1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 71
Текст из файла (страница 71)
«1) Используя предыдущую задачу, докажите критерий Лебега интегрируемости функции по Риману. 4. Покажите, что если 1, д й %[а, 6] и 1, д действительны, то шах(1, д) й Е Я[а, Ь] и пшел((,д) Е»с[а, Ь]. 5. Покажите, что а) если 1,д й 1с[а,Ь] и ((х) = д(х) почти всюду на (а, 6], то ] ((х) с(х = » а = ] д(х) бх; а ПП, Дюбуа — Реймон (1831 — 1889) — немецкий математик.
ГЛ. Ч1. ИНТЕГРАЛ 404 Ь) если 1 Е 'и'.[а, Ь] и Дх) = д(х) почти всюду на [а,Ь], то д может не быть интегрируемой по Риману на [а, Ь], даже если д определена и ограничена на [а, Ь]. 6. Интеграл от векторноэначной функции. а) Пусть г(1) — радиус-вектор точки, движущейся в пространстве; гь = = г(0) — начальное положение точки; и(1) — вектор скорости как функция времени. Восстановите г(1) по го и функции и(1). Ь) Сводится ли интегрирование векторнозначной функции к интегрированию вещественноэначных функций? с) Верен ли для векторнозначных функций критерий интегрируемости, выраженный в утверждении 2'? о) Верен ли критерий Лебега для векторноэначных функций? е) Какие из понятий и фактов этого параграфа переносятся на функции с комплексными значениями? 2 2.Линейность,аддитивность и монотонность интеграла 1.
Интеграл как линейная функция на пространстве Я.[а, 6] Теорема 1. Если )' и д — интегрируемые на отрезке [а,Ь] функции, то их линейная комбинация а3'+)3д такэке является интегрируемой на [а, Ь] функцией, причем ь ь ь Г (оу + Ц)(х) дх = о Дх) йх + Д д(х) йх. М Рассмотрим интегральную сумму для интеграла, стоящего в левой части соотношения (1), и преобразуем ее: н п н ~~1 (оу +)3д)(6)Ьхь = а ~1 1(С1)Ьх;+/3~> д(С1)Ьх;. (2) 1=1 1=1 1=1 Поскольку правая часть последнего равенства стремится к линейной комбинации интегралов, стоящих в правой части равенства (1), если параметр А(Р) разбиения стремится к нулю, то левая часть равенства (2) тоже имеет предел при Л(Р) — > 0 и этот предел совпадает с пределом правой части.
Таким образом, (о ('+,Зд) Е Я.[а, Ь] и выполнено равенство (1). ~ 12. ЛИНЕЙНОСТЬ, АДДИТИВНОСТЬ И МОНОТОННОСТЬ ИНТЕГРАЛА 405 Если множество Я[а,Ь] рассматривать как векторное пространст- Ь во над полем действительных чисел, а интеграл ] у'[х) дх — как действительнозначную функцию, определенную на векторах пространства И[а, 6], то теорема 1 утверждает, что интеграл есть линейная функция на векторном пространстве Я[а, 6].
Во избежание возможной путаницы, функции, определенные на функциях, называют обычно функционалами. Таким образом, мы доказали, что интеграл есть линейный функционал на векторном пространстве интегрируемых функций. 2. Интеграл как аддитивная функция отрезка интегриро- Ь вания. Значение интеграла [ у[х) с)х = Т® (а,6]) зависит как от по- а дынтегральной функции, так и от отрезка, по которому ведется интегРиРование. НапРимеР, если )' Е К(а, 6], то, как мы Уже знаем, Д(о,б) Е Е Я[а, Ьз], если [ск, )3] С (а, 6], т.
е. определен интеграл / у [х) Йх, который а мы можем исследовать с точки зрения его зависимости от отрезка [о„З] интегрирования. Лемма 1. Если а < Ь < с и У Е 1с[а, с], пзо у'](,,ь) Е ус[а,Ь],,) ()ас) Е Е )с[Ь,с] и имеет место равенство 1) с ь с Г у[х) дх = у[х) а)х+ у[х) сЬ. е а Ь м Отметим прежде всего, что интегрируемость ограничений функции у на отрезки [а, 6] и (6, с] гарантируется утверждением 4 из предыдущего параграфа. Далее, поскольку у' Е Я.[а, с], то при вычислении интеграла [ у'[х) дх а как предела интегральных сумм мы вправе выбирать любые удобные нам разбиения отрезка [а, с]. В качестве таковых будем сейчас рассматривать только те разбиения Р отрезка (а, с], которые содержат точ- ОНапомним, что символ у)к обозначает сужение функции у на множество Е, лежащее в области определения функции у.
