1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Функция хз(х) = )'(1) — ~(х) интегрируема на [а, Б], как разность интегрируемой функции 8 ~-+ у(8) и постоянной у(х), если х— фиксированная точка. Обозначим через М(Ь) величину впр [сл(1)], где шцл) 1(Ь) — отрезок с концами х, х + Ь е [а, 6]. По условию, М(Ь) -+ О при Ь -+ О. Теперь запишем Г(х+ Ь) — Г(х) = )'(1) Ж вЂ” у(1) й = у(1) Ю = а а х х+Л хчЛ х4-Л Щх) + Ь(1)) ~й = Дх) <й+ Ь(1) й = )(х)Ь+ а(Ь)Ь, где положено если х,х+ Ь е [а,6]. Об этом мы, кстати, уже говорили, доказывая лемму 3 предыдущего параграфа.
Из неравенства (2), в частности, следует непрерывность функции Г на [а,6]. Итак, Г Е С[а,6]. Теперь мы исследуем функцию Г более тщательно. Имеет место следующая основная для всего дальнейшего ГЛ. Н1, ИНТЕГРАЛ 420 Поскольку хеь 11(1) д1 х ( М(Ь) ~й х ]1я(1)] д1 = М(Ь)[Ь], то [о(Ь)[ ( М(Ь) и потому о(Ь) — + О, когда Ь -+ О (но так, что х+ Ь е е [а, Ь]). Таким образом, показано, что если функция 1 непрерывна в точке х Е [а,Ь], то при смещениях Ь от точки х таких, что х+Ь Е [а,Ь], имеет место равенство г'(х + Ь) — г'(х) = 1(х)Ь + о(Ь)Ь, где о(Ь) -+ О при Ь -в О.
Но это и означает, что функция г'(х) дифференцируема на [а, Ь] в точке х Е [а, 6] и что г (х) = 1(х). > Важнейшим непосредственным следствием леммы 1 является следующая Теорема 1. Каждая непрерывная на отрезке [а, 6] функция 1': [а,6] — + К имеет на этом отрезке первообразную, причем любая первообр зная функции 1" на [а, 6] имеет вид (4) где с — некоторая постоянная.
Для дальнейших приложений удобно несколько расширить понятие первообразной и принять Определение 1. Непрерывная на числовом промежутке функция х 1 У(х) называется первообразной (обобщенной первооброзной) функции х ~-+ 1(х), определенной на том же промежутке, если во всех точках промежутка, за исключением, быть может, конечного их числа, имеет место соотношение У'(х) = 1(х). < (1 е С[а, 6]) =~ (Д Е Я[а, 6]), поэтому на основании леммы 1 функция (1) является первообразной для 1 на [а, 6]. Но две первообраэные У'(х) и Г(х) одной и той же функции на отрезке могут отличаться на этом отрезке только на постоянную, поэтому У'(х) = г'(х) + с. ~ 13. ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ 421 Учитывая это определение, можно утверждать, что справедлива следующая Теорема 1', Каждая определенн я и ограниченная на отрезке [а,Ь] функция ): [а,Ь] -+ И с конечным множеством точек раэрььва имеет на этом отрезке (обоби4енную) первообразную, причем любая первообразная функции )' на [а, Ь] имеет вид (4).
м Поскольку ) имеет конечное множество точек разрыва, то ) е Е к.[а, 6] и по лемме 1 функция (1) является обобщенной первообразной для )' на [а, 6]. При этом мы учли, что, как уже отмечалось, в силу (2) функция (1) непрерывна на [а,Ь]. Если с(х) — другая первообразнвя функции ( на [а, 6], то с (х) — г'(х) — непрерывная функция, постоянная на каждом из конечного числа промежутков, на которые точки разрыва функции )' разбивают отрезок [а,6]. Из непрерывности с'(х) — Е(х) на [а, 6] тогда следует, что с'(х) — Е(х) = сопв1 на [а, 6].
