1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 80
Текст из файла (страница 80)
В том случае, когда подынтегрольная функция не ограничена в окрестности одной из внутренних точек ю отрезка интегрирования (а, Ь), полагают ГЛ. 171. ИНТЕГРАЛ 472 1 Пример 18. Интеграл ) — не определен. ~бх -1 Существует и отличное от (13) соглашение о вычислении интеграла от функции, неограниченной в окрестности внутренней точки ш отрезка интегрирования. А именно, полагают ь ю-б ь Ъ'.Р.
Дх)дх:= 1пп 1(х)дх+ 1(х)с(х, (14) а а и-Ьб если стоящий справа предел существует. Этот предел называют, следуя Коши, интегралом в смысле главного значения и, чтобы отличить определения (13) и (14), во втором случае перед знаком интеграла ставят начальные буквы Ч. Р. французских слов ча1еиг рНпс1ра1 (главное значение). В англоязычном варианте используется обозначение Р.У.
(от рНпс1ра1 ла1пе). В соответствии с этим соглашением имеем Пример 19. Ч.Р. — = О. — 1 Принимается также следующее определение: У. Р. 7" (х) йх:= 1пп 7"(х) с1х. (15) Пример 20. Ъ'. Р. х дх = О. Наконец, если на промежутке интегрирования имеется несколько (конечное число) тех или иных особенностей, лежащих внутри промежутка или совпадающих с его концами, то неособыми точками промежуток разбивают на конечное число таких промежутков, в каждом из которых имеется только одна особенность, а интеграл вычисляют как сумму интегралов по отрезкам разбиения. 1 5.
НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 473 Можно проверить, что результат такого расчета не зависит от произвола в выборе разбиения. Пример 21. Точное определение интегрального логарифма теперь можно записать в виде О« 1, о Пх= Ч.Р. )" Г-'-, если 1 < х. о Задачи и упражнения 1. Покажите, что функция а) о1х = ) -7- 441 (интегральный синус) определена на 2, нечетка и имеет о предел при х -+ +со; Ь) о1 х = — ) ~~7~-~ 141 определена на К н отличается от функции з1 х только на постоянную; с) С1 х = — 1 ~~~-~ сН (интегральный косинус) при достаточно больших значениях х может вычисляться по приближенной формуле С1 х ю — ""*; оцените область тех значений, где абсолютная погрешность этого приближения мень- 1О-4 2. Покажите, что +ОО .1-ОО а) интегралы ) 41ь ах, ) ~~~ 14х сходятся только при о > О, причем 1 ХО 1 ХО сходятся абсолютно только при о > 1; Ь) интегралы Френеля г Я(х) = — / я1п1 114 ~Г2 / 1 С(х) = — / сояггас, 1/2 о являются бесконечно дифференцируемыми функциями в промежутке )О, +со~, причем обе они имеют предел при х -+ +со.
3. Покажите, что В последнем случае символ Ч. Р. относится к единственной внутренней для промежутка ]О, х) особенности, расположенной в точке 1. Заметим, что в смысле определения (13) этот интеграл не является сходящимся. 474 ГЛ. Ч1. ИНТЕГРАЛ а) эллиптический интеграл первого рода на а ссг 'о — с) о - сн) о определен при О < й < 1, 0 < сд < э и приводится к виду Е(й,~о) = с(с(с ,/с - с' ь С ' о Ь) полный эллиптический интеграл первого рода сс72 к(й) = дс)с о неограниченно возрастает при й — > 1 — О. 4. Покажите, что а) интегральная показательная функция (интеераяьная экспонента) ос Ес(х) = ) ~~- с1г определена и бесконечно дифференцируема при х < 0; Ь) — Е1( — х) = ' (1 — 1+ эс —...+( — 1)" — "„'+ ( 1„)) р *-++~; с) ряд 2 ( — 1)" — "„' не сходится ни при каком значении х Е К; о=о хо 11) 11х 1а — при х -+ +О.
(Определение интегрального логарифма Бх см. сох в примере 21.) 5. Покажите, что 1 сс а) функция г'1(х) = —,- ( е с с(с, называемая интесраяом оерояснности ~со ошибок и часто обозначаемая символом ег1(х) (от англ. еггог Гппс11оп — функция ошибок), определена, нечетна, бесконечно дифференцируема на К и имеет предел при х -+ +ос; Ь) если упомянутый в а) предел равен единице (а это так), то 2 Г сс 2 ссс1 1 1 3 1 3 5 ег((х) = — / е ' (1 = 1 — — * ~ — — — + — — + о ~ — 7~ /я / /т [,2х 2эхэ 2эхо 24хг 1 хг/ о при х -~ +со. б, Покажите, что: а) Если тяжелая частица под действием силы тяжести скользит вдоль кривой, заданной в параметрическом виде х = х(д), у = у(д), причем в момент о 5.
несОБстВенньРЙ интеГРАл 475 1 = О частица имела нулевую скорость и находилась в точке хо — — х(до), уо = у(до), то между параметром д, определяющим точку на кривой, и моментом 1 прохождения частицей этой точки имеется связь (см. формулу (15) из з4) в Г ( '(д))з + (у (д))з 2д(уо — у(д)) во в которой несобственный интеграл заведомо сходится, если у'(до) ф О (знак выбирается в зависимости от того, имеют ли 1 и д одинаковый или противоположный характер монотонности, причем если росту 1 отвечает рост д, то, разумеется, следует брать знак плюс).
