1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Выразите координаты (х, у) через (хо, уо) и 1 и свяжите эти формулы с подстановками Эйлера. с) Кривая, задаваемая алгебраическим уравнением Р(х,у) = О, называется уникурсальной, если она допускает параметрическую запись х = х(1), у = у(ь) при помощи рациональных функций х(ь), у(т). Покажите, что интеграл ) В(х, у(х)) дх, где В(и,о) — рациональная функция, а у(х) — алгебраическая функция, удовлетворяющая уравнению Р(х, у) = О, задающему уникурсальную кривую, приводится к интегралу от рациональной функции. д) Покажите, что интеграл (28) всегда можно свести к вычислению интегралов следующих трех типов: 4. а) Покажите, что интеграл х (а+ Ьх")т4х от дифференциального бинома, где та, и, р — рациональные числа, приводится к интегралу (а+ Ьт)"г' Ш, (29) где р, д — рациональные числа.
Ь) Интеграл (29) выражается через элементарные функции, если одно из трех чисел р, д, р + д — целое. (П.Л. Чебышев показал, что других случаев, при которых бы интеграл (29) выражался в элементарных функциях, не существует.) 5. Э липтические иитеералы. а) Любой многочлен третьей степени с действительными коэффициентами имеет вещественный корень хе и заменой х — хе — — т приводится к многочлену 2 вида Яас' + Ьуз + сР + тН + е), где а ф О. Ъ) Функция В (х.../Р(х)), где Л(и,и) — рациональная функция, а Р— 3 4, р д «у я,з, лттгы~~...~~~, д а ~ О. с) Многочлен четвертой степени ахэ + Ьхз+...
+ е представляется в виде произведенияа(х +р1х+91)(х +рзх+дз) изаменойх= всегдаможет 2 2 а1 -~- д т1 -~-1 быть приведен к виду )2 ( тс е з) сФу яь,~~~~ .~....~ ). й*=, ( б рведена к виду л,(~, е) Функция В (х, /у) может быть представлена в виде суммы В1(х, у) + + — з(*-'-у), где В1 и Вз — рациональные функции. ч% Г) Любая рациональная функция может быть представлена как сумма четной и нечетной рациональных функций.
д) Если рациональная функция В(х) четна, то она имеет вид т(х'), а если нечетна,то вид хт(х ), где т(х) †рациональн функция. Ь) Любая функция В (х, /у) приводится к виду %(х,у) + + Вз(х, у) тСз(х, у) ~у у чту 1) Любой интеграл вида ( В (х, ~/Р(х)) Нх, где Р(х) — многочлен четвер- ГЛ. У. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 380 той степени, с точностью до элементарных слагаемых приводится к интегралу „(!г) ! где г(!) — рациональная функция, А = х1. 1) Если ~гпг) > ~тг) > О, то одной из замен вида ~/тг! = х, ~/т~! = Д вЂ” хг, „гг лг Л(г-~ю,г )(1-~юг! г л ~уГ~ ° Й 1, — Р Фу 'Π— ))( — ' ) !с) Выведите формулы понижения показателей 2п, гп для интегралов хг" дх ,Й )и-~*)' ь' — ) Лг — РТР— е*ч !) Любой эллиптический интеграл ) я (,, „т(*О ~,, Г) 5(х) = / вгп х Нх ~ я) С(х) = сояхгс(х/ (интегралы Френеля); где Р— полином четвертой степени, с точностью до слагаемых, представляющихся в виде элементарных функций, приводится к одному из трех канонических интегралов (20), (21), (22).
щ) Интеграл ) выразите через канонические эллиптические интегралы. п) Выразите через эллиптические интегралы первообразные функций и 7ъч; лт=' 6. Используя вводимые ниже обозначения, найдите с точностью до линейной функции Ах+ В первообразные следующих неэлементарных специальных функций: Г е* а) Е!(х) = ! — пх (интегральная экспонента); / х Г а!пх !г) о!(х) = / — Нх (интегральный синус); х Г соях с) С!(х) = / дх (интегральный косинус); х Г яйх д) БЫ(х) = / — Нх (интегральный гиперболический синус); Г с!гх е) С!п(х) = / — дх (интегральный гиперболический косинус); 5 7.
ПЕРВООБРАЗНАЯ 381 Г г Ь) ф(х) = / е * дх (интегрвл Эйлера — Пуассона); Г дх 1) 1Цх) = / — (интегральный логарифм). ,/ 1пх 7. Проверьте, что с точностью до постоянной справедливы следующие равенства: а) ЕЦх) = 1Це*); Ь) СЬЦх) = -[ЕЦх) + ЕЦ вЂ” х)); с) 8Ь1(х) = ~~1ЕЦх) — ЕЦ вЂ” х)]; д) ЕЦгх) = СЦх) +гй(х); ) гн/4ф (. — ы/4) С( ) 1 о( ) 8. Дифференциальное уравнение вида Ь У() дх д(у) называют уравнением с разделяющимися переменными, поскольку его можно переписать в виде д(у) Йу = Г(х) йх, в котором переменные х и у разделены. После этого уравнение можно решить: д(у) ду = Г(х) дх + с, вычислив соответствующие первообразные.
