1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Пример 10. Тело массы т совершает подъем над поверхностью Земли по траектории 1 ь (х(1),у(1),3(1)), где 1 — время, а < 1 < 6, а х, у, 3 — декартовы координаты точки в пространстве. Необходимо вычислить работу тела против силы тяжести на промежутке времени [а, 6]. Работа А(о, Д) есть аддитивная функция промежутка [а,Д] с [а,6]. Постоянная сила я" при действии на тело, движущееся с постоянной скоростью и, за время Ь совершает работу (л, вЬ) = (Х, п)Ь, поэтому представляется естественной оценка ш1 (л'(р(1)), и(1))(~8 — а) < А(а,13) < впр (л (р(1)), п(1))(13 — о), ье~аД ш[а,д] где в(ь) — скорость тела в момент Х, р(1) — точка пространства, в которой находится тело в момент 1, а я'(р(1)) — сила, которая в точке р = р(1) действует на тело. Если функция (л'(р(1)), п(1)) окажется интегрируемой, то в силу утверждения 1 мы должны считать, что ь А(а,6) = (л (р(1)), п(1)) ог.
а В нашем случае п(1) = (х(1), у(1), й(1)), и если г(1) = (х(1), у(1), г(1)), то по закону всемирного тяготения находим тМ СтМ ~(Р) — (~,Р ) — ~ — 3 3/2 ( [г[з ( .2 + „2 + 2)з/3 ГЛ. У1. ИНТЕГРАЛ 454 где М вЂ” масса Земли, а ее центр предполагается совпадающим с началом системы координат. Тогда М ( )й( ) + Р( )~( ) + ( )й( ) ( .2(1) + „2(2) + 2(1))з/2 поэтому (я, е)(2) й = -СтМ! 11т = (яг(1) + д'(1) + я'(1)) 2 ! (.2(1)+„2(2)+ г(1))з/2 а а Сто М СтМ (хг(1) + Рг(1) + 22(1))1/2 ~г(1) ~ Итак, СтМ СтпМ !г(Ь)/ /т'(а)/ Мы обнаружили, что искомая работа зависит только от величин )г(а) (, (г(Ь)! удаления тела т от центра Земли в начальный и конечный моменты времени рассматриваемого промежутка (а, Ь). Полагая СМ П(г) = —, т получаем, что работа против силы тяжести по перемещению тела массы тп из любой точки сферы радиуса го в любую точку сферы радиуса г1 вычисляется по формуле А„„= танго) — У(т1)).
Функция ь1(г) называется потенциалом Ньютона. Если через В обозначить радиус Земли, то, поскольку — = д, функцию Щг) можно СМ переписать в виде Нг 0(г) = —. т Учитывая это, можно получить следующее выражение для работы, необходимой для выхода из поля тяготения Земли, точнее, для увода массы тп с поверхности Земли на бесконечное расстояние от центра Земли. Под этой величиной естественно понимать предел 1пп Ая„.
т — ~.ь00 5 4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 455 Итак, работа выхода: / др2 дН2 А = А15~ = 1пп Ао„= 1пп т ~ — — — ) = тдВ. 1-~-Ьоэ т — ~-~сю ~ 24 Задачи и упражнении 1. На рисунке 51 изображен график зависимости Г = г'(х) силы, действующей вдоль оси абсцисс на пробную частицу, находящуюся в точке х этой оси.
а) Нарисуйте в той же системе координат эскиз потенциала этой силы. Ь) Изобразите потенциал силы — Р'(х). с) Исследуйте, в каком из разобранных Р случаев положение хо является устойчивым положением равновесия и с каким свойством потенциала это связано. 2. На основе результата примера 10 вычислите скорость, которую должно иметь тело, чтобы оно вышло из поля тяготения Земли (вторая космическая скорость для Земли). 3.
На основе примера 9 а) выведите уравнение Вх = д в!и у колебаний математического маятника; Рис. 51. Ь) считая колебания малыми, получите его приближенное решение; с) определите по приближенному решению период колебаний маятника и сравните результат с формулой (20). 4. По горизонтальной плоскости равномерно со скоростью о катится без проскальзывания колесо радиуса г. Пусть в момент 1 = 0 верхняя точка А колеса имеет координаты (О, 2г) в системе декартовых координат, ось абсцисс которой лежит в укаэанной плоскости и направлена по вектору скорости. а) Запишите закон движения 1 ~-~ (х(1), д(1)) точки А.