~ 2. <яэормула Ньютона — Лейбница Теорема 2. Если (: [а,Ь] — 4 К вЂ” ограниченная функция с конечнь м числом точек разрыва, то )' Е н.[а, 6] и (5) где с': [а, 6] — 1 И вЂ” любая из первообраэных функции ( на отрезке [а, 6]. ~ Интегрируемость ограниченной на отрезке функции с конечным числом точек разрыва нам уже известна (см. 2 1, следствие 2 утверждения 2). Наличие обобщенной первообразной с'(х) функции ( на [а, 6] гарантирует теорема 1', в силу которой У'(х) имеет вид (4). Полагая в (4) х = а, получим, что с'(а) = с, откуда х .с'(х) = )'(1) д1+ У(а). а В частности, ГЛ.
Ч1. ИНТЕГРАЛ 422 что с точностью до обозначения переменной интегрирования совпадает с доказываемой формулой (5). > Фундаментальное для всего анализа соотношение (5) называется формулой Ньютпона — Лейбница. Разность У(Ь) — г'(а) значений любой функции часто записывают символом г'(х)),.
В этих обозначениях формула Ньютона- Лейбница ь приобретает вид Поскольку обе части этой формулы одновременно меняют знак при перестановке а и Ь, то формула справедлива при любом соотношении величин а и Ь, т. е. как при а < Ь, так и при а > Ь. На упражнениях по анализу формула Ньютона-Лейбница большей частью используется только для вычисления стоящего слева интеграла, и это может породить несколько искаженное представление об ее использовании.
На самом деле положение вещей таково, что конкретные интегралы редко находят через первообразную, а чаще прибегают к прямому счету на ЭВМ с помощью хорошо разработанных численных методов. Формула Ньютона — Лейбница занимает ключевую, связываюшую интегрирование и дифференцирование, позицию в самой теории математического анализа, в которой она, в частности, получает далеко идущее развитие в виде так называемой общей формулы Стокса1). Примером того, как формула Ньютона — Лейбница используется в самом анализе, может служить уже материал следующего пункта настоящего параграфа.
3. Интегрирование по частям в определенном интеграле и формула Тейлора Утверждение 1. Если функции и(х) и и(х) непрерывно дифференцируемы на отрезке с концами а и Ь, то справедливо соотношение (б) ОД. Г. Стокс (1819 — 1903) — английский физик и математик.
423 33. ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ Эту формулу принято записывать в сокращенном виде Ь Ь Г идо = и о~ — еди а а и называть формулой интегрирования по частям в определенном интеграле. м По правилу дифференцирования произведения функций имеем (и . о)'(х) = (и' о)(х) + (и о')(х). По условию все функции в этом равенстве непрерывны, а значит, и интегрируемы на отрезке с концами а и 6.
Используя линейность интеграла и формулу Ньютона -Лейбница, получаем Ь Ь (и о)(х)!, = (и о)(х) ох+ (и. о )(х) Йх. а а В качестве следствия получим теперь формулу Тейлора с интегральным остаточным членом. Пусть на отрезке с концами а и х функция 4 ~ у(~) имеет п непрерывных производных. Используя формулу Ньютона — Лейбница и формулу (6), проделаем следующую цепочку преобразований, в которых все дифференцирования и подстановки производятся по переменной 4: х Х у(х) — у(а) = у'(4) сЫ = — у'(4)(х — 4)'сЫ = а а = -У'О)( — ~И:~/ /"ЬИ вЂ” Ью= а х =,( (а)(х — а) — — у' (4) ((х — 4) ) Ж = 2./ а = Г(о)(х — а) — -Уо(4)(х — ~)2~*+ — ~ ~"(4)(х — ~)2а = 2 а х = ( (а) (х — а) + — (~~(а)(х — а) — — ( о(4) ((х — 1) ) йь' =...
