1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Таким образом, желательно выяснить, когда ряд с членами а;6 сходится абсолютно. Утверждение 5. Произведение абсолютно сходящихся рядов является абсолютно сходящимся рядом, сумма которого равна произведению сумм перемножаемых рядов. М Заметим сначала, что, какую бы конечную сумму ~ а16, членов вида а,6 мы ни взяли, всегда можно указать Х так, что произведение сумм АА1 = а1+ ... + аА1 и ВА = Ь1 +... + Ьн будет содержать все слагаемые исходной суммы.
Поэтому (~ь а16.~ < ~~1 ~а16Д < ~~1 ~а161~ = 11 )а;! ~~1 ~ЬД < 11 ~а;~ ~~1 ~611 откуда вытекает абсолютная сходимость ряда ,'1 а;Ь„сумма кото1д=1 рого, таким образом, однозначно определена независимо от порядка слагаемых. В таком случае ее можно получить, например, как предел произведения сумм Ап = а1+...
+ ап, Вп = 61 +... + 6п при п -+ оо. Но А„„— 1 АВ при и-+ оо, где А = ~ ап и В = ~ Ьп, что и завершает п=1 п=1 доказательство высказанного утверждения 5. > Рассмотрим важный Пример 8. Ряды ~, '—,а", ~; —,Ь сходятся абсолютно. В прап=о ' т=о изведении этих рядов будем группировать манамы апЬю с одинаковой 15. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 317 суммой п + т = )с показателей степени. Тогда получим ряд —,ап —,Ь Но -апЬ'" = — ~~ апЬ "= — а+ 6 »и-~-п=а п=о поэтому мы получаем, что —,ап. Х~ —,Ь = ~~» —,(а+6)~. п=о »п=о 1=О (18) 2 1 3 е' = ехрл:= 1+ — 3+ — г + — г +..., 1! 2! 3! (19) 2 1 4 сеял:= 1 — — 3 + — 3 2! 4! (2!)) 3 1 5 О!Пл:= 3 — — г + — 3 3! 5! (21) Подставим, следуя Эйлеру' ), в (19) г = ьу. Группируя соответствую- щим образом слагаемые частичных сумм получающегося при этом ря- да, найдем, что 1+ — (ту) + — (ьу) + — (ьу) + — (ьу) + — (»у) +...
= 2 1 3 1 ° 4 1 5 1! 2! 3! 4! 5! 2 1 4 ° 1 1 3 1 5 1 — — у + — у —... )+4! — у — — у + — у 2! 4! ''' / 1 1! 3! 5! ОЛ. Эйлер (1707 — 1783) — выдаюшийся математик и механик, швейцарец по происхождению, большую часть жизни проживший в Петербурге. По выражению Лапласа, »Эйлер --обший учитель всех математиков второй половины ХНП1 века». 3.
43 ормула Эйлера и взаимосвязь элементарных функций. В примерах 1) — 3) мы установили абсолютную сходимость в С рядов, полученных распространением в комплексную область тейлоровских разложений функций е*, 5!пл, соя х, определенных на Я. По этой причине естественны следующие определения функций е', соа 3, 5!из в С: ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 318 т. е. (22) Это и есть знаменитая формула Эйлера. При ее выводе мы пользовались тем, что 1з = — 1, 18 = — г, 1ч = 1, 1в = г и т. д. Число у в формуле (22) может быть как действительным, так и произвольным комплексным.
Из определений (20), (21) видно, что сов(-г) = сове, яп( — г) = — япя, т.е. сове — четная функция, а 81пг — нечетная функция. Таким образом, е '" = сов у — г 81п у. Сравнивая последнее равенство с формулой (22), получаем 1 сову = — (евз+ е '"), 1 яву = —, (ено — е '") . 2т' Поскольку у — любое комплексное число, то зти равенства лучше переписать в обозначениях, не вызывающих недоразумений: 1 сов г = — (е" + е "), 1 япз = — (е" — е ") .
21 (23) 1 спг = — (е'+ е '), 1 вЬя = — (е' — е '), (24) можно принять в качестве определений соответствующих круговых и гиперболических функций. Забыв все наводящие и подчас не вполне Таким образом, если принять, что ехр я задается соотношением (19), то формулы (23) (равносильные разложениям (20), (21) ), как и формулы 15. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ строго обоснованные соображения, относившиеся к тригонометрическим функциям (которые, однако, привели нас к формуле Эйлера), можно было бы теперь проделать типичный математический трюк, приняв формулы (23), (24) за определения и получить из них уже совсем формально свойства круговых и гиперболических функций.
Например, основные тождества соя г+зш я=1, сЬ~я — вЬ~г = 1, как и свойства четности, проверяются непосредственно. Более глубокие свойства, как, например, формулы для косинуса или синуса суммы, вытекают из характеристического свойства показательной функции (25) ехр(г1 + яг) = ехр(я1) ехр(гг), которое, очевидно, следует из определения (19) и формулы (18). Выведем формулы для косинуса и синуса суммы.