Решите уравнения а) 2хзуу'+уг = 2; Ъ) хду' = Л+ хг; с) у' = сов(у + х), положив и(х) = у(х) + х; д) хгу' — сов 2у = 1 и выделите то решение, которое удовлетворяет условию у(х) — г 0 при х г +оо; е) — д'(х) = Я(х); Г) дЫ-С(,) 9. Парашютист прыгнул с высоты 1,5км, а раскрыл парашют на высоте 0,5км. Сколько времени он падал до раскрытия парашюта? Предельную скорость падения человека в воздухе нормальной плотности принять равной 50 м/с. Решите задачу в предположении, что сопротивление воздуха пропорционально а) скорости; Ь) квадрату скорости.
Изменением давления с высотой пренебречь. 382 ГЛ. Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 10. Известно, что скорость истечения воды из небольшого отверстия в дне сосуда достаточно точно может быть вычислена по формуле О,б~/2дН, где д — ускорение силы тяжести, а Н вЂ” высота уровня воды над отверстием. Цилиндрический бак поставлен вертикально и имеет отверстие в дне.
Половина воды из полного бака вытекает за 5 мин. За какое время вытечет вся вода? 11. Какую форму должен иметь сосуд, являющийся телом вращения, чтобы при истечении из него воды уровень воды понижался равномерно? (Исходные данные см. в задаче 10.) 12. В рабочее помещение вместимостью 10Я мз через вентиляторы в 1 минуту подается 10 м свежего воздуха, содержащего 0,04% СОю и одновременно такое же количество смеси выводится из помещения. В 9 часов утра в помещение входят служащие, и через полчаса содержание СОз в воздухе повышается до 0,12%. Оцените содержание углекислого газа в помещении к 2 часам дня.
ГЛАВА ~1 ИНТЕГРАЛ ~ 1. Определение интеграла и описание множества интегрируемых функций 1. Задача и наводящие соображения. Пусть точка движется вдоль числовой оси, л(1) --ее координата в момент 1, а и($) = э'(С)— ее скорость в тот же момент 1. Предположим, что мы знаем положение я(1е) точки в момент $~ и к нам поступают данные о се скорости. Располагая ими, мы хотим вычислить э(1) для любого фиксированного значения Ф ) Фе. Если считать скорость е(~) меняющейся непрерывно, то смещение точки за малый промежуток времени приближенно можно вычислить как произведение е(т)Ь1 скорости в произвольный момент т, относящийся к этому промежутку времени, на величину Ь$ самого промежутка. Учитывая это замечание, разобьем отрезок [1е, ~], отметив некоторые моменты Ц (г = О,..., п), так, что 1е < 1~ < ...
< Ф„= Ф, и так, что промежутки [Ц ы1;] малы. Пусть М = Ц вЂ” 1; 1 и т, е [г, ы 1;], тогда имеем приближенное равенство По нашим представлениям, это приближенное равенство будет уточняться, если переходить к разбиениям отрезка [Фе, 8] на все более мелкие промежутки.
Таким образом, надо полагать, что в пределе, когда величина Л наибольшего из промежутков разбиения стремится к нулю, ГЛ. Лг1. ИНТЕГРАЛ 384 получим точное равенство 11ш,~ е[ гг)~М = л(1) л[1е) ° Л-ге г=1 О 1 Х, 1ЬХ1; 2 Рис. 47. здесь Ьх1 = х, — х, 1. Полагая 1'(х) = х2 и (1 = х; 1, мы перепишем полученную формулу в виде о = ~~г 1[юг)лгх,. г=1 В этих обозначениях в пределе будем иметь я 1ПП ~~> ~ф)г"гХ1 = О, г=1 (2) Это равенство есть не что иное, как фундаментальная для всего анализа формула Ньютона — Лейбница.
Она позволяет, с одной стороны, численно находить первообразную л(1) по ее производной е(1), а с другой стороны, по найденной каким-либо способом первообразной л(1) функции е(1) найти стоящий слева предел сумм 2 е(ть)А|;. г=1 Такие суммы, называемые интегральными сумлгалгц встречаются в самых разнообразных случаях.
Попробуем, например, следуя Архимеду, найти площадь под параболой у = х2 над отрезком [О, 1] (рис.47). Не останавливаясь здесь на подробном обсуждении понятия площади фигуры, о котором речь будет идти несколько позже, мы, как и Архимед, будем действовать методом исчерпания фигуры посредством простейших фигур — прямоугольников, площади которых мы вычислять умеем.
Разбив отрезок [О, 1] точками О = хе < х1 « ... х„= 1 на мелкие отрезки [х, 1, х;], мы, очевидно, можем приближенно вычислить искомую площадь о как сумму площадей изображенных на рисунке прямоугольников: 11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ 385 где, как и выше, Л вЂ” длина наибольшего из отрезков [х; ьх,] разбиения.
Формула (2) только обозначениями отличается от формулы [1). Забыв на миг о геометрическом смысле 1 [С,), Ьх, и считая х временем, а 1'(х) скоростью, найдем первообразную Г[х) функции 1 [х) и тогда по формуле [1) получим, что о = Г[1) — Г(0). В нашем случае Дх) = х~, поэтому Г[х) = -ха + с и о = Г(1)— — Г[0) = ~~. Это и есть результат Архимеда, который он получил прямым вычислением предела в [2). Предел интегральных сумм называется пнтееролом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
