1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 65
Текст из файла (страница 65)
10 Пример 11. Г агсяпхдх = хагсяпх — хдагсз1пх = Г ( -х') у ~Г1 — х — сяпх+ — / и ~ аи = хагсяпх+и + сяпх — = и ~2 с= = хагсз1пх+ 1/1 — х2+ с. Пример 12. 1 еах созЬхах = — ~ соя Ьхдеах = а 1 Г ах Ьà — 6 — — / '*дсозЬх = — е созЬх+ — ~ е яп х Г =-е' соз х — — /е а а 6 = — е созЬх+ — ~ яп * — — 6 — ' ЬхГ1еах = — еахсозЬх+ — еа*з1пЬх— а2 Ь, асоЗЬх+ЬзшЬх ах еахсозЬх 1х 62 à — — е'*дз1пЬх = 2 а2 а2 а Из полученного равенства заключаем, что Г а соз Ьх + Ь зш Ьх, созЬхдх = 2 е'а+с. К этому результату можно о было бы прийти, воспользовавшись формулой Эйлера и тем о стоят ь б ельством что первообразной функции 365 в 7.
ПЕРВООБРАЗНАЯ Е(а+'6)х = Еах СОВ ЬХ +»Еах В)ПЬт яВЛяЕтСя фуНКцИя (а-Ь«6)х (а+«6)х а+»Ь а2+62 а сов 6х + Ь вт Ьх,х, а зт Ьх — Ь соз Ьх, е'х+» е'*. а2 ) 62 а2 ) 62 Это полезно иметь в виду и в будущем. При вещественном т это легко проверить непосредственно, продифференпировав действительную и мнимую части функции .
е( 1 а-~-»6 х а-ь»6 В частности, отсюда получаем также, что а вт Ьх — Ь соз Ьх втол«ьт = 2 2 е +с а2 ) 62 Уже этот небольшой набор разобранных примеров показывает, что при отыскании первообрвзных даже элементарных функций часто приходится прибегать к дополнительным преобразованиям и ухищрениям, чего совсем не было при отыскании производных композиции тех функций, производные которых нам были известны. Оказывается, это не случайная трудность. Например, в отличие от дифференцирования, переход к первообразной элементарной функции может привести к функции, которая уже не является композицией элементарных. Поэтому не следует отождествлять фразу «найти первообразную» с невыполнимым порой заданием «выразить первообразную данной элементарной функции через элементарные функции».
Вообще, класс элементарных функций — вещь очень условная. Имеется еще много важных для приложений специальных функций, которые изучены и затабулированы ничуть не хуже, чем, скажем, зтх или е*. Например, интегральный синус йх есть та первообразная )»'"х дт функции »в '"*, которая стремится к нулю при х -+ О. Такая первообразная существует, но, как и любая другая первообразная функции '— '"х, она не является композицией элементарных функций. Аналогично, функция 1 созх С»т= / Ых, выделяемая условием С»х -+ 0 при х -+ оо, не является элементарной.
Функция С»х называется интегральным косинусом. ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Збб Первообраэнзя ) 5,— функции 1 — также незлементарна. Одна из дх 1 первообразных этой функции обозначается символом 11х и называется интлезральным логари4мом. Она удовлетворяет условию 11х — 1 0 при х — + +О. (Подробнее о специальных функциях Ях, С1х, 11х будет сказано в гл. Ч1, 2 5.) Учитывая эти трудности отыскания первообразных, составлены довольно обширные таблицы неопределенных интегралов. Однако, чтобы успешно ими воспользоваться или чтобы не прибегать к ним, если вопрос совсем прост, необходимо иметь некоторые навыки обращения с неопределенными интегралами. Дальнейшая часть этого параграфа посвящена интегрированию функций из некоторых специальных классов, первообразные которых выражаются в виде композиции элементарных функций. 3.
