1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Замечание. Необходимо отметить, что формула (9) дает площадь криволинейной трапеции при условии, что 1(х) ) О на [а, Ь]. Если же 1 — произвольная интегрируемая функция, то интеграл (9), очевидно даст алгебраическую сумму площадей соответствующих криволинейных трапеций, лежащих над и под осью абсцисс. Причем площади трапеций, лежащих над осью абсцисс, будут суммироваться со знаком плюс, а площади трапеций, лежащих под осью, — со знаком минус. 4. Объем тела вразцения. Пусть теперь изображенная на рис.
48 криволинейная трапеция вращается вокруг отрезка [а, Ь]. Определим объем получающегося при этом тела. Обозначим через $'(о, 13) объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции аДа)Д~3)13 (см. рис. 48), отвечающей отрезку [о,Д С [а,Ь]. ГЛ. Ч1. ИНТЕГРАЛ 448 По нашим представлениям об объеме, должны быть справедливы следующие соотношения: если а < а < 13 < .г < Ь, то ~2 / я~ 1п1 Г"(х)) (1У вЂ” а) < 1'(а,,З) < я~ впр ('(х)) ф — а). хе(а,гг] хе[о,гг) В последнем соотношении мы оценили объем Ца, 1У) через объемы вписанного и описанного цилиндров и воспользовались формулой объема цилиндра (которую нетрудно получить, если уже найдена площадь круга).
Тогда в силу утверждения 1 ь 1г(а,6) = я г~(х) г1х. а (10) 'Пример 6. Вращением вокруг оси абсцисс полукруга, ограниченного отрезком [ — В,Ц этой оси и дугой окружности у = ~/Л2 — х2, — В < х < В, можно получить трехмерный шар радиуса Л, объем которого легко вычислить по формуле (10): (д2 2) ( ВЗ 3 -Я Подробнее об измерении длин, площадей и объемов будет сказано в части П курса. Тогда же мы решим и вопрос об инвариантности данных определений. 5. Работа и энергия.
Энергетические затраты, связанные с перемещением тела под действием постоянной силы в направлении действия силы, измеряют произведением г Я величины силы на величину перемещения. Эта величина называется работой силы на данном перемещении. В общем случае направление данной силы и перемещение могут быть неколлинеарны (например, везем за веревочку санки), и тогда работа определяется как скалярное произведение (У, Я) вектора силы и вектора перемещения. Рассмотрим некоторые примеры вычисления работы и использования связанного с ней понятия энергии. 14. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 449 Пример 7. Работа, которую нужно совершить против силы тяжести, чтобы поднять вертикально вверх тело массы т с уровня 61 над поверхностью Земли на уровень 69, в силу данного определения равна тд(йз — 61).
Предполагается, что вся операция происходит у поверхности Земли, когда изменением силы тяжести тд можно пренебречь. Общий случай разобран в примере 10. Пример 8. Пусть имеется идеально упругая пружина, один конец которой закреплен в точке 0 числовой оси, а другой находится в точке х. Известно, что сила, с которой при этом приходится удерживать этот конец пружины, равна Йх, где Й вЂ” коэффициент жесткости пружины. Вычислим работу, которую надо совершить, чтобы переместить подвижный конец пружины из положения х = а в положение х = Ь. Считая работу А(а,]3) аддитивной функцией промежутка [о,~д] и принимая, что верны оценки ]п1 [ях)[]э — а) < А(о,]3) < япр (кх)[]э — о), хе[ад] хе[а,д] получаем в силу утверждения 1, что ь ь Йх~ А(о,Ь) = ]схйх =— 2 а Это работа против силы.
Работа же самой силы пружины на том же перемещении отличается только знаком. 2 Функция У(х) = —, которую мы нашли, позволяет вычислять работу, которую мы совершаем, меняя состояние пружины, а значит, и ту работу, которую пружина может совершить при возвращении в исходное состояние. Такая функция У(х), зависящая только от конфигурации системы, называется потенциальной энергией системы. Из построения видно, что производная от нее дает силу пружины с обратным знаком. Если точка массы т движется вдоль оси под действием указанной упругой силы, то ее координата х[г) как функция времени удовлетворяет уравнению Мы уже однажды проверяли (см. гл.
