1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Функции соз о и з1п а, если принять их школьное определение, суть декартовы координаты образа р точки ре = (1,0) при повороте на угол а. Величина а с точностью до знака измеряется длиной дуги окружности х~+ у = 1, заключенной между ре и р. Таким образом, при этом подходе к тригонометрическим функциям их определение опирается на понятие длины дуги окружности и, значит, вычисляя выше длину окружности, мы совершили в известном смысле логический круг, задав параметризацию окружности в виде (5). Однако эта трудность, как мы сейчас увидим, не принципиальная, ибо параметризацию окружности можно задать, вовсе не прибегая к тригонометрическим функциям. Рассмотрим задачу о вычислении длины графика функции у = у (х), определенной на некотором отрезке [а, Ь] С Я.
Имеется в виду вычисление длины пути Г: [а, Ь] -+ ж~, имеющего специальный вид параметри- зации 442 ГЛ. Ч1. ИНТЕГРАЛ Означает ли это, что полуокружность не имеет длины? Пока это только означает, что указанная параметризация полуокружности не удовлетворяет условиям непрерывности функций х, у, при которых была выписана формула (4), а значит, и формула (6). Поэтому нам следует либо подумать о расширении понятия интеграла, с тем чтобы интеграл в (7) получил определенный смысл, либо перейти к параметризации, удовлетворяющей условиям применимости формулы (6).
Заметим, что если взятую параметризацию рассматривать на любом отрезке вида [ — 1+ д, 1 — $ где — 1 < — 1+ д < 1 — д < 1, то на нем формула (6) применима и по ней находим длину 1Ь 1[ — 1+ 6,1 — б) = -14б дуги окружности, лежащей над отрезком [ — 1+ д, 1 — д]. Естественно поэтому считать, что длина 1 полуокружности есть предел 1пп 1[ — 1+ е, 1 — Б). В таком же смысле можно понимать и интеб — Н-0 грал в соотношении (7). Этим естественно возникающим расширением понятия интеграла Римана мы подробнее займемся в следующем параграфе.
Что же касается рассматриваемого конкретного вопроса, то, даже ( 11) не меняя параметризацию, можно найти, например, длину 1 [ — —, -~ дуги единичной окружности, опирающейся на хорду, конгруэнтную радиусу окружности. Тогда (уже иэ геометрических соображений) должно быть '=' '~-~4 Заметим также, что ,1(1 г) — — = 2 / ~ 1 — д* — ~й— 2 /à — Хг поэтому 1-б 1-б 1( — 1м1 — 4=2 1 Д вЂ” *~ — ( 'Л— — 14б 443 14. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА Таким образом, м,1-4= 1'Л:,' б->+О -1 Длина полуокружности единичного радиуса обозначается символом я, и мы приходим к следующей формуле: 1 =21 У1 — ы. -1 Последний интеграл есть обычный (а не обобщенный) интеграл Римана, и его можно вычислить с любой точностью. Если для х Н ] — 1, 1] величину 1[х, 1] назвать агссоях, то в силу проведенных выше выкладок Г г11 агссоях = 1 / л:-г А — * <-21 Л вЂ” 1 й.
Если считать длину дуги первичным понятием, то первичными надо считать функцию х ~-б агссоэ х, введенную только что, и функцию х + агсяшх, которую можно ввести аналогично, а функции х н соя х и х + э1пх тогда можно получить как им обратные на соответствующих отрезках. В сущности, именно это и делается в элементарной геометрии.
Пример с длиной полуокружности поучителен не только тем, что, разбирая его, мы сделали, быть может, небесполезное для кого-то замечание об определении тригонометрических функций, но еще и тем, что он естественно порождает вопрос о том, не зависит ли вообще определенное формулой (3) число от выбора системы координат х, у, я и параметриэации кривой, когда речь идет о длине кривой. Оставляя читателю анализ роли пространственных декартовых координат, рассмотрим здесь роль параметризации.
Уточним, что под параметориэапией некоторой кривой в Ж мы подз разумеваем задание простого пути Г: 1 -б жз, носителем которого 444 ГЛ. Ч1. ИНТЕГРАЛ является данная кривая. Точку или число 4 Е 1 называют параметром, а промежуток 1 — областью изменения параметра. Если Г: 1 + Е и Г: 1 -+ 4",— два взаимно однозначных отображения с одним и тем же множеством значений Е, то естественно возникают взаимно однозначные отображения Г 1оГ: 1 — ь 1, Г "оГ: 1-+ 1 между областями определения 1 и 1 этих отображений.
В частности, если имеются две параметризации одной кривой, то между самими параметрами 4 Е 1, т Е 1 устанавливается естественное соответствие Ф = 4(т) или т = т(4), позволяющее по параметру точки в одной параметризации определять ее же параметр в другой параметризации. Пусть Г:[а,Ь] -+ 4. и Г:[а,Д -+ 4. †д параметризации одной кривой с соответствием Г(а) = Г(о), Г(Ь) = Г(р) начала и конца. Тогда функции 4 = 4(т), т = тЯ перехода от одного параметра к другому будут непрерывными, строго монотонными отображениями отрезков а < 4 < 6, а < т < р" друг на друга с соответствием начал а +~ о и концов Ь ++ ~3. Если кривые Г и Г при этом задавались такими тройками (х(4), у(4), г(4)), (х(4),у(Ф),й(4)) гладких функций, что [и(ь)]г = хг(4) + уг(Ь) + 2 2 2 +й~(1) ф Она [а, Ь] и [й(т)[г = х (т)+у (т)+гь (т) ~ Она [о,~З], то можно проверить, что в этом случае функции перехода Ь = 4(т) и т = т(4) будут гладкими функциями, имеющими положительную производную на отрезке своего определения.
