1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 61
Текст из файла (страница 61)
В частности, такой распад происходит примерно в половине случаев столкновения нейтрона с ядром урала П'з~. При делении ядра урана образуется 2-3 новых нейтрона, которые могут участвовать в дальнейшем взаимодействии с ядрами, вызывая их деление и тем самым размножение нейтронов. Ядерная реакция такого типа называется цепной реакцией. Опишем принципиальную математическую модель цепной реакции в некотором радиоактивном веществе и получим закон изменения количества Х(1) нейтронов в зависимости от времени. Возьмем вещество в виде шара радиуса г.
Если г не слишком мало, то за малый промежуток времени 6, отсчитываемый от момента 1, с одной стороны, произойдет рождение новых нейтронов в количестве, пропорциональном 6 и Х($), а с другой — потеря части нейтронов за счет их выхода за пределы шара. Если и — скорость нейтрона, то за время 6 покинуть шар могут только те из них, которые удалены от границы не более чем на расстояние и6, да и то если их скорость направлена примерно по радиусу. Считая, что такие нейтроны составляют неизменную долю от попавших в рассматриваемую зону и что нейтроны в шаре распределены примерно равномерно, можно сказать, что количество теряемых за время 6 нейтронов пропорционально Ф(1) и отношению объема указанной приграничной области к объему шара. Сказанное приводит к равенству г7(1+ 6) — Х(1) сьев(1)6 — — Л(1)6 Р г (ибо объем рассматриваемой зоны равен примерно 4яг~и6, а объем шара -кгз).
Коэффициенты о и 13 зависят только от рассматриваемого 3 радиоактивного вещества. ГЛ. Н. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 342 Из соотношения (11) после деления на Л и перехода к пределу при Л вЂ” с 0 получаем )Н'(с) = а — -~) )Н(с), г/ (12) откуда М(с) = )Неехр а —— )Н'(М) = а — — )Н(2) + и. (13) Это уравнение решается тем же приемом, что и уравнение (12), ибо /Н' С) 1 (а — ~3/г) СН(С) + и есть производная функции 1п~(а — к) )Н(2)+и~, о —,9/с г если а — ~ ~ О.
Следовательно, решение уравнения (13) имеет вид /Н е( — Сс/ )с " )1 е<™ — Е/~)с1 при а — о ~ О, о — С1/с 1 Р )Но + и2 при а — — „= О. сс )Н(1) = Из полученной формулы видно, что при (а — ~) ) 0 количество нейтронов будет экспоненциально во времени расти. Характер этого роста, независимо от начального условия )Нв, таков, что за очень короткое время происходит практически полный распад вещества с выделением колоссальной энергии †э и есть взрыв.
Если (а — ~~) ( О, то очень скоро реакция прекращается ввиду того, что теряется больше нейтронов, чем рождается. Если же выполнено пограничное между рассмотренными случаями условие а — ~ = О, то устанавливается равновесие между рождением нейтронов и их выходом из реакции, в результате чего их количество остается примерно постоянным. Величина г, при которой а — ~~ = О, называется критическим радиусом, а масса вещества в шаре такого объема называется критической массой вещества.
Для урана 1)2зв критический радиус равен примерно 8,5 ем, а критическая масса около 50 кг. В котлах, где подогрев пара происходит за счет цепной реакции в радиоактивном веществе, имеется искусственный источник нейтронов, который доставляет в делящуюся массу определенное количество и нейтронов в единицу времени. Таким образом, для атомного реактора уравнение (12) немного видоизменяется: 16.
ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ 343 Из этого решения видно, что если а — ~~ > 0 (сверхкритическая масса), то произойдет взрыв. Если же масса докритическая, т. е. о — ~ < О, то очень скоро будем иметь и Х(Ф) = т Таким образом, если поддерживать массу радиоактивного вещества в докритическом состоянии, но близком к критическому, то независимо от мощности дополнительного источника нейтронов, т.е. независимо от величины и, можно получить большие значения Х(1), а значит, и большую мощность реактора. Удерживание процесса в прикритической зоне — дело деликатное и осуществляется довольно сложной системой автоматического регулирования.