Первообразные рациональных функций. Рассмотрим вопрос об интегралах вида ) В(х) дх, где В(х) = ф есть отношение полиномов. Если действовать в области вещественных чисел, то, не выходя за пределы поля вещественных чисел, любую такую дробь, как известно из алгебры (см. формулу (37) из 2 5, п. 4), можно разложить в сумму ь и где р(х) — многочлен (он появляется при делении Р(х) на фх), только если степень Р(х) не меньше степени фх)), а ь, 6 ь, суя — однозначно определяемые действительные числа, а Я(х) = (х — х1)~'... (х — х1)~' х х (х2+р,х+д1) ~... (х2+р„х+д„) О том, как строить разложение (8), мы уже говорили в 25. После того как разложение (8) построено, интегрирование функции В(х) сводится к интегрированию отдельных слагаемых.
Многочлен мы уже интегрировали в примере 1, поэтому остается рассмотреть только интегрирование дробей вида 1 6х+ с и где Й е 14. (х п)ь (х2 + рх + 1) ь ' 367 1 7. ПЕРВООБРАЗНАЯ Вопрос о первой из этих дробей решается сразу,ибо | (х — а) "~ + с при Й ~ 1, 1 — й+1 „~Ь = (х ц) 1п)х — а~+с при Й=1. (9) получаем 6х+ с /' ои+)3 Дх= / „ди, (хг+рх+9)й,1 (иг+а ) где а = 6, )г = с — 2 6р.
1 Далее, Г 1,1(иг+ц ) (и2+ц2)й 2 / (и2+ц2)й < (иг+ аг) й+' при Й ~ 1, 2(1 — й) — 1п(иг + аг) 2 (10) при Й=1, и остается разобраться с интегралом ди 1й = (и2 + а2)й Интегрируя по частям и делая элементарные преобразования, имеем а и / и пи г + 2Й / (и2 + а2)й (и2 + а2)й 1 (и2 + цг)й4-1 и +2Й/ ' ' Ыи = +2Й1й — 2Йа 1й4-1, 2 аг)й / (иг 1 аг)й4-1 (иг 1 цг)й откуда следует рекуррентное соотношение 1 и 2Й вЂ” 1 2Йаг (иг + ц2)й 2Йаг (12) С интегралом | 6х+ с (хг+ рх+ 9) й поступим следующим образом.
Представим многочлен хг+рх+д в виде (. -)' ~--'') х+ -р1 + |д — -р21, где д — — рг > О, так как многочлен хг + рх + д 1 1 2 2 е имеет вещественных корней. Полагая х + гр = и и Ч вЂ” 4Р ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 368 позволяющее понижать степень /с в интеграле (11). Но 1( легко вычи- слить: с(и 1 (' с((а) 1 и 1+ (,а) (13) таким образом, используя (12) и (13), можно вычислить также перво- образную (11). Итак, мы доказали следующее Утверждение 2.
Первообразная любой рациональной функции В(х) = — р~ выражается через рациональные функцищ а также транс- Р(х1 цендентные функции 1п и агс1я. Рациональная часть первообразной, будучи приведена к общему знаменателю, должна в качестве такового иметь произведение всех сомножителей, на которые раскладывается многочлен Щх), только с кратносп(ями на единицу меньшими, чем кратность их вхождения в разложение Я(х). Г 2хг+5х+5 Пример 13. Вычислим ( ((х. / (хз — 1)(х + 2) Поскольку подынтегральная функция является правильной дробью и разложение знаменателя в произведение (х — 1)(х + 1)(х + 2) тоже известно, то сразу ищем разложение 2хз -(- 5х + 5 А В С + + (14) (х — 1)(х + 1)(х + 2) х — 1 х + 1 х + 2 2х~ + 5х + 5 (А + В + С)х~ + (ЗА + В)х + (2А — 2 — С) (х — 1)(х + 1)(х + 2) (х — 1)(х + 1)(х + 2) Приравнивая соответствующие коэффициенты числителей, получаем систему В+С=2, В =5, 2 — С = 5, ~ ЗА ~- из которой находим (А, В, С) = (2, — 1, 1). нашей дроби в сумму простейших дробей.
