1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Некоторые примеры. Рассмотрим теперь некоторые примеры использования полученных формул и доказанных в последних двух параграфах теорем о свойствах интеграла. Пример 1. гг гг2 гг/2 1 Г Л вЂ” х2 дх -1 1 — зш 2соз2й = соз2(с(1 = — т!2 — гггг2 гг/2 1 Г гг/2 — / (1+ сов 22) гй = — ~2+ — з1п22~ 2,/ — ггг2 где гх -+ О при Л(Р,) -+ О. Как уже отмечалось, если Л(Р1) -+ О, то и Л(РД -+ О. Но 1 Е Я,[п, Ь], поэтому при Л(Р ) — + О сумма в левой части 1гО)) последнего равенства стремится к интегралу ] 1(х) г(х.
Значит, при д(а) Л(Р,) -1 О и сумма в правой части этого равенства имеет и притом тот же предел. Но сумму 2,' ~(72(т1))юг(т1)Ы; можно считать совершенно произг=1 вольной интегральной суммой функции 1'((а(1))(гг'(1), соответствующей разбиению Р1 с отмеченными точками т = (т1,..., т„), поскольку, ввиду строгой монотонности гр,любой набор точек т можно получить из некоторого соответствующего ему набора ( = (С1,..., С„) точек, отмеченных в отрезках разбиения Р = гр(Р1). Таким образом, предел этой суммы есть, по определению, интеграл от функции 1(~р(1))грг(1) по отрезку [сг,)3], и мы доказали одновременно как интегрируемость функции 1'((о(2))22'(2) на отрезке [сг, )3], так и формулу (9). 1» ГЛ. гг1, ИНТЕГРАЛ 428 Для вычисления интеграла мы сделали замену переменной х = яп1, а затем, наидя перв о ообразную получившейся после этой замены подынтегральной функции, воспользовались формулой Ньютона — Лейбница.
Конечно, можно было бы поступить и иначе: найти довольно громоздкую первоо разную -х б — Л вЂ” х2+ 1 агсвш х функции ~/1 — х2 и затем воспользоваться формулой Ньютона — Лейбница. Пример показывает, что при вычислении опр о ределенного интеграла, к счастью, иногда удается избежать отыскания первообразной подынтегральной функции. Пример 2. Покажем, что с) ) соввпхггх = я Ь) )' 81пвтхгг'х = гг, а) 1 яптхсовпхдх = О, при т,п Е И. 1 Г а) / вштхсовпхг1х = — / <вш<п+т)х — яп<п — т)х) дх = 2./ 1 1 сов<п+ т)х+ сов(п — т)х — =О 2 и+т и — т 7 Г 77 Ь) яп тхг1х = 1 <1 — сов 2тх) г1х = — ~х — — вгп2тх) = гг. 7Г я с) сов~пхдх = — г <1+ сов2пх)г1х = — <х+ — яп2пх) = гг.
2 Пример 3. Пусть Г Е гс1 — а, а). Покажем, что а 2 ) Г(х) дх, если à — четная функция, о О если à — нечетная функция. 7 а Г<х) сЬ = — а Если Г< — х) = Г<х), то а 0 а о Г<х) дх = Г<х) г1х+ Г<х) г1х =,Г< — 1)( — 1)сИ+ Г<х) дх = а о — я — а о гда п — т = О можно рассмотреть отдельно, если и — т ~ О. Случай, когда п— и в этом случае, очевидно, вновь приходим к тому же результату.
