1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 72
Текст из файла (страница 72)
ь Если же ] д(х) дх ф О, то, полагая а ь ь и = д(х) дх (1 д)(х) ах, а а из (17) находим, что т<р<М, но это равносильно соотношению (15). Если, кроме того, изеестно, что 1" Е С[а, Ь], то наПОется точка с Н [а, Ь] такая, что ГЛ. 'Л. ИНТЕГРАЛ 412 Равенство (16) теперь следует из (15) и теоремы о промежуточном значении для функции 1 Е С[а, Ь], с учетом того, что в случае 1' Е С[а, Ь! т = ппп 1(х) те[о,ь) и М = щах Дх). *е(а,ь) Заметим, что равенство (13) получается иэ (15), если д(х) = 1 на [а, Ь!. с. Вторая теорема о среднем для интеграла. Значительно более специальной и деликатной в рамках теории интеграла Римана является так называемая вгпорая теорема о среднелг1). Чтобы не осложнять доказательство этой теоремы, сделаем несколько полезных заготовок, представляющих и самостоятельный интерес.
Преобразование Абеля. Так называется следующее преобразовав ь ние суммы ~ а,Ь,. Пусть Аь = ~; а,; положим также Ао = О. Тогда г=1 1=1 г=1 Итак, и-1 а161 = (А 6 — Ао61) + ~1, А*(6 — Ь+1) (18) г=1 или, поскольку Ав = О, ~ а,Ь; = А„Ь„+ ~~> А;(6, — Ь;+1). На основе преобразования Абеля легко проверяется следующая ь Лемма 2. Если числа Аь = ~ а; (1с = 1,...,п) удовлетворяют г=1 неравенствам т < Аь < М, а числа Ь; (г = 1,...,п) неотрииатпельны '1При некотором дополнительном и часто вполне приемлемом условии на функции основную теорему 6 этого раздела можно легко получить из первой теоремы о среднем. См. по этому поводу задачу 3 к следующему параграфу. п п о ,'1 а;Ь, = ,'1 (А, — А, 1)Ь, = ~~> г=1 г=1 г=1 п и — 1 = ,'1 А;Ь, — ~~1 А,Ьгь1 = г=1 г=о АЬ; — ~~г А, 1Ь;= г=1 гг — 1 А Ь вЂ” АоЬ1+ ~~1, А'(Ь вЂ” 6'+1). 12.
ЛИНЕЙНОСТЬ, АДДИТИВНОСТЬ И МОНОТОННОСТЬ ИНТЕГРАЛА 413 и Ь, > Ьгьь1 при 1 = 1,...,п — 1, то тЬ1 ( (~ сггЬ; ~ (МЬ1. [20) ~ Используя то, что Ь„> 0 и Ь; — Ььь1 > 0 при 4 = 1,..., и — 1, из [19) получаем а;Ь, < МЬ„+ ~~1 М[Ь, — Ь.1.1) = МЬ„+ М[Ь1 — Ь„) = МЬ1. г=1 г=1 Аналогично проверяется и левое неравенство в соотношении [20).
> Лемма 3. Если 1' Е Я[и,Ь], то при любом х Е [а,Ь] определена угунниия г1х) = 1[4)гй а [21) и Е[х) Е С[а,Ь]. 1[г) 1й — 1[г) сй ~Е[х+ 6) — Е[х)[ = х~-1г У[1) ей < х ~У[ )[ей < С]6[. Мы воспользовались неравенством [10) с учетом того, что при 6 < 0 имеем й4П й ]1[1)~ й. — ]1[4)[сй Итак, мы показали, что если х, х+ 6 Е [а, Ь], то [Г[х+ 6) — Е[х)[ < С[6~, [22) ~ Существование интеграла [21) при любом х Е [а, Ь] нам уже известно из утверждения 4 у 1, поэтому остается проверить непрерывность функции г [х). поскольку ~ н 1с[а,ь], имеем [Д < с < оо на [а, ь].
Пусть х е [а, Ь] и х + 6 е [а, Ь]. Тогда в силу аддитивности интеграла и неравенств [9), [10) получаем ГЛ. ЧЕ ИНТЕГРАЛ 414 откуда, очевидно, следует непрерывность функции Р в любой точке отрезка [а, Ь]. 1ь Теперь докажем лемму, которая уже является вариантом второй теоремы о среднем.