Ь) Найдите скорость точки А как функцию времени. с) Изобразите графически траекторию точки А (зта кривая называется виклоидоа) . д) Найдите длину одной арки циклоиды (длину одного периода этой периодической кривой). е) Циклоида обладает рядом интересных свойств, одно иэ которых, открытое Гюйгенсом'>, состоит в том, что период колебаний циклоидального маятника (шарика, катающегося в циклоидальной ямке) не зависит от высоты его подъема над нижней точкой ямки. Попробуйте доказать зто, опираясь ПХ.Гюйгенс (1629 — 1695) — нидерландский механик, физик, математик и астроном.
ГЛ. Ч1 ИНТЕГРАЛ 456 на пример 9. (См. также задачу 6 следующего параграфа, посвященного несобственным интегралам.) 5. а) Исходя из рис. 52, объясните, почему если у = 7"(х) и х = д(у)— взаимно обратные непрерывные неотрицательные функции, равные нулю при х = 0 и у = 0 соответственно, то должно быть выполнено неравенство ху < ~ У(1) д1 + ~ д(1) д1. о о Ь) Получите из а) неравенства Юнга 1 1 ху < -хе + -уе р д прих,у>0, рд>0, 1+1=1. 5 с) Какой геометрический смысл имеет знак равенства в неравенствах задач а) и Ь)? 6.
Задача Бюф4ана'1. Число я можно вычислять сле- дующим весьма неожиданным способом. у Берем большой лист бумаги, разлинованный параллельными прямыми с шагом Ь, и бросаем на него, никак специально не целясь, иголку длины 1 < 5. Пусть мы бросили иголку Х раз и пусть п раз из них иголка после падения пересекала какую-нибудь из прямых линий на листе.
Если число Х достаточно велико то я а — где 21 ра 1 О р = ~Б можно трактовать как приближенное значение ве- роятности того, что при бросании иголка пересечет одну Рис. 52. из линий. Исходя из геометрических соображений, связанных с вычислением площадей, попробуйте дать удовлетворительное объяснение этому методу вычисления я. О б. Несобственный интеграл В предыдущем параграфе мы уже столкнулись с необходимостью несколько расширить понятие интеграла Римана.
Там же на разборе конкретной задачи мы составили себе представление о том, в каком направлении и как это следует сделать. Настоящий параграф посвящен реализации этих представлений. ОЖ. Л. Л. Бюффон (1707 — 1788) — французский естествоиспытатель. 15. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 457 1. Определения, примеры и основные свойства несобственных интегралов Определение 1. Пусть функция х ~+ 1(х) определена на промежутке [а, +ос[ и интегрируема на любом отрезке [а, б), содержащемся в этом промежутке.
Величина ~(х) йх:= 1пп ~ ~(х) дх, 6 — ~-ьоо У а а если указанный предел существует, называется несобственным интегралом Римана или просто несобстеенным интеералом от функции ~ по промежутку [а, +со[. Сам символ ) Дх) дх также называют несобственным интегралом а и тогда говорят, что несобственный интеграл сходится, если укаэанный предел существует, и расходится в противном случае. Таким образом, вопрос о сходимости несобственного интеграла равносилен вопросу о том, определен ли вообще этот несобственный интеграл или нет.
Пример 1. Исследуем, при каких значениях параметра о сходится или, что то же самое, определен несобственный интеграл 1й 1 Поскольку ь ь Г 1 — — х ~ при аф1, 1 х~ ь 1п х[, то предел /ах 1 11 1 существует только при о > 1. Итак, Г дх 1 — если о>1, ха и 1 ГЛ. Ч1. ИНТЕГРАЛ 458 а при других значениях параметра а интеграл (1) расходится, т.е.
не определен. Определение 2. Пусть функция х «-+ Дх) определена на промежутке [а, В[ и интегрируема на любом отрезке [а,6] с [а, В[. Величина в ь Дх) сХх:= 1пп |(х) еКх, ь — «в — о 1 если указанный предел существует, называется несобственным инте- гралом от функции 1 по промежутку [а, В[. Ф о (2) Поскольку при а Е ]О, 1] 1 1 | х1 '*~ ,1х 1 — — -х ~а х~ 1 а 1п х]а если а ф.
1, если с« = 1, то предел /' дх 1пп а«-«о / х'* 1 а существует только при с«( 1. Суть этого определения состоит в том, что в любой окрестности конечной точки В функция | может оказаться неограниченной. Аналогично, если функция х «-«1(х) определена на промежутке ]А, 6] и интегрируема на любом отрезке [а,6] с ]А,6], то по определению полагают ь ~« ~ ~ ~ ~ ~ 6 |(х) «1х:= 1пп / Дх) е1х а — «А+0.1 А а и также по определению полагают Ь Ь Г Дх) дх:= 1пп Дх) дх.