429 ~з. . ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ а ,|( — ~) ж+ ~ ~(х) пх = | Щ-х) + Лх)) = / — + х Их=2 |(х)дх. ΠΠ— — ( ) то как видно из тех же выкладок, получим Если же | ( — х) = — ~(х), то, как вид а а а Г |(х)Нх = (Д вЂ” х)+~(х)) йх = Ойх = О. о о — а ть — определенная на вс ей числовой прямой К периодическая фун нкция с периодом Т, т.е. т х + каж ом конечном отрезке функция, то Если | — интегрируемая на каждом конечном отр при любом о Е К имеет место равенство а-~-Т т ~(х) дх = |(х) пх, а о " ф ции по отрезку длины р пе иода Т т.е. интеграл от пер д ио ическои ункци т езка интегрирования на чиависит от положения отрезка инте этой функции не зави еловой прямой: т а-~-Т а+Т о Г Дх) сЬ = Дх) Ых+ ~(х) йх+ У(х) Их = а о т а а т о ~(х) й+ ~(х) ах+ ~(с+ Т) 1й = о а о а Т т о ,|(х)дх+ Дх)сйх+ й2)й = ~(х)сЬ, о о о а = 1 + Т и воспользовались пер д ио ичностью Мы сделали замену х = функции ~(х) 2 ь интег ал ) япх дх, на Пример 5.
усть н П нам нужно вычислить инт р о пример, с точностью до о1О 2 ГЛ. К1. ИНТЕГРАЛ 430 Мы знаем, что первообразная 1 31пхгс!х <интеграл Френеля) не выражается в элементарных функциях, поэтому использовать формулу Ньютона-Лейбница здесь в традиционном смысле нельзя. Поступим иначе. Исследуя в дифференциальном исчислении формулу Тейлора, мы в качестве примера <см. гл. У, 33, пример 11) нашли, что на отрезке [ — 1, 1) с точностью до 10 3 имеет место равенство 3 1 5 зшх - х — — х + — х =: Р<х). 3! 5! Но если ) ьйпх — Р<х) ~ < 10 3 на отрезке < — 1, 1], то верно также, что ~ошх~ — Р <х ) ! < 10 3 при 0 < х < 1.
Следовательно, 1 1 | .! ~ а* — | г (*'( а* о о 1 Таким образом, для вычисления интеграла ) ош хгах с нужной точа 1 постыл достаточно вычислить интеграл ) Р<хз) с(х. Но о 1 1 о о 3 1 7 1 11 1 -3 -х — х + — х ) = — — — + — =0310х10 3 3!7 5!11 ) о 3 3)7 5!11 поэтому Г о! 'дх = 0,310+ г 1о-' = о,з1+ 10-'.
о ь Пример 6. Величина 1( = — 1 1<х)ах называется интеграль- 1 а ным средним значений функции на отрезке <а,б). Пусть 1 — определенная на К и интегрируемая на любом отрезке функция. 33. ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ 431 Построим по Г новую функцию 1 Г ~б(х) = — / У(б)ПГ, 2б ./ х — б 1 ~ Рб(х+ А) — ~ю(хН =— 2Б Г(б) сЫ+ Г(б) дб хаб < — (С~А!+ С~А|) = — |Ь!, 1 С если ) Г(б)~ < С, например, в 2д-окрестности точки х и (Гб~ < Б.
Из этой оценки, очевидно, следует непрерывность функции гб(х). Если же Г е С(К), то по правилу дифференцирования сложной функции — б,Г(б) дб = — б,Г(~) И . д Г д дх/ а а поэтому из записи х-~-б 1 Г гб(х) / У(г) ог 2б „/ — =,Г(~р(х))у (х), х — б — Я)й получаем,что Г(х + д) — Г(х — д) Функцию гб(х) после замены б = х+ и переменной интегрирования можно записать в виде 1 гб(х) = — ~ У(х+ и)ди. 2б „/ значение которой в точке х есть интегральное среднее значений Г в Б-окрестности точки х. Покажем, что функция гб(х) (называемая усреднением Г) более регулярна по сравнению с Г.