Ь) Период колебания частицы в ямке, имеющей профиль циклоиды х = В(д+ я+ о1пд), !д! < л, у = — В(1+ сов д), не зависит от уровня уо = — В(1+ сов до), с которого она начинает скольжение, и равен 4л1/ЛУд (см. задачу 4 из ~ 4). ГЛАВА ~Л1 с1зУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ИХ ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ До сих пор мы рассматривали почти исключительно числовые функции т + Дх), в которых число Дх) определялось заданием одного числа х из области определения функции. Однако многие величины, представляющие интерес, зависят не от одного, а от очень многих факторов, и если сама величина и каждый из определяющих ее факторов могут быть охарактеризованы некоторым числом, то указанная зависимость сводится к тому, что упорядоченному набору (х',...,х") чисел, каждое из которых описывает состояние соответствующего фактора, ставится в соответствие значение у = Дх",..., х") исследуемой величины, которое она приобретает при этом состоянии определяющих величину факторов.
Например, площадь прямоугольника есть произведение длин его сторон; объем данного количества газа вычисляется по формуле где  — постоянная, т — масса, Т вЂ” абсолютная температура и р— давление газа. Таким образом, значение ~' зависит от переменной упорядоченной тройки чисел (т, Т,р) или, как говорят, $' есть функция трех переменных т, Т и р.
Мы ставим себе целью научиться исследовать функции многих переменных так же, как мы научились исследовать функции одного переменного. 1К пРОстРАнстВО к~ и клАссы еГО пОдмнОжестВ 477 Как и в случае функций одного переменного, изучение функций многих числовых переменных начинается с описания их области определения.
З 1. Пространство )й'" и важнейшие классы его подмножеств 1. Множество К"' и расстояние в нем. Условимся через Р" обозначать множество всех упорядоченных наборов (х1,..., х™), состоящих из т действительных чисел х* Е К (1 = 1,...,т). Каждый такой набор будем обозначать одной буквой х = (х",..., х ) и в соответствии с удобной геометрической терминологией называть точкой множества К . Число х' в наборе (х1,..., х™) называют 1-й координатой точки х = (х1,..., хт). Геометрические аналогии можно продолжить и ввести на множестве К™ расстояние между точками х1 = (х~м..., х1 ), хг = (хг,..., х™г) по формуле д(х1, хг) = ~ (х1 — хг) з=1 Функция д: Р. ХК -+Я, определяемая формулой (1), очевидно, обладает следующими свойства- ми: а) й(х1,хг) > 0; Ь) (,4х1, хг) = 0) «ь (х1 = хг); с) й(х1,хг) = й(хг,х1); д) д(х„хз) ( 4хмхг) + Й(хг,хз).
Последнее неравенство (называемое опять-таки по геометрической аналогии неравенством треугольника) есть частный случай неравенства Минковского (см. гл. У, з 4, п. 2). Функцию, определенную на парах (хм хг) точек некоторого множества Х и обладающую свойствами а), Ь), с), д), называют метрикой или расстоянием в Х. Множество Х вместе с фиксированной в нем метрикой называют метрическим пространством. Гл. уп. а>ункции мнОГих пеРеменных 478 ~х1 х2~ ~ <»>,х1 х2) ~ <>Iт шах ~х1 х2~ 1<><>о (2) т.е.
расстояние между точками х1,х2 Е К мало в том и только в том случае, когда мало отличаются соответствующие координаты этих точек. Из (2),как и из (1), видно,что при т = 1 множество 111 совпадает с множеством действительных чисел, расстояние между точками которого измеряется стандартным образом посредством модуля разности чисел. 2. Открытые и замкнутые множества в Р" Определение 1.
При б > 0 множество В(а; б) = 1х Е И™ / а(а, х) < б) называется шаром с центром а Е 2 радиуса б или также б-окрестностью точки а Е К™. Определение 2. Множество С СЗ. называется открытым в К™, если для любой точки х Е С найдется шар В(х; б) такой, что В(х; б) С С. Пример 1. К вЂ” открытое множество в И™. Пример 2. Пустое множество ю вообще не содержит точек и потому может считаться удовлетворяющим определению 2, т.е.
>о — открытое множество в К"'. Таким образом, мы превратили К™ в метрическое пространство, наделив множество К™ метрикой, заданной соотношением (1). Сведения о произвольных метрических пространствах читатель сможет получить в главе 1Х (часть П). Здесь же мы не хотим отвлекаться от необходимого нам сейчас конкретного метрического пространства К Поскольку в этой главе множество Р с метрикой (1) будет для нас единственным метрическим пространством, составляющим объект изучения, то общее определение метрического пространства нам по существу пока не нужно. Оно приведено только для пояснения употребляемого по отношению к множеству И"' термина >пространство> и по отношению к функции (1) термина >метрика>. Из соотношения 11) следует, что при 1 Е 11,..., т) 11.
ПРОСТРАНСТВО К~ И КЛАССЫ ЕГО ПОДМНОЖЕСТВ 479 Пример 3. Шар В(а;г) — открытое множество в К™. Действительно, если х Е В(а;г), т.е. й(а,х) < г, то при О < б < < г — й1а,х) будет В(х;б) С В(а;г), поскольку (~ Е В(х; б)) ~ (й(х, () < б) =~ =~ (й1а,() < й1а,х) + й(х,С) < й(а,х) + г — й(а,х) = г). Пример 4. Множество С = 1',х Е К ~ й(а,х) > г), т.е. совокупность точек, удаленных от фиксированной точки а Е К™ на расстояние, большее чем г, является открытым, что, как и в примере 3, легко проверить, используя неравенство треугольника для метрики. Определение 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
