1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 55
Текст из файла (страница 55)
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 305 1+ их при х ) — 1 и различных значениях параметра о. В случае а б И имеем классическое неравенство Бернулли. 7. Покажите, что а) если выпуклая функция 1: И -+ И ограничена, то она постоянна; Ь) если для выпуклой функции 1: И вЂ” > И !пп — = !пп = О, то 1 — постоянная; с) для любой выпуклой функции 7', определенной на промежутке а < х < < +со (или — оо < х < а), отношение ~~~-) стремится к конечному пределу или к бесконечности при стремлении х к бесконечности по области определения функции. 8.
Покажите, что если 1:]а,б[-+ И вЂ выпукл функция, то а) в любой точке х В [а, б[ она имеет левую 1' и правую 1' производные: 1(х + 6) — 1(х), 1(х + Ь) — 1'(х) — л -о Ь ' т л ео причем 1' (х) < ~„'(х); Ь) при хм хе В [а, Ь[ и х~ < хз имеет место неравенство 1' (х~) < 1' (хт); с) множество угловых точек графика 1(х) (для которых 1 (х) ~ ~' (х)) не более чем счетно. 9. Преабразоеанием ЛежандраП функции 1; 1 — > И, определенной в промежутке 1 С Р„называется функция 1'(1) = ецр(1х — 1(х)). вел Покажите, что: а) МножествоГ техзначений1б И, длякоторых1*(с) с и(т.е. 1*(т)т-оо), либо пусто, либо состоит из одной точки, либо является числовым промежутком, причем в последнем случае функция 7'*(1) выпукла на 1'. Ь) Если 1 — выпуклая функция, то 1* ф И и при 1" В С(1*) (1") (х) = апр(х$ — 1*($)) = 1(х) и т* для любого х б 1.
Таким образом, преобразование Лежандра выпуклой функции иноолютиано (квадрат его есть тождественное преобразование). с) Имеет место неравенство х1 < 1(х) + 1*(1) при х 6 1 и С б 1'. ПА. М. Лежандр (1752 — 1833) — известный французский математик. ГЛ. Ч.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 306 П) В случае, когда 1 — выпуклая дифференцируемая функция, 1'(С) = Сх~ — С(х~), где х~ определяется из уравнения С = С'(х); получите отсюда геометрическую интерпретацию преобразования Лежандра 1* и его аргумента С, показывающую, что преобразование Лежандра есть функция, определенная на множестве касательных к графику функции 1. е) Преобразованием Лежандра функции С'(х) = ~ х" прн а > 1 и х > О является функция 1'(С) = ЛСд, где С > О и — + Д вЂ” — 1; получите отсюда, с 1 д 1 1 учетом с), уже знакомое неравенство Юнга о+ а 1) Преобразованием Лежандра функции 1(х) = е* является функция 1" (С) = С 1п —, С > О, и справедливо неравенство +С1ве при х 6 СС и С > О.
10. Кривизна, радиус и центр кривизны кривой в точке. Пусть некоторая точка движется в плоскости по закону, задаваемому парой дважды дифференцируемых координатных функций х = х(С), у = у(С) от времени. При атом она описывает некоторую кривую,про которую говорят,что кривая задана в параметрическом виде х = х(С), у = у(С). Частным случаем такого задания является случай графика функции у = 1(х), где можно считать, что х = С и у = 1(С). Мы хотим указать число, характеризующее кривизну кривой в некоторой точке, подобно тому как величина, обратная радиусу окружности, может служить показателем искривленности окружности. Этим сравнением мы и воспользуемся.
а) Найдите тангенциальную а~ и нормальную а„составляющие вектора а = (х(С), у(С)) ускорения точки, т. е.'представьте а в виде суммы ас + а„, где вектор ас коллинеарен вектору и(С) = (х(С), у(С)) скорости, т.е, направлен по касательной к траектории, а вектор а„направлен по нормали к траектории. Ъ) Покажите, что при движении по окружности радиуса г имеет место соотношение 1и(С) ! 1а„(С)1 с) При движении по любой кривой, учитывая Ь), величину ! (С)! 1а„(С) / естественно назвать радиусом кривизнся кривой в точке (х(С), у(С)).
Покажите, что радиус кривизны вычисляется по формуле (йз + „з) зСз г(С) = 1йу — хЯ 15. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 307 д) Величину, обратную радиусу кривизны, называют абсолютной кривизной плоской кривой в данной точке (х(1), у(1)). Наряду с абсолютной кривизной рассматривается величина ху — ху (хг + .г)з1г называемая кривизной. Покажите, что знак кривизны характеризует направление поворота кривой по отношению к касательной. Выясните, какова размерность кривизны. е) Покажите, что кривизну графика функции у = 1(х) в точке (х, 1(х)) можно вычислить по формуле р"(х) [1 (~,)г~ 3/г Сопоставьте знаки й(х) н у" (х) с направлением выпуклости графика. Г) Подберите константы а, Ь, Л так, чтобы окружность (х — а)г + (у — Ь)г = = Нг имела с данной параметрически заданной кривой х = х(1), у = у(8) в точке хо = х(1о), уо = у(1о) касание возможно более высокого порядка.
Предполагается, что х(1), у(1) дважды дифференцируемы и (Х(1о), у(1о)) ф. (О, О). Указанная окружность называется соприкасаюшейсл окружносгпью кривой в точке (хо,уо). Ее центр называется иеипгром кривизны кривой в точке (хо, уо). Проверьте, что ее радиус совпадает с определенным в Ь) радиусом кривизны кривой в этой точке.
