22. Если с1, с2 --скорости света в этих средах, то время прохождения указанного пути таково: 4(х) = — )~Ь, + х2 + — й2 + (а — х). 1 С1 С2 Найдем экстремум функции 1(х): ,() 1 х 1 а — х О ,,/О 7З а уатт7, —,~ что в соответствии с обозначениями рисунка дает с ' вш се1 = с ' ейп о2. Из физических соображений или прямо из вида функции 1(х), неограниченно растущей при х -+ со, ясно, что точка, где г'(х) = О, является точкой абсолютного минимума непрерывной функции 1(х). Таким образом, из принципа Ферма следует закон преломления "." а' = -'1. сба ат с2 ' Пример Т.
Покажем, что при х > 0 х — стх+ се — 1 < О, когда 0 < се < 1, хо — сех+ а — 1 > О, когда се < О или 1 < се. (4) ПВ. Снеллиус (Снелл) (1580 — 1826) — нидерландский астроном и математик. 280 ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Заметим, что если заменить х на 1 + х, то мы обнаружим, что (3) и (4) — это развитие уже знакомого нам при натуральном показателе а неравенства Бернулли (гл. П, 8 2; см.
также задачу 2 в конце настоящего параграфа) . С помощью элементарных алгебраических преобразований из доказанных неравенств можно получить ряд классических и важных для анализа неравенств. Приведем их вывод. а. Неравенства Юнга1). Если а > 0 и 6 > О, а числа р, д таковы, чторф0,1, 0~0,1 и 1+1=1, то а ?"6 ?4 < — а+ — Ь, р <? а~?РЬ~?4 > — а+ — 6, Р 0 (5) если р>1, (6) если р<1, причем знак равенства в (5) и (6) имеет место только при а = Ь. М Для доказательства достаточно в (3) и (4) положить х = 5~ и а = — а также ввести обозначение — = 1 — —. ~ь 1 1 1 р~ 9 Р' Ь. Неравенства Гельдераз). Пусть х, > О, у; > 0 (1 = 1,..., и) и Р 9 — + — = 1.
Тогда '~ 'х?у < '), 'хр? ~ ~~ уч ~ > 1 (7) ОВ. Юнг (Янг) (1882 — 1946) — английский математик. иО. Гальдер (1889 — 1937) — немецкий математик. 1 Дифференцируя функцию ?(х) = х~ — ах+ о — 1, находим ?'(х) = = о(х 1 — 1) и ?'(х) = 0 при х = 1. При переходе через точку 1 производная переходит от положительных значений к отрицательным, если 0 < о < 1, и от отрицательных к положительным, если о < 0 или 1 < о. В первом случае в точке 1 строгий максимум, а во втором— строгий минимум (и не только локальный, что следует из соображений монотонности ? на участках 0 < х < 1, 1 < х).
Но ?(1) = 0 и, таким образом, оба неравенства (3), (4) установлены. При этом показано даже, что оба неравенства строгие, если х ~ 1. )ь 14. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 281 „) ху > ~~х";~ ~~уУ р р<1, рФ0. (8) г=! г=! г=1 В случае р < 0 в (8) предполаеается, что х; > 0 (4 = 1,...,п). Знак равенства в (7) и (8) возможен только в случае пропорглиональности вектоРов (хР1,..., х! ) (Уг Уй). м Проверим неравенство (7). Пусть Х = ~ х',.' > О, У = ~ , 'уч > О. ,=! ;=! Полагая в (5) а = х, 5 = — !, получаем хгуг 1х, 1У; Х гну ге РХ 0! Суммируя эти неравенства по 4 от 1 до и, получаем Хгуг г=1 Х!/ру!й что эквивалентно (7). Аналогично, из (6) получаем (8). Поскольку знак равенства в (5) и (6) возможен лишь при а = 5, заключаем, что в (7) и (8) он возможен лишь при пропорциональности хв = Луе или уе = Лх',.
)ь с. Неравенства Минковского!). Пусть х, > О, у, > 0 (4 = 1,...,и). Тогда '~ ( !+Уе)' < ~~,Г + (хе+у,)р > ~~! ! + ~~) у," при р < 1, р Ф О. (10) '!Г. Минковский (1864 — !909) — немецкий математик, предложивший адекватную математическую модель (пространство с индефинитной метрикой) специальной теории относительности. ГЛ. 1г'.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 282 м Применим неравенства Гельдера к членам правой части тождества в в в ~1 (х1 + у,)р = ~~г х,(х, + у,)" ' + ~~1 у,(х, + у1)" г=1 г=1 г=1 Тогда левая часть будет оценена сверху или снизу в соответствии с неравенствами (7), (8) величиной / а 11й После деления полученных неравенств на ~ 2, (х1 + у1)Я) прихо1=1 дим к (9) и (10). Зная условия равенства в неравенствах Гельдера, проверяем, что знак равенства в неравенствах Минковского возможен лишь в случае коллинеарности векторов (х1,...,х„), (у1,...,9„). 1» При и = 3 и р = 2 неравенство Минковского (9), очевидно, является неравенством треугольника в трехмерном евклидовом пространстве.
Пример 8. Рассмотрим еще простейший пример использования высших производных при отыскании локальных экстремумов. Пусть у (х) = вш х. Поскольку уг(х) = сов х и угг(х) = — яшх, то все точки, где 7"г(х) = соя х = О, являются локальными экстремумами функции вшх, так как в них угг(х) = — вшх ф О. При этом уг'(х) < О, если 81пх > > О, и 7"гг(х) > О, если вшх < О. Таким образом, точки, где сов х = О, а 81пх > О, являются локальными максимумами, а точки, где созх = О, а вшх < О, — локальными минимумами функции 81пх (что, конечно, и так известно).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