Лемма 4. Если |,д е !ь[а,Ь] и д — неотрицательная и нееозрастаюиьал но отрезке [а, Ь] фднкциц то найдется точка с е [а,Ь] такал, что ь (23) Прежде чем переходить к доказательству, отметим, что, в отличие от соотношения (16) первой теоремы о среднем, в (23) под знаком интеграла осталась функция 1, а не монотонная функция д. < Для доказательства формулы (23), как и в уже рассмотренных выше случаях, постараемся оценить соответствуюшую интегральную сумму.
Пусть Р— разбиение отрезка [а, Ь]. Запишем сначала тождество и покажем, что при Х(Р) — ь 0 последняя сумма стремится к нулю. Поскольку | Е '!с[а, Ь], то [у'(х)[ < С < оо на [а, Ь]. Тогда, используя уже доказанные свойства интеграла, получаем [д(х) — д(х, 1)]1(х) их К.| и и < с С | 1д( ! — д(*; 1ш* < с С' !а;ль )л*; о !=1 Х! з=1 62.
ЛИНЕЙНОСТЬ, АДДИТИВНОСТЬ И МОНОТОННОСТЬ ИНТЕГРАЛА 415 при Х(Р) -+ О, ввиду того, что д Е тс[а, Ь] (см. утверждение 2 из 21). Значит, ь х, Г )т т)) )а*= 6 Кт) — ) / т) )т )24) А(Р) — те а т=1 х' ) Оценим теперь сумму, стоящую в правой части равенства (24). По- ложив х Р(х) = У(4) а, а по лемме 3 получаем функцию, непрерывную на отрезке [а, Ь].
Пусть тп —.- ш1п Р(х) и М вЂ”. шах Р(х). хЕ[а,6) хе(а,6) х, Поскольку [ 7(х) тЬ = Р(х,) — Р(х; 1), то и п КФ*;- ) 1 т) )а* = 2,)т);) - т)и- ))т)и- ) )25) т=1 т=1 х1 — ) по лемме 2 находим, что тд(а) < ,') (Р(х,) — Р(х, 1))д(х, 1) < Мд(а), (26) поскольку ь Аь = ~) а; = Р(хь) — Р(хе) = Р(хь) — Р(а) = Р(хь). Мы показали, что суммы (25) удовлетворяют неравенствам (26). Вспоминая соотношение (24), теперь имеем тд(а) < () д)(х))1х < Мд(а). а (27) Учитывая неотрицательность и невозрастание функции д на [а, Ь] и полагая а; = Р(х;) — Р(х, 1), Ь; = д(х; 1), ГЛ.
Ч1. ИНТЕГРАЛ 418 Е ( ) = О то как показывают неравенства (27), доказываемое соотношение (23), очевидно, справедливо. Если же д(а) > О, то положим ь а = — / (Г д)(х) дх. 1 Г у(а),/ Из (27) следует, что т и о т ( а ( М а из непрерывности функции Р(х) = | Д1)дь на [а, 6] следует, что найдется точка С Е [а, 6], в которой а Р(С) = д.
Но именно зто и утверждает формула (23). )ь Теорема 6 (вторая теорема о среднем для интеграла). Если Г, д Е Е Е а, Ь] и д — монотонная на [а, 6] функция, то найдется точка С Е Е [а,Ь] такая, что ь б ь | ( Г . д)(х) сКх = д(а) Г(х) сКх + д(6) 7'(х) дх. (28) е Равенство (28) (как, впрочем, и равенство (23)) часто называют формулой Бонне ). Ц м Пусть д — неубывающая на [а,Ь] функция.
Тогда С(х) = д(Ь)— — д(х) — неотрицательная, невозрастающая, р ру интег и емая на [а,Ь] функция. Применяя формулу (23), находим ь 4 Г (Г С)(х) ах = С(а) Дх) ах. а а (29) Но ь ь ь | (Г С)(х) Йх = у(6),Г(х) сГх — (Г д)(х) Йх, а а а 4 4 С(а) Г(х) ах = у(Ь) Г(х) ах — у(а) Г(х) йх. а е ОП. О. Бонне (1819 — 1892) — французский математик и астроном. т оном. Наиболее значиы с ифференцизльной геометрией. тельные математические работы Бонне связаны д Ь 2. ЛИНЕЙНОСТЬ, АДДИТИВНОСТЬ И МОНОТОННОСТЬ ИНТЕГРАЛА 417 Учитывая зти соотношения и свойство аддитивности интеграла, из (29) получаем доказываемое равенство (28). Если д — невозрастающая функция, то, полагая С(х) = д(х) — д(6), получим, что С(х) — неотрицательная, невозрастающая, интегрируемая на [о,6] функция.
