1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Множество Г С К называется замкнутым в Я", если его дополнение С = 217" '1 Г в Ж" является множеством, открытым в яс". Пример 5. Множество В(а;г) = 1х Е К ~ й(а,х) < г), г > О, т.е. совокупность точек, удаленных от фиксированной точки а Е К™ не больше чем на г, является замкнутым, что следует из определения 3 и примера 4. Множество В(а; г) называют замкнутым шаром с центром а радиуса г. зтверждение 1. а) Объединение 0 С множеств любой систе- аеА мы (С„, а Е А) множеств, открытых в ~", являегпся множеством, открыгпым в ж'".
Ь) Пересечение ) ) С; конечного числа множеств, открытых в ~™, 1=1 лвляется множесгпвом, открытым в яг". аа) Пересечение ) ) Г„множеств любой системы 1Г„, а Е А) мно- оЕА жесте Г„, замкнутых в яс"', является множеством, замкнутым в К"'. Ь') Объединение ) ) Г; конечного числа множеств Г;, замкнутых 1=1 е Ж", является множеством, замкнутым в К™. ~ а) Если х Е 0 С, то найдется такое ае Е А, что х Е С аЕА и, следовательно, найдется такая б-окрестность В(х;б) точки х, что В(х; б) С С,ц,. Зна 1ит, В(х; б) С Ц С . аЕА п Ь) Пусть х Е ) ) С;.
Тогда х Е С; (1 = 1,...,п). Пусть б1,..., б„— з=1 Г/Е ЧП. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 480 такие положительные числа, что В1л; б,) С С1 1г = 1,...,н). Полагая б = ш1п1б1,..., б„), очевидно, получим, что б > 0 и В1т; б) С Й Сь 1=1 а') Покажем, что множество С Д Е ~, дополнительное к Д Е 1.аЕА / аеА в Н", является открытым подмножеством К'".
Действительно, 1) Еа — 0 (СЕа) — 0 Са1 ХаЕА / аЕА аЕА где С = СЕ открыты в К™. Теперь а') следует из а). Ь') Аналогично, из Ь) получаем Пример 6. Множество Я(а;т) = 1л б К ) д(а,х) = т), т > О, называется сферой с центром а Н 1К радиуса 1. Дополнение к Я(о;т) в 2™ в силу примеров 3 и 4 является объединением открытых множеств. Значит, в силу доказанного утверждения оно открыто, а сфера 510; т) есть замкнутое подмножество Ж Определение 4. Открытое в К множество, содержащее данную точку, называется окрестностью этой точки в Ь™.
В частности, как следует из примера 3, б-окрестность точки является ее окрестностью. Определение 5. Точка т Н И™ по отношению к множеству Е С С Кт называется внутренней тонкой Е, если она содержится в Е вместе с некоторой своей окрестностью; внешней тонкой Е, если она является внутренней точкой дополнения к Е в К зраничной точкой Е, если она не является ни внешней, ни внутренней точкой множества Е. Из этого определения следует, что характеристическое свойство граничной точки множества состоит в том, что в любой ее окрестности имеются как точки этого множества, так и точки, ему не принадлежащие.
в 1. ПРОСТРАНСТВО К~ И КЛАССЫ ЕГО ПОДМНОЖЕСТВ 481 Пример Т. Сфера Я(а; т), т > О, является множеством граничных точек как открытого шара В(а; т), так и замкнутого шара В(а; т). Пример 8. Точка а Е К является граничной точкой множества К 1 а, которое не имеет внешних точек. Пример 9. Все точки сферы Я(а; т) являются ее граничными точками; внутренних точек множество Я(а;т) как подмножество К не имеет. Определение 6. Точка а е К" называется предельной точкой множества Е с К™, если для любой окрестности 0(а) точки а пересечение Е П 0(а) есть бесконечное множество.
Определение 7. Объединение множества Е и всех его предельных точек из К'" называется замыканием множества .Е в К Замыкание множества Е обычно обозначают символом Е. Пример 10, Множество В(а;т) = В(а;т) 0 Я(а;т) есть множество предельных точек для открытого шара В(а;т), поэтому В(а;т), в отличие от В(а;т), и назвали замкнутым шаром. Пример 11. 3(а; т) = Я(а; т). Вместо того чтобы обосновывать последнее равенство, докажем следующее полезное ,ттверждение 2. (Р замкнуто в Ктл) 4» (Р = Р в Ю"). Иными словами, Р— замкнутое в К множество тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки. м Пусть Р замкнуто в К™, х Е К™ и х ф Р. Тогда открытое множество С = К.
'1 Р является окрестностью точки х, вообще не содержащей точек множества Р. Таким образом, показано, что если х ф Р, то х— не предельная точка Р. Пусть Р = Р. Проверим, что множество С = К™ 1 Р открыто в К~. Если х б С, то х ф Р и потому х не является предельной точкой множества Р. Значит, найдется окрестность точки х, в которой имеется только конечное число точек х1,..., х„множества Р.