Ъ', 9 6, п. 6), что величина те~ Йх~ — + — = К[ь) + У[х[ь)) = Е, 2 2 (12) ГЛ. ЪЧ. ИНТЕГРАЛ 450 представляющая из себя сумму кинетической и 1как мы теперь пони- маем) потенциальной энергий системы, остается во время движения постоянной. Пример 9. Теперь рассмотрим еще один пример. В нем встретится сразу целый ряд понятий, которые мы ввели и освоили в дифференциальном и интегральном исчислении. Заметим сначала, что по аналогии с функцией 112), записанной для конкретной механической системы, удовлетворяющей уравнению 111), для произвольного уравнения вида в1$) = У(в1Ф)), (13) где 11в) — заданная функция, можно проверить, что сумма 2 — +У1в) =Е 2 114) не меняется со временем, если Г(в) = — 11в).
Действительно, 1в2 1У( ) 1У = вв + — — = в1в — 11в)) = О. «11 2 Ю Ж (Ь «И Таким образом, из 114), считая Е постоянной величиной, последовательно находим ' = ««2(Я-У( (( 1где знак корня должен соответствовать знаку производной ~), затем вв и, наконец, «Ь ,/2(Е:«( ((' Рнс. 49. Следовательно, используя закон сохранения «энергии» 114) уравнения 113), нам удалось в принципе решить это уравнение, но найдя не функцию в1«), а обратную к ней функцию»1в). з 4.
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 451 тз = у1в). Для данного уравнения сохраняться будет величина 2 2 2+у( ) Е где Г(в) = — у(в). Поскольку слагаемое — тв2 есть кинетическая энергия точки, а движение вдоль желоба происходит без трения, то можно, минуя вычисления, догадаться, что функция У(в) с точностью до постоянного слагаемого должна иметь вид тдй(з), где тдй(в) — потенциальная энергия точки, находящейся на высоте й(в) в поле тяжести.
Если в начальный момент 1 = 0 было в(0) = О, в 10) = во и й(во) = йо, то из соотношения — =в +2дй(в) =С 2Е т находим, что С = 2дй(во), поэтому й2 = 2д(йо — й(в)), «Ь ~/2д(й — ь(с) ло 115) ППараметризация кривой посредством ее же длины называется нлп урально11 а з в этом случае называют натуральным парамепзрои. Уравнение (13) возникает, например, при описании движения точки вдоль заданной кривой. Пусть частица перемещается под действием силы тяжести по узкому идеально гладкому желобу (рис. 49).
Пусть в(8) — расстояние вдоль желоба (т.е. длина пути) от некоторой фиксированной точки Π†нача отсчета †точки, в которой находится частица в момент 4. Ясно, что тогда в(т) есть величина скорости частицы, а в'(с) — величина тангенцивльной составляющей ее ускорения, которая должна равняться величине тангенциальной составляющей силы тяжести в данной точке желоба. Ясно также, что тангенциальная составляющая силы тяжести зависит только от точки желоба, т.
е. зависит только от в, ибо з можно считать параметром, параметризующим кривую1), с которой мы отождествляем желоб. Если эту составляющую силы тяжести обозначить через 1'(в), то мы получим, что ГЛ. Н1. ИНТЕГРАЛ 452 В частности, если, как в случае маятника, точка движется вдоль окружности радиуса В, отсчет длины э ведется от нижней точки 0 окружности, а начальные условия состоят в том, что при 1 = 0 э(0) = 0 и дан начальный угол — ~оо отклонения (рис.
50), то, как легко проверить, выражая э и й(я) через угол отклонения др, получим 'йд[~, — лоБ 1 или (10) Таким образом, для полупериода — Т качания маятника получаем 1 откуда после подстановки "." д" = е1пд на- ходим дд/2 Т = 4 — / , (18) д, д - дчГУв о 0 дО Рис. 50. гдс й2 я1п2 д'о 2 ' Напомним, что функция ~(й,~) = дд ,'д — Йд вдд о называется эллиптическим интегралом первого родо в форме Лежан- дра. При р = я/2 она зависит только от й2, обозначается К(й) и назы- вается полным эллиптическим интегралом первого рода.
Таким обра- зом,период колебаний маятника равен Т = 4д — Л(й). 11 д 3 4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 433 Если угол ув начального отклонения мал, то можно положить Ь = 0 и тогда получим приближенную формулу Т-2я Гл (20) Теперь, когда формула (18) получена, все же следует проанализировать весь ход рассуждений, и тогда мы заметим, что под знаками интегралов (15) — (17) стоят неограниченные на отрезке интегрирования функции. Подобная трудность нам уже встречалась при рассмотрении длины кривой, и мы примерно представляем себе, как и какой смысл можно придать интегралам (15) — (17). Но рзз этот вопрос возник вторично, то его следует разобрать в точной математической постановке, что и будет сделано в следующем параграфе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