В правой части равенства (3) формально полагалось бы написать не у, а сужения у на соответствующие отрезки. ГЛ. У1. ИНТЕГРАЛ 400 ку 6. Каждое такое разбиение с отмеченными точками (Р, ~), очевидно, порождает разбиения (Р',с') и (Р",С") отрезков [а,6] и [Ъ,с] соответственно, причем Р = Р'0 Р" и С = С'0~". Но тогда имеет место следующее равенство между соответствующими интегральными суммами: пЦ;Р,~) = аЦ;Р',(') + афР",~Я). Поскольку Л(Р') < Л(Р) и Л(Р") < Л(Р), то при достаточно малом Л(Р) каждая из написанных интегральных сумм близка к соответствующему интегралу из (3).
Таким образом, равенство (3) действительно имеет место. ° Чтобы несколько расширить применимость полученного результата, вернемся временно вновь к определению интеграла. Мы определили интеграл как предел интегральных сумм (4) отвечающих разбиениям с отмеченными точками (Р, с) отрезка интегрирования [а,Ь]. Разбиение Р составляла монотонная конечная последовательность точек хе,х1,...,х„, причем точка хе совпадала с нижним пределом интегрирования а, а последняя точка х„совпадала с верхним пределом интегрирования 6. Эта конструкция проводилась в предположении, что а < 6. Если теперь взять произвольно два числа а и 6, не требуя, чтобы обязательно было а < 6, и, считая а нижним пределом интегрирования, а Ъ верхним, провести указанную конструкцию, то мы вновь получим сумму вида (4), в которой на сей раз будет Ьхь > О (г = 1,...,п), если а < 6, и Ьхь < О (ь' = 1,...,п) при а > Ь, ибо ььх, = х; — х; ь Таким образом, сумма (4) при а > 6 будет отличаться от интегральной суммы соответствующего разбиения отрезка [6, а] (6 < а) только знаком.
По этим соображениям принимается следующее соглашение: если а>Ь,то ь а Дх) дх:= — Дх) дх. 12. ЛИНЕЙНОСТЬ, АДДИТИВНОСТЬ И МОНОТОННОСТЬ ИНТЕГРАЛА 407 В связи с этим естественно также положить, что а 7'(х) дх:= О. а (6) После этих соглашений с учетом леммы 1 приходим к следующему важному свойству интеграла. ь с а Г Дх)дх+ 7'(х)дх+ ~(х)дх = О.
а ь с (7) < В силу симметрии равенства (7) относительно а, Ь, с, мы без ограничения общности можем считать, что а = ппп(а, Ь, с). Если шах(а, Ь, с) = с и а < Ь < с, то по лемме 1 ь с с 7" (х) дх + 7" (х) дх — 7'(х) дх = О, а ь а что с учетом соглашения (5) дает равенство (7). Если шах(а, Ь, с) = Ь и а < с < 6, то по лемме 1 с ь ь ,7'(х) дх + 7' (х) дх — 7" (х) Ых = О, что с учетом (5) вновь дает (7). Наконец, если какие-то две из точек а, Ь, с или все три совпадают, то (7) следует из соглашений (5) и (6). > Определение 1. Пусть каждой упорядоченной паре (а,11) точек о, 13 отрезка [а, Ц поставлено в соответствие число 1(а, ~3), причем так, что для любой тройки точек о, 11, 7 Е [а, 6) выполнено равенство Теорема 2.
Пусть а, Ь,с е К и пусть 2"' — функциц интегрируемая на наибольшем из отрезков с концами в указанных точках. Тогда сужение 7" на каждый из двух других отрезков также интегрируемо на соответствующем отрезке и имеет место равенство 408 ГЛ. Ч1. ИНТЕГРАЛ Тогда функция 1(а,11) называется аддитиеной 4ункцией ориентированного промежутка, определенной на промежутках, лежащих в отрезке [а, Ь]. ь Если 1 Е Я.[А,В] и а,Ь,с Е [А,В], то, полагая 1(а, 6) = ] 1(х) дх, из (7) заключаем, что с ь с ,1'(х) Йх = 1'(х) Йх+ 1(х) дх, а а е (3) т.е.