Приведя правую часть равенства (14) к общему знаменателю, имеем 3 7. ПЕРВООБРАЗНАЯ 369 Заметим, что в данном случае эти числа можно было бы найти и в уме. Действительно, домножая (14) на х — 1 и полагая затем в полученном равенстве х = 1, справа получим А, а слева — значение при х = 1 дроби, полученной из нашей вычеркиванием в знаменателе сомножителя х — 1, т.е.
А = + + = 2. Аналогично можно было бы найти 2+5+5 В и С. Итак, | 2хг+5х+5 /' пх /' йх /' йх Их = 2 — + (хг — ц(х+2),/ х — 1,1 х+1 41 х+2 (х — Цг(х + 2) = 2 1п ~х — 1~ — 1п )х + 1! + 1п (х + 2! + с = 1п + с. х+1 Пример 14. Вычислим первообразную функции х — 2х + 4х — 5х + 4х — 5х — х 7 б 5 4 3 2 (х — ц'(х'+ ц' Прежде всего заметим, что дробь не является правильной, поэтому, раскрыв скобки и найдя знаменатель дроби фх) = хб — 2хб + ЗХ4— — 4Х3 + Зхг — 2Х+ 1, делим на него числитель, после чего получаем х — х +х — Зх — 2х 5 4 3 2 цг(.2+ цг а затем уже ищем разложение правильной дроби х — х +х — Зх — 2х 5 4 3 2 А В Сх+ Р Ех+ Г (х — Ц2(х2 + Ц2 (х — Ц2 х — 1 (х2 + Ц2 х2 + 1 Конечно, разложение можно найти каноническим путем, выписав систему шести уравнений с шестью неизвестными.
Однако вместо этого мы продемонстрируем иные, иногда используемые, технические возможности. Коэффициент А находим, домножив равенство (15) на (х — Цг и положив затем х = 1: А = — 1. Перенесем дробь с уже известным значением А = — 1 в левую (х — 1) часть равенства (15). Тогда получим Х4+хз+2хг+х 1 В Сх+Р Ех+Е ( ц(, г+цг х 1 ( 2+цг хг+1 ' откуда, домножая (16) на х — 1 и полагая затем х = 1, находим В = 1.
ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 370 Перенося теперь дробь — в левую часть равенства (16),получим 1 х — 1 х +х+2 Сх+Р Ех+Е (17) ~ г+ цг ~ г+1)г+ .г+1 Приводя правую часть равенства (17) к общему знаменателю, приравниваем числители хг + х + 2 = Ехз + Ехг + (С+ Е)х + (Р + Е), откуда следует,что Е= О, Е=1, С+ Е = 1, Р+Е=2, или (С,Р, Е,Е) = (1,1,0,1). Теперь нам известны все коэффициенты в равенстве (15). Первые 1 две дроби при интегрировании дают соответственно — и 1п ~х — 1~.
Далее, | Сх+ Р /' х+1 дх = ~1х = (хг + 1)г у (хг + 1)г + | 1 |'~1(х' + 1) + 1г~ 2 / ~хг + 1)г / (хг + 1)г 2(хг + 1) где Х г = дх 1 х 1 — — + агсЦ х, (хг + 1)г 2 (хг + 1)г что следует из (12) и (13). Наконец, дх = / Их = а с1а х. Ех+Г Г 1 хг + 1 / хг + 1 Собирая все интегралы, окончательно имеем Г г х 3 В(х)дх= — х + + + 1п)х — Ц + — агсСЕх + с. 2 х — 1 2(хг+1)г 2 Рассмотрим теперь некоторые часто встречающиеся неопределенные интегралы, вычисление которых может быть сведено к отысканию первообраэной рациональной функции. 371 17.
ПЕРВООБРАЗНАЯ 4. Первообразные вида гь(совх, в1пх) дх. Пусть й(и,е)— Р(и, Ы рациональная функция от и и е, т. е. отношение — ~-'— ~ полиномов, являющихся линейными комбинациями мономов и™е", где т = О, 1,..., п = = О, 1, ... Для вычисления первообразной ) В(соах, е1пх) Нх существует несколько приемов, из которых один — вполне универсальный, хотя и не всегда самый экономный.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