Точнее, если Г интегрируема на любом отрезке [а, б], то гб(х) непрерывна на 2, а если Г Е С(К), то Хб(х) Е СО)(К). Проверим сначала непрерывность функции гб(х): ГЛ. У1. ИНТЕГРАЛ 432 Если у' 6 С(К), то, применяя первую теорему о среднем, находим, что 1 Рб(х) = — ~(х+ т) 2б = ~(х+ т), где ]т] < д. Отсюда следует, что 1пп гб(х) = У(х), б-++е что вполне естественно. Задачи и упражнения 1. Используя интеграл, найдите Ъ) 1пп ~ + 2 + "'+", если а > О. гг-+сю в-~-1 2. а) Покажите, что любая непрерывная на интервале функция имеет на нем первообразную. Ь) Покажите, что если у 6 СО1[а, Ь], то у может быть представлена как разность двух неубывающих на отрезке [а, 6] функций (см.
задачу 4 из 2 1). 3. Покажите, что в предположении гладкости функции д вторая теорема о среднем (теорема 6 из 2 2) интегрированием по частям непосредственно сводится к первой теореме о среднем. 4. Покажите, что если у 6 С(И), то для любого фиксированного отрезка [а,б] по заданному е > О можно так подобрать б > О, что на [а,б] будет выполнено неравенство ]гб(х) — Дх)] < е, где гб — осреднение функции, рассмотренное в примере 6. 5. Покажите, что е' 1,г — Ф вЂ” е* при х -г +ос. хг 1 г-~-1 6.
а) Проверьте, что функция Дх) = ] яш 1~ й при х -+ оо имеет следующее представление: соя хг соя(х+ 1)г г' 1 1 2х 2(х+ 1) 1 хг/ Ь) Найдите 1гпг хДх) и 1пп ху(х). г-Фог г -Ф го 433 33. ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ 7. Покажите, что если у: К -+ К вЂ” периодическая, интегрируемая на каждом отрезке [а, Ь] С К функция, то функция Р(х) = У(1) дс а может быть представлена в виде суммы линейной и периодической функций. 8.
а) Проверьте, что при х > 1 и п е И функция н 2 н Р„(х) = — ~ (х+ ~/хэ — 1совд) йр о есть полинам степени ц (ньй воланом Лежандра). Ь) Покажите, что 1 ~ д16 Р„(х) = — / и / [х — ~/хэ — 1 сов ф) е 9. Пусть у — вещественнозначная функция, определенная на отрезке [а, Ь] С С К, а ~ы..., („, — различные точки этого отрезка. Значения интериоллционного нолинома Лаеранжа степени т — 1 совпадают в точках Сы..., С,н (узлах интерполяции) со значениями функции у, причем если у В С< ~[а, Ь], то ~(х) — Т,н 1(х) = †.~ (ь(х))ым(х), где ы (х) = ]1(х — С;), а ~(х) В ]а, 6[ (см. задачу 11 в 3 3 гл. У).
а=1 Пусть С; = "+ +:~до тогда 0; е [-1,1], г = 1,...,т. а) Покажите, что ь ~а 6 — а Т „, в (х) Лх = — ~ с; Д(; ), аы а где ГЛ. У1. ИНТЕГРАЛ 434 В частности, ь /а+ Ь'ь аь) мо(х) в1х = (Ь вЂ” а)У [ — ), если т = 1, дь — — 0; вв ь аз) / л 1(х) с(х = — [У(а) + Г(Ь)), если т = 2 Вд = — 1 оз = 1; Ь вЂ” а 2 а ь в 1 в о)в* = [ув ) вву [ ) в у(вв), = в, в Ь вЂ” а Г /а+ Ь'1 б а В =0,0 Ь) Считая что Г б Св"'в[а,Ь) и полагая М,„= гпах [Гв~>(х)[, оцените ле(а,ь) величину А абсолютной погрешности в формуле ь ь = ™- Дх) в1х = / 1 ь (х) в1х + В а а в (~2) ( з)з 11 1 ("3) (Ь з)з 12 ' 2880 П У Ы1)(Ь )2 4 где 6,сз,сз й [а,Ь), а функция Г принадлежит соответствующему классу СОО [а, Ь). в1) Пусть Г есть полинам Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