я) Частица без предварительного разгона под действием силы тяжести начинает скатываться с вершины ледяной горки параболического профиля. Уравнение профиля х + уг = 1, где х > О, у > О. Рассчитайте траекторию движения частицы до ее приземления. О 5. Комплексные числа и взаимосвязь элементарных функций 1. Комплексные числа. Подобно тому, как в области Я рациональных чисел алгебраическое уравнение хг = 2 не имело решений, уравнение хг = — 1 не имеет решений в области действительных чисел Я„и подобно тому, как, вводя внешний по отношению к Я символ ~/2 в качестве решения уравнения хг = 2, мы увязываем его с операциями в Я и получаем новые числа вида хг+~/2гг, где гы гг Е Я, можно ввести символ г в качестве решения уравнения хг = — 1 и связать это внешнее по отношению к ж число г с действительными числами и арифметическими операциями в Я.
Замечательной особенностью указанного расширения поля )к действительных чисел, кроме многого другого, является то, что в получа- ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЪНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 388 ющемся при этом поле С комплексных чисел уже любое алгебраическое уравнение с действительными или комплексными коэффициентами будет иметь решение. Реализуем теперь намеченную программу. а. Алгебраическое расширение поля К. Итак, вводим (следуя обозначению Эйлера) новое число г — мнимую единицу, такое, что ~2 Взаимодействие г с действительными числами должно состоять в том, что можно умножать 1 на числа у Е 2, т.е.
необходимо появляются числа вида гу, и складывать такие числа с вещественными, т.е. появляются числа вида х+ гу, где х, у Н Ж. Если мы хотим, чтобы на множестве объектов вида х+ гу, которые мы вслед за Гауссом назовем комплексными числами, были определены привычные операции коммутативного сложения и коммутативного умножения, дистрибутивного относительно сложения, то необходимо положить по определению, что (х1 + 1у1) + (хз + Зуз):= (х1 + хз) + В(у1 + уз) (1) и (х1+ гу1) (хз + гауз):= (х1хз — у~уз) + г(х1уэ+ хзу1). (2) Два комплексных числа х1+ гуъ хз + гауз считаются равными в том и только в том случае, когда х1 = хз и у1 = уз. Отождествим числа х Н К с числами вида х + г О, а г — с числом 0+ г 1.
Роль нуля в множестве комплексных чисел, как видно из (1), играет число 0+1 0 = 0 е 2, роль единицы, как видно из (2), — число 1+1 0=1е2. Из свойств вещественных чисел и определений (1), (2) следует, что множество комплексных чисел является полем, содержащим К в качестве подполя.
Поле комплексных чисел будем обозначать символом С, а его элементы — чаще всего буквами г и и~. Единственный не очевидный момент в утверждении о том, что С— поле, который нуждается в проверке, состоит в том, что любое отличное от нуля комплексное число г = х + гу имеет обратное г ' по отношению к умножению, т.е, з з ' = 1.
Проверим это. Число х — гу назовем сопрллсеннььк к числу з = х + гу и обозначим символом й. 1 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ й~УНКЦИИ 309 Заметим, что х х = (х2+ у2) + 1' О = х2+ у2 ~ О, если г ~ О. Таким ОбраЗОМ, В КаЧЕСтВЕ Х СЛЕдуот ВЗЯТЬ 2 2 й 2 2 $2 в 2" — 1 х +у х +у х +у Ь. Геометрическая интерпретация поля С. Заметим, что после того, как алгебраические операции (1), (2) над комплексными числами введены, символ г, который привел нас к этим определениям, перестает быть необходимым. Комплексное число х = х + гу мы можем отождествить с упорядоченной парой (х, у) действительных чисел, называемых соответственно действительной частью и мнимой часа)ью комплексного числа х (обозначения: х = Не х, у = 1щ х')). Но тогда, считая пару (х, у) декартовыми координатами точки плоскости ))е2 = )н х )н„можно отождествить комплексные числа с точками этой плоскости или с двумерными векторами с координатами (х, у).
В такой векторной интерпретации покоординатное сложение (1) комплексных чисел соответствует правилу сложения векторов. Кроме того, такая интерпретация естественно приводит также к понятию модуля ~г~ комплексного числа х как модуля или длины соответствующего ему вектора (х,у), т.е. )х~ = ъ/х2+ у2, если х = х+еу, а также к способу измерения расстояния между комплексными числами х), х2 как расстояния между соответствующими им точками плоскости, т. е. с помощью величины (4) )21 22! = Множество комплексных чисел, интерпретируемое как множество точек плоскости, называется комплексной плоскостью и также обозначается символом С, подобно тому, как множество вещественных чисел и числовая прямая обозначаются одним символом )й. Поскольку точку плоскости можно задать также полярными координатами (т, 1о), связанными с декартовыми координатами формулами перехода х = тсояю, У = ГЯ)ПЕ), 1) От лат.
геа)1в (вещественный) и ннай!найва (мнимый). ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 310 комплексное число (6) е =Я+1У можно также представить в виде г = г(совр+ тяпа). (7) Записи (6) и (7) называют соответственно алгебраической и торигонометпрической формами комплексного числа. В записи (7) число г ) О называется модулем комплексного числа з (ибо, как видно из (5), г = ф), а у — ареументом числа г. Аргумент имеет смысл только при г ~ О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