4. Падение тел в атмосфере. Сейчас нас будет интересовать скорость е(1) тела, падающего на Землю под действием силы тяжести. Если бы не было сопротивления воздуха, то при падении с относительно небольших высот имело бы место соотношение (14) б(~) = д, вытекающее из второго закона Ньютона та = г и закона всемирного тяготения, в силу которого при 6 « В ( — радиус Земли) Мт Мт Г(Ф) = С „® =С вЂ” =дт.
Движущееся в атмосфере тело испытывает сопротивление, зависящее от скорости движения, в результате чего скорость свободного падения тяжелого тела в атмосфере не растет неограниченно, а устанавливается на некотором уровне. Например, при затяжном прыжке скорость парашютиста в нижних слоях атмосферы устанавливается в пределах 50 — 60 м/с.
Для диапазона скоростей от 0 до 80 м/с будем считать силу сопротивления пропорциональной скорости тела. Коэффициент пропорциональности, разумеется, зависит рт формы тела, которую в одних случаях стремятся сделать хорошо обтекаемой (бомба), а в других случаях (парашют) имеют прямо противоположную цель. Приравнивая действующие на тело силы, приходим к следующему уравнению, которому ГЛ.
У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЪНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 344 должна удовлетворять скорость тела, падающего в атмосфере: (15) то(Ф) = тд — оо. Разделив зто уравнение на т и обозначив ф через 13, окончательно получаем о(о) = — ~Зо+д. (13') Мы пришли к уравнению, которое только обозначениями отличается от уравнения (13). Заметим, что если положить — 13о(4) + д = 1($), то, поскольку З'(4) = — 1Зо'(4), из (13') можно получить равносильное уравнение которое с точностью до обозначений совпадает с уравнением (8) или уравнением (10). Таким образом, мы вновь пришли к уравнению, реше- нием которого является экспоненциальная функция У(4) = З(0)е ~ . Отсюда следует, что решение уравнения (13') имеет вид а решение основного уравнения (15) имеет вид о(с) = — д+ (оо — — д) ~ ! ), (16) где ое = о(0) — начальная вертикальная скорость тела.
Из (16) видно, что при а ) 0 падающее в атмосфере тело выходит на стационарный режим движения, причем о(4) = Дд. Таким образом, в отличие от падения в безвоздушном пространстве, скорость падения в атмосфере зависит не только от формы тела, но и от его массы.
При а -+ 0 правая часть равенства (16) стремится к ое + д4, т. е. к решению уравнения (14), получающегося из (15) при а = О. Используя формулу (16), можно составить представление о том, как быстро происходит выход на предельную скорость падения в атмосфере. Например, если парашют рассчитан на то, что человек средней комплекции приземляется при раскрытом парашюте со скоростью порядка 10м/с, то, раскрыв парашют после затяжного свободного падения, 1б. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ 345 когда скорость падения составляет примерно 50 м/с, он уже через 3 секунды будет иметь скорость около 12 м/с.
Действительно, из приведенных данных и соотношения (16) находим Дд - 10, Д = 1, го = 50м/с, поэтому соотношение (16) приобретает вид с(1) = 10+ 40е '. Поскольку ез = 20, то при 8 = 3 получим е = 12 м/с. У'(х) = о/( ), (17) решение которого /(х) однозначно определяется, если указано»началь- ное условие» /(О). Тогда /(х) = /(0)е *. Число е и функцию е» = ехр х мы в свое время ввели довольно формально, сославшись на то, что это действительно важное число и действительно важная функция. Теперь нам ясно, что даже если бы мы не вводили раньше эту функцию, то ее, несомненно, пришлось бы ввести как решение важного, хотя и очень простого уравнения (17).