Мы не станем сейчас заниматься проверкой этого утверждения, оно будет в свое время получено как одно из следствий важной теоремы о неявной функции. В данный же момент высказанное утверждение служит скорее мотивировкой следующего определения. Определение 9.
Говорят, что путь Г: [о,)3] -+ К~ получен из пути Г: [а,Ь] — + КЗ допустимым изменением параметризации, если существует такое гладкое отображение Т: [о,Д -+ [а, Ь], что Т(о) = а, Т(Я = Ь, Т'(т) > О на [о, )3! и Г = Г о Т. Проверим теперь следующее общее 'Утверждение 2. Если гладкий путь Г: [а,Д] — + Кз получен из гладкого пути Г: [а, Ь] — ~ Кг допустимым изменением параметризации, то длины этих путей совпадают. В 4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 445 м Пусть Г: [о,,з] — » мэ и Г: [а,6] -+»кв задаются соответственно тройками т» (х(т), у(т), й(т)) и 4 ~-» (х(1), у(Ф), я(1)) гладких функций, а 4 = 1(т) — допустимое изменение параметризации, при котором х(т) = х(г(т)), у(т) = у(4(т)), й(т) = я(6(т)).
Используя определение (3) длины пути, правило дифференцирования композиции функций и правило замены переменной в интеграле, имеем 2(»)+у2(Р)+ г(~),Н а д х2(6(т)) + у2(ф)) + 82(2(т))~'(т) дт = а [х(ф))у(т)] + [у(4(т))у(т)] + [й(1(т))Ф'(т)] йт = Йт. Итак, в частности, показано, что длина кривой не зависит от ее гладкой параметризации.
Длину кусочно гладкого пути определяют как сумму длин гладких путей, на которые он подразделяется; поэтому легко проверить, что и длина кусочно гладкого пути не меняется при допустимом изменении его параметризации. Заканчивая обсуждение понятия длины пути и длины кривой (о которой мы после утверждения 2 теперь вправе говорить), рассмотрим еще один Пример 4. Найдем длину эллипса, задаваемого каноническим уравнением 2 2 2 + 1 (а ) Ь ) О) (8) а2 Взяв параметризацию х = а»йп26, у = 6 сов 26, О < 26 < 2я, получаем (а сов ф) 2 + ( — Ь вт Я2 йф = а2 — (а2 — 62)втэу»йф = ГЛ. У1, ИНТЕГРАЛ 44б х/2 х/2 =а / о где й = 1 — — — квадрат эксцентриситета эллипса. 2 6 а2 Интеграл не выражается в элементарных функциях и ввиду указанной связи с эллипсом называется эллиптическим. Точнее, Е1й, ~р) — эллиптический интеграл втиорого рода в форме Лежандра.
Значение, которое он принимает при у = и/2, зависит только от й, обозначается через Е(й) и называется полным эллиптическим интегралом второго рода. Итак, Е(й) = Е(й,п/2), поэтому длина эллипса в этих обозначениях имеет вид 1 = 4оЕ(й). 3, Площадь криволинейной трапеции. Рассмотрим фигуру аАВЬ (рис.48), называемую криволинейной трапецией.
Фигура ограничена вертикальными отрезками ОА, ЬВ, отрезком [а, Ь] оси абсцисс и кривой АВ, являющейся графиком некоторой интегрируемой на [о,Ь] функции у = Дх). Пусть [о,/3] — отрезок, содержащийся в У [а, Ь]. Обозначим через Я(а,~3) площадь соответствующей ему криволинейной трапеции аДаЩ,9),3. Наши представления о площади таковы: если а < а < Д < / < Ь, то О а а /3 6 х Рис. 48. (аддитивность площади) и 1п1 /(х)(/3 — а) < Я(о,/3) < япр Ях)(/д — о) хе[а,а] хе аЛ) (площадь объемлющей фигуры не меньше площади объемлемой). 447 З 4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА Значит, в силу утверждения 1, площадь указанной фигуры надо вычислять по формуле Ь (9) о(а, Ь) = Дх) Их.
а Пример 5. Используем формулу (9) для подсчета площади эллипса, заданного каноническим уравнением (8). В силу симметрии фигуры и предполагаемой аддитивности площади достаточно найти площадь только той части эллипса, которая расположена в первом квадранте, и затем учетверить полученный результат. Проведем вычисления: т/2 х2 '~ о = 4 Ь 1 — — ~ с1х = 46 1 — зшзгасозЬЖ = а2 о о ~г/2 я/2 = 4а6 соз21сй = 2аЬ (1 — соя 22) й = иаЬ. По дороге мы сделали замену х = а з1п 1, О < 1 < я/2. Итак, о = яа6. В частности, при а = Ь = В получаем формулу я11 площади круга радиуса В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