— аа а Пример 2. Исследуем, при каких значениях параметра о сходится интеграл 1 1 5. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 459 Итак, интеграл (2) определен только при а < 1. Пример 3. о Г У(х) дх:= 1пп ~(х) дх, ь-+~и д (3) если указанный предел при 6 — + ы, 6 Н [а, ш[, существует. В дальнейшем, если не оговорено противное, рассматривая несобственный интеграл (3), мы будем предполагать, что подынтегральная функция удовлетворяет условиям определения 3.
Кроме того, для определенности мы будем пока считать, что не- собственность интеграла связана только с верхним пределом интегрирования. Рассмотрение случая, когда особенность интеграла связана с нижним пределом, проводится дословно так же. Из определения 3, свойств интеграла и свойств предела можно сделать следующее заключение о свойствах несобственного интеграла. отверждение 1. Пусть х ~-ь |(х) и х + у(х) — функиии, определенные на промежутке [а,ы[ и интегрируемые на любом отрезке [а,6) С [а,ы[.
Пусть длл них определены несобственные интегралы Г Дх) дх, а д(х) дх. а (5) Поскольку вопрос о сходимости несобственного интеграла решается одинаково как для несобственного интеграла по неограниченному промежутку, так и для несобственного интеграла от функции, неограниченной около одного из концов промежутка интегрирования, то в дальнейшем мы будем рассматривать оба эти случая вместе, введя следующее основное Определение 3. Пусть [а,ш[ — конечный или бесконечный промежуток, а х ~-ь Дх) — функция, определенная на нем и интегрируемая на каждом отрезке [а, 6] С [а, ы[.
Тогда по определению ь 460 ГЛ. ЧЕ ИНТЕГРАЛ Тогда а если щ Е ЬС и ( Е и',[а,ы], то значенил интегр а,, ала (4), понимаеа) еслищ6 и б генном смысле, совпадают; в несобственном, так и в со ст нк ил (Л1| + Лгд)(х) интегрируема в Ь) при любых Л1,Лг е 2 функцил 1 + гд и сп аведливо равенство несобственном смысле на [а,ш[ и р ы Ю Г (Л1у + Лгд)(х) йх = Л1 Дх) дх + Лг д(х) ~; а а а с) если с Е [а, щ[, то ы с |(х) е(х = ~(х) Йх+ ~(х)дх; с а а о [ -+ [а,ш[ — гладкое, строго монотонное отображе(( о )(1)~р'(1) на [а, у[ существует и ныл интеграл от функции 1 + (~~ о у у справедливо равенство Ю 7 | ]'(х) дх = (У о р)(4)р'Р) а.
а а м а) Следует из непрерывности функции ь У'(6) = |'(х) дх а на отрезке [а,ы], на котором у Е Я.[а,ш]. Ь) Следует из того, что при б е [а, щ[ ь ь ь Г (Л1| + Лгд)(х) сКх = Л1 У(х) сйх+ Лг д(х) йх. а й а с) Следует из равенства ь с ь ~(х) йх = у(х) дх+ Дх) дх, а а с справедливого при любых б, с Е [а, ю[. 1 б. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 461 о) Следует из формулы в=у1Р) д У(х) дх = У. ри1)у'[1) а а=<р(а) замены переменной в определенном интеграле. > Замечание 1.
К свойствам несобственного интеграла, выраженным в утверждении 1, следует еще добавить весьма полезное правило интегрирования по частям в несобственном интеграле, которое мы приведем в следующей формулировке: Если /,д й С11)[а,ы[ и суи)ествует предел 1пп (/ ° д)(х), то хЕ~а,м~ функции / д' и ~' д одновременно интегрируемы или не интегрируемы в несобственном смысле на [а,ы[ и в случае интегрируемости справедливо равенство где (/ д)(х)[ = 1пп (/ д)(х) — (/ д)(а).
же)а,ю[ ~ Это следует из формулы интегрирования по частям в собственном интеграле. ~ Замечание 2. Из пункта с) утверждения 1 видно, что несобственные интегралы Дх) дх, Дх) дх сходятся или расходятся одновременно. Таким образом, в несобственных интегралах, как и в рядах, сходимость не зависит от начального куска ряда или интеграла. 462 ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