Точнее, достаточно было бы ввести функцию, являюшуюся решением уравнения (17) при некотором конкретном значении с», например при а = 1, ибо общее уравнение (17) приводится к этому случаю после перехода к новой переменной $, связанной с х соотношением х = ~ (а ~ О). Действительно, тогда и вместо уравнения /'(х) = а/(х) имеем теперь с».г (Ф) = аг (г), или й" (1) = Г(1). Итак, рассмотрим уравнение У'( ) =/(х) (18) и обозначим через ехр х то его решение, для которого /(О) = 1. 5.
Еще раэ о числе е и функции ехр х. На примерах мы убедились (см. также задачи 3, 4 в конце параграфа), что целый ряд явлений природы описывается с математической точки зрения одним и тем же дифференциальным уравнением ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 346 Прикинем, согласуется ли зто определение с прежним определением функции ехр х.
Попробуем вычислить значение 1(х), исходя из того, что у(0) = 1 и 1 удовлетворяет уравнению (18). Поскольку 1 — дифференцируемая функция, то 1 непрерывна, но тогда в силу (18) непрерывна и функция 1'(х). Более того, из (18) следует, что 1 имеет также вторую производную уп(х) = ~'(х), и вообще из (18) следует, что 1 — бесконечно дифференцируемая функция. Так как скорость |'(х) изменения функции 1(х) непрерывна, то на малом промежутке 6 изменения аргумента функция ~' меняется мало, поэтому 1(хе + 6) = 1(хе) + Г(С)6 — 1(хе) + +~'(хе)6. Воспользуемся этой приближенной формулой и пройдем отрезок от Одох с малым шагом 6 = — „*, гдеп Е И.
Если хе = О, хь+1 = хь+6, то мы будем иметь 1(хЬ1 ) 1(хЬ) + 2'(хя)6. Учитывая (18) и условие 1(0) = 1, имеем 1(х) = у(х„) - 1(х„1) + 1'(х„1)6 = 2 (хп — 1)(1 + 6) (1(хп-2) + 1 (хп-2)6)(1 + 6) 2 (хп-2)(1 + 6) 2 (хе)(1 + 6) =У(О)(1+6)" = (1+-*) . Представляется естественным (и это можно доказать), что чем мельче шаг 6 = — *„, тем точнее приближенная формула 1(х) - (1+ ~~) . Таким образом, мы приходим к тому, что 1(х) = 1пп (1+ — ) В частности, если величину 1 (1) = 1пп (1 + — ) обозначить через е и-~со ( и показать, что е ~ 1, то получаем, что 1(х) = 1пп (1+ — ) = 1ип(1+1)*~' = 1пп [(1+1)~~'1 = е*, (19) ибо мы знаем, что и -+ е, если и — 1 е.
Метод численного решения дифференциального уравнения (18), позволивший нам получить формулу (19), был предложен еще Эйлером 10. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ 347 1(х) = со + с1х +... + с„х" + .. (20) коэффициенты которого подлежат определению. к(л)/01 Как мы видели (см. 0 5, теорема 1), из (20) следует, что с„= л —, Но в силу (18) ~(0) = ~'(0) = ...
= 1'1")(0) = ... и, поскольку ДО) = 1, имеем с„= — „т.е. если решение имеет вид (20) и ~(0) = 1, то обяза- 1 тельно 2 1 и 1(х) = 1+ — х + — х +... + — х" +... 1! 2! и) Можно было бы независимо проверить, что функция, определяемая этим рядом, действительно дифференцируема (и не только при х = 0) и что она удовлетворяет уравнению (18) и начальному условию )'(О) = 1. Однако мы не будем на этом останавливаться, ибо наша цель состояла только в том, чтобы понять, согласуется ли введение экспоненциальной функции как решения уравнения (18) при начальном условии у(0) = 1 с тем, что мы раньше подразумевали под функцией ехрх. Заметим, что уравнение (18) можно было бы рассматривать в комплексной области, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