С одной стороны, по формуле Эйлера е'("+"') = соя(з1 + гг) + 1яп(з1 + -1). (26) С другой стороны, по свойству показательной функции и формуле Эй- лера ец"+") = е"'еол = (соя я1+ гяшя1)(сов гг+1япгг) = = (сов г1 сов гг — яш г1 яп гг) + 1(яш з1 соя яг + соя г1 яп яг). (27) Если бы г1 и гг были действительными числами, то, приравнивая действительные и мнимые части чисел из формул (26) и (27), мы уже получили бы искомые формулы. Поскольку мы собираемся доказать их для любых г1, гг Е С, то, пользуясь четностью сов з и нечетностью яш запишем еще одно равенство: е К '~ ') = (сояя1сояяг — япя1я1пгг) — 1(япя1соягг+сояя1я1пгг). (28) Сравнивая (27) и (28), находим 17; Сов(я1 +зг) = — ~ени ") + е '("+"~ = совг1сояяг — 81пз181пгг, 2 ГЛ. 1г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 320 г м-~-лр яп(зг + гз) = — (ед" ~") — е Д"+"~) = з1п гг соз гз + соз я1 яп гз. 21 Совершенно аналогично можно было бы получить соответствующие формулы для гиперболических функций сЬз и зпл, которые, кстати, как видно из формул (23), (24), связаны с функциями созз, япз простыми соотношениями спг = созгз, з1гг = — гяпгг. зш(х + 2я) = зш х, япО =О, соз(х + 2я) = соз х, созО = 1, то из формулы Эйлера (22) получаем соотношение е' +1=0, (29) в котором представлены важнейшие постоянные различных областей математики (1 — арифметика, я — геометрия, е — анализ, г — алгебра).
Из (25) и (29), как и из формулы (22), видно, что ехр(з + 12я) = ехр г, т.е. экспонента оказывается периодической функцией на С с чисто мнимым периодом Т = 12я. Однако получить такие геометрические очевидности, как яп я = О или соз(г + 2я) = сов з, из определений (23), (24) уже очень трудно. Значит, стремясь к точности, не следует забывать те задачи, где соответствующие функции естественным образом возникают. По этой причине мы не станем здесь преодолевать возможные затруднения в описании свойств тригонометрических функций, связанные с определениями (23), (24), а еще рзз вернемся к этим функциям после теории интеграла. Наша цель сейчас состояла только в том, чтобы продемонстрировать замечательное единство, казалось бы, совершенно различных функций, которое невозможно было обнаружить без выхода в область комплексных чисел.
Если считать известным, что для х Е Й ~ 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 321 Учитывая формулу Эйлера, тригонометрическую запись (7) комплексного числа теперь можно представить в виде з = геиР где г — модуль числа я, а у — его аргумент. Формула Муавра теперь становится совсем простой: г" = г "е'"'Р. (30) 4. Представление функции степенным рядом, аналитичность.
Функция ы = 7" (г) комплексного переменного г с комплексными значениями ю, определенная на некотором множестве Е С С, есть отображение ~: Š— + С. График такой функции есть подмножество в С х С = ж2 х ж2 = 24 и поэтому традиционной наглядности не имеет. Чтобы как-то компенсировать эту потерю, обычно берут два экземпляра комплексной плоскости С и в одном отмечают точки области определения, а в другом — точки области значений. В рассмотренных ниже примерах указаны область Е и ее образ при соответствующем отображении. Пример 9. ~на+1=в Рис.
37. Пример 10. Рис. 38. ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 322 Пример 11. Рис. 40. Ибо если л = ге'~, то г2 = г2е'2~ Пример 13. и г л ~-+ л~ = Рис. 41. Пример 14. Рис. 42. Это следует из того, что 4 произошел поворот на угол Е. 2' Пример 12. ь О Рис. 39. = е"'I2 л = гевл и 4л = те'~"'~ ~2~ т.е. ) 15.
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 323 Из примеров 12, 13 понятно, что в данном случае образом единичного круга снова будет единичный круг, но только накрытый в два слоя. Пример 15. и и = 3) Рис. 43. Если з = ге'~, то в силу (30) з" = т" е'"4', поэтому в нашем случае образом круга радиуса т будет круг радиуса г" и каждая точка последнего является образом п точек исходного круга (расположенных, кстати, в вершинах правильного п-угольника). Исключение в этом смысле составляет только точка ю = О, прообраз которой есть точка г = О. Однако при з — ~ 0 функция г" есть бесконечно малая порядка п, поэтому говорят, что при г = 0 функция имеет нуль порядка п. С учетом такой кратности нуля можно теперь говорить, что число прообразов любой точки ю при отображении з > г" = = ш равно и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