Далее вновь получаем формулу (29), а за ней и формулу (28). ~ Задачи и упражнения 1. Покажите, что если ь" е»с[а, Ь] и ((х) > О на [а, Ь], то а) при условии, что в некоторой точке хе В [а,Ь] непрерывности функция /(х) принимает положительное значение ((хе) > О, имеет место строгое неравенство ь ((х) ь»х > О; а ь Ь) из условия ] у(х) ь(х = О следует, что ~(х) = О почти во всех точках а отрезка [а, 6]. 2. Покажите, что если ( В»с[а, Ь], т = (пГ ((х), М = ьпр ((х), то ]а Ь( (а,Ь( ь а) / ('(х) с(х = р(Ь вЂ” а), где (» Е [т, М] (см.
задачу Ьа) предыдущего пара- а графа); Ь) при условии непрерывности )' на [о, Ь] найдется такая точка с е ]а, 6[, что ь /,((х) дх = Д~)(Ь вЂ” а). а 3. Покажите, что если ) В С[а, 6], у(х) > О на [а, Ь] и М = щах ((х), то (а,Ь( ь 1,»а !пп ~ ~" (х) ь(х) = М. а 4. а) Покажите, что если (' с»с[а, Ь], то Щл е»с[а, Ь] при р 3 О. ГЛ. У1. ИНТЕГРАЛ 418 Ь) Исходя из неравенства Гельдера для сумм, получите неравенство Гельдера для интегралов~): ь ь »~р ь »«в /и «к*ай*а ~~с'е* ~юче ' а а а если 1, 9 е Ге[а, Ь] н р > 1, 9 > 1, — + — = 1. с) Исходя из неравенства Минковского для сумм, получите неравенство Минковского для интегралов: ь »~р ь ьр ь »ур (Р"'"""] 'Р""'"'] '(г""'"] а а а если у, д Е»с[а, Ь] и р > 1.
Покажите, что это неравенство меняется на противоположное, если О < р < 1. «1) Проверьте, что если ) — непрерывная, выпуклая на И функция, а у» -— произвольная непрерывная на И функция, то при с ф О справедливо неравенство Иенсена: с с ~ф»(в««)'л«ав«е о е 8 3. Интеграл и производнаи 1. Интеграл и первообразнан. Пусть у — интегрируемая по Риману на отрезке [а, Ь] функция.
Рассмотрим на этом же отрезке функцию Г[х) = У[1) д1, часто называемую интеералом с переменным верхним пределом. Поскольку у Е»с[а, Ь], то Д], ) Е )с[а, х], если [а, х] С [а, Ь]; поэтому функция х ь г [х) корректно определена для х е [а, Ь]. ОАлгебраическое неравенство Гельдера при р = д = 2 впервые было получено в 1821 г. Коши и носит его имя. Неравенство Гельдера для интегралов при р = 9 = 2 впервые нашел в 1859 г, русский математик В.Я. Буняковский [1804 — 1889).
Это важное интегральное неравенство [в случае р = 9 = 2) называют неравенством Бунакавсквга или неравенствам Коши — Буняковского. Встречается иногда и менее точное его название «неравеиство Шварц໠— по имени немецкого математика Г. К. А. Шварца [1843 — 1921), в работах которого оно появилось в 1884 г.
13. ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ 419 Если [,1'(1)~ < С < +со на [а,6] (а у, как интегрируемая функция, ограничена на [а, 6]), то из аддитивности интеграла и простейшей оценки интеграла следует, что [Г(х+ Ь) — Г(х)[ < С[Ь[, (2) Лемма 1. Если 1 Е н,[а,6] и функция 1" непрерывна в некоторой точке х Е [о,6], то функция Г, определлемал на [а,6] формулой (1), дифференцируема в этой точке х, причем имеет место равенство Г'(х) = Дх). м Пусть х,х+Ь Е [а,6]. Оценим разность Г(х+Ь) — Г(х). Из непрерывности 1' в точке х следует, что ~(1) = у(х) + л1(1), где Ь(1) -+ 0 при 1 — 4 х, 1 Е [о, 6].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