2 2 3./ а 424 ГЛ, Ч1. ИНТЕГРАЛ = 7'(а)(х — а) + — уо(а)(х — а) +... + 2 1 + 7~" ~(а)(х — а)" '+т„1(а;х), где (7) Итак, доказано следующее ,т'тверждение 2. Если функция ~ ~-+ ~(1) имеет на отрезке с концами а и х непрерывные производные до порядка и включительно, то справедлива формула Тейлора Дх) = 1(а)+ —,7~(а)(х — а)+...+,1(" 1)(а)(х — а)" ~+т„1(а;х) 1 1 с остатком т„1(а;х), представленным в интегральной форме (7). Отметим, что функция (х — г)" ь не меняет знак на отрезке с концами а и х, и поскольку функция 2 + 7" (")(1) непрерывна на этом отрезке, то по первой теореме о среднем на нем найдется такая точка (, что т„1(а; х) = 7(")(с)(х — 1)" 1а1 = 1 (и — 1)! а 1)) У~"~Ы) (х-1)"-'~~= а ,У~")(() 1 — — (х — 1)"~ = —,~(")(()(х — а)".
а (и Мы вновь получили знакомую форму Лагранжа остаточного члена формулы Тейлора. (На основании задачи 2Ь) из предыдущего параграфа, можно считать, что С лежит в интервале с концами а, х.) Это рассуждение можно было бы повторить, вынося из-под знака интеграла (7) ~(")(~)(х — с)" ~, где й Е (1, и . Значениям й = 1 и й = п отвечают получаемые при этом соответственно формулы Коши и Лагранжа остаточного члена.
23. ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ 425 4. Замена переменной в интеграле. Одной из основных формул интегрального исчисления является формула замены переменной в определенном интеграле. Эта формула в теории интеграла столь же важна, как в дифференциальном исчислении формула дифференцирования композиции функций, с которой она может быть при определенных условиях связана посредством формулы Ньютона — Лейбница. Ъ'тверждение 3.
Если ~р: [о,~З] — ь [а,Ь] — непрерывно дифференцируемое отображение отрезка о < ь < р' в отрезок а < х < Ь такое, что у(а) = а и уф) = Ь, то при любой непрерывной на [а, Ь] функции з'(х) йункция У(~р(ь))~р'(4) непрерывна на отрезке [о, Д] и справедливо равенство ь в Я ) д = 1(р(ь))~'(ь) дь (8) Пусть У(х) — первообразная функции у(х) на [а, Ь].
Тогда, по теореме о дифференцировании композиции функций, функция У(у(4)) является первообразной для функции Д~р(4))~р'(4), непрерывной,как композиция и произведение непрерывных функций на отрезь ке [а, р]. По формуле Ньютона — Лейбница ] ~(х) дх = У(Ь) — У(а) и в а ] ~(у(Ь))~р'(1) дг = У (~р(~3)) — У(у(а)). Но, по условию, ~р(а) = а и ~р(Я = а = Ь; таким образом, равенство (8) действительно имеет место.
~» Из формулы (8) видно, насколько удобно иметь под интегралом не просто знак функции, а дифференциальное выражение ( (х)дх, позволяющее после подстановки х = у(2) автоматически получать правильное подынтегральное выражение в интеграле по новой переменной. Для того чтобы не осложнять дела громоздким доказательством, мы в утверждении 3 умышленно сузили истинную область применимости формулы (8) и получили (8) из формулы Ньютона — Лейбница. Теперь перейдем к основной теореме о замене переменной, условия которой несколько отличаются от условий утверждения 3.
Доказательство этой теоремы будет опираться непосредственно на определение интеграла как предела интегральных сумм. Теорема 3. Пусть ьо: [о,,3] — ь [а,Ь] — непрерывно дифференцируемое, строго монотонное отображение отрезка о < ь' < )3 в отрезок а < х < Ь с соответствием концов у(о) = а, р(Я = Ь или у(о) = Ь, 13. ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ 427 Последняя сумма стремится к нулю при Л(Р1) — 1 О, поскольку гр'-— непрерывная на отрезке [сг, )3] функция. Таким образом, мы показали, что а а 1 (с1) гах1 = ~~1 1 (г12(т, ) ) гд~ (т, ) ы; + сг, г=1 г=1 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