интеграл есть аддитивная функция промежутка интегрирования. Ориентированность промежутка состоит в данном случае в том, что мы упорядочиваем пару концов отрезка интегрирования, указывая, какой из них первый (являющийся нижним пределом интегрирования) и какой второй (являющийся верхним пределом интегрирования). 3. Оценка интеграла, монотонность интеграла, теоремы о среднем а. Одна общая оценка интеграла.
Начнем с одной общей оценки интеграла, которая, как потом выяснится, справедлива не только для интегралов от действительнозначных функций. Теорема 3. Если а < 6 и1 Е н.[а, Ь], то [1[ Е Я[а, Ь] и справедливо неравенство < Ш(х) д 1(х) дх Если ири этом [1'](х) < С на [а, Ь], то [1 [(х) ах < С(6 — а). а (10) < При а = Ъ утверждение тривиально, поэтому будем считать, что а < Ь. Для доказательства теоремы достаточно вспомнить теперь, что [7'[ Е Я[а, 6] (см. утверждение 4 из 81), и написать следующую оцен- ГЛ. Ч1. ИНТЕГРАЛ 410 ~ Соотношение (12) получается, если проинтегрировать каждый член неравенств т < Дх) < М и воспользоваться теоремой 4.
~ Следствие 2. Если | Е 1с[а,Ь), т = ш1 1(х), М = япр 1(х), хЕ (а,Ь! хЕ (а,Ь) то найдется число и с [т, М] такое, что ь | Дх) дх = )ь (Ь вЂ” а). а (13) м Если а = Ь, то утверждение тривиально. Если а ~ Ь, то положим ь ,и = Ь-~-- | |(х) дх. Тогда из (12) следует, что т < 1ь < М, если а < Ь. Но а обе части (13) меняют знак при перестановке местами а и Ь, поэтому (13) справедливо и при Ь < а. ~ Следствие 3.
Если | с С[а,Ь], то найдется точка с Е [а,Ь] такая, что ь Г Дх) дх = ДС)(Ь вЂ” а). (14) а < По теореме о промежуточном значении для непрерывной функции, на отрезке [а, Ь] найдется точка с, в которой |(с) = р, если только т = ппп Дх) < р < шах ] (х) = М. хЕ(а,Ь) хЕ(а,ь) Таким образом, (14) следует из (13). ~ Теорема 5 (первая теорема о среднем для интеграла). Пусть 1,д Е е Я[а,Ь], т = ш1' |'(х), М = япр Дх). Если функция д неотрица- хЕ(а,ь) хЕ(а,ь) тельна (или неположительна) на отрезке [а, Ь], то Ь Ь (| д)(х)дх = и д(х)дх, (15) где,и Е [т, М).
Равенство (14) часто называют первой теоремой о среднем для интеграла. Мы же зарезервируем это название для следующего, несколько более общего утверждения. 12. ЛИНЕЙНОСТЬ, АДДИТИВНОСТЬ И МОНОТОННОСТЬ ИНТЕГРАЛА 411 Ь Ь (1 . д)(х) дх = 1(С) д(х) дх. (15) м Поскольку перестановка пределов интегрирования приводит к изменению знака одновременно в обеих частях равенства (15), то достаточно проверить это равенство в случае а < Ь.
Изменение знака функции д(х) тоже одновременно меняет знак обеих частей равенства (15), поэтому можно без ограничения общности доказательства считать, что д(х) > О на [а, Ь]. Поскольку т = 1п1 7"(х) и М = епр 1'(х), то при д(х) > О хе (а,ь! хе (а,ь) тд(х) < 1(х)д(х) < Мд(х). Поскольку т д е Я.[а,Ь], 1 д е ')с[а,Ь] и М д е %[а,Ь], то, применяя теорему 4 и теорему 1,получаем ь ь ь т д(х) дх < 1'(х)д(х) дх < М д(х) дх. (17) ь Если ] д(х) дх = О, то, как видно из этих неравенств, соотноше- а ние (15) выполнено.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