Поскольку х ф Р, то можно построить, например, шаровые окрестности 01(х),..., 0„(х) и точки х так, что х, ф 0,(х). Тогда 0(х) = П 0;(х) будет откры1=1 ГЛ. Ъ'П. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 482 той окрестностью точки х, которая вообще не содержит точек Р, т.е. 0(х) С К '1 Г и, следовательно, множество К '1 Г = Н™ 1г' открыто, т.е. г' замкнуто в л4~. ~ 3. Компакты в Ю" Определение 8. Множество К С К называется компактом, если из любого покрытия К множествами, открытыми в К~, можно выделить конечное покрытие. Пример 12. Отрезок ~а,6) С К~ является компактом в Ф в силу леммы о конечном покрытии. Пример 13. Обобщением отрезка в %™ является множество 1 = (х Е 1~™ ( а' < х' < 6', 1 = 1,..., т), которое называется т-мерным промежутком, т-мерным брусом нли т-мерным параллелепипедом. Покажем, что 1 — компакт в К < Предположим, что из некоторого открытого покрытия 1 нельзя выделить конечное покрытие.
Разделив каждый из координатных отрезков Х' = (х' Н К ~ а' < х' < 6') (г = 1,...,т) пополам, мы разобьем промежуток 1 на 2"" промежутков, из которых по крайней мере один не допускает конечного покрытия множествами нашей системы. С ним поступим так же, как и с исходным промежутком. Продолжая этот процесс деления, получим последовательность вложенных промежутков 1 = 1~ Э Х2 Э ... Э Х З ..., ни один из которых не допускает конечного покрытия. Если 1„= 1х Е К™ ~ а'„< х' < 6'„, г = 1,...,т), то при каждом г' Н 11,...,т) координатные отрезки а'„< х' < 6'„(а = 1, 2,... ) образуют, по построению, систему вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю.
Найдя при каждом г Е 11,...,т) точку (' Е [а,'„6'„], общую для всех этих отрезков, получим точку ( = ((',..., ~™), принадлежащую всем промежуткам 1 = = 1ы12,...,1„,... Поскольку ( Е 1, то найдется такое открытое множество С нашей системы покрывающих множеств, что ~ Е С. Тогда при некотором б > 0 также Вф б) с С. Но по построению в силу соотношения (2) найдется номер Х такой, что Х„с Вф б) с С при и > М, и мы вступаем в противоречие с тем, что промежутки 1„не допускают конечного покрытия множествами данной системы.
~ 11. ПРОСТРАНСТВО й~ И КЛАССЫ ЕГО ПОДМНОЖЕСТВ 483 Утверждение 3. Если К вЂ” компакт в К"и, то а) Л вЂ” замкнутое множество в 1кги; Ь) любое замкнутое в К™ множество, содержащееся в К, само яв.ляется компактом. М а) Покажем, что любая точка а Н К, предельная для К, принадлежит К. Пусть а 1е К. Для каждой точки х е К построим такую окрестность С(х), что точка а обладает окрестностью, не имеющей с С(х) общих точек. Совокупность (С(х)), х Е Л, всех таких окрестностей образует открытое покрытие компакта К, из которого выделяется конечное покрытие С(х1),..., С(х„).
Если теперь 0,(а) — такая окрести ность точки а, что С(х;) Г1 0;(а) = Е1, то множество 0(а) = П 0;(а) г=1 также является окрестностью точки а, причем, очевидно, Л ПО(а) = о. Таким образом, а не может быть предельной точкой для К. Ь) Пусть Š— замкнутое в яг™ множество и Г С К. Пусть (С ), сг Е А, — покрытие Е множествами, открытыми в ~". Присоединив к нему еще одно открытое множество С = гк '1 Е, получим открытое покрытие й™ и, в частности, Х, из которого извлекаем конечное покрытие К. Это конечное покрытие К будет покрывать также множество Е.
Замечая, что С П Г = О, можно сказать, что если С входит в это конечное покрытие, то, даже удалив С, мы получим конечное покрытие Е множествами исходной системы (С ), сг Е А. ~ь Определение 9. Диаметром множества Е С К называется величина Й(Е):= впр д(х1, хз). хг,хгЕЕ Определение 10. Множество Е С гк™ называется ограниченным, если его диаметр конечен.
Утверждение 4. Если К вЂ” компакт в я1™, то К вЂ” ограниченное подмножество 11ги. м Возьмем произвольную точку а Е Р. и рассмотрим последовательность шаров (В(а; и)) (и = 1,2,... ). Они образуют открытое покрытие К™, а следовательно, и К. Если бы К не было ограниченным множеством, то из этого покрытия нельзя было бы извлечь конечное покрытие К. ~ь ГЛ. УП. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 484 утверждение 5. Множество К С Кт является компактом в том и только в том случае, если К замкнуто и осраничено в К™. ~ Необходимость этих условий нами уже показана в утверждениях 3 и 4. Проверим достаточность этих условий.
Поскольку К вЂ” ограниченное множество, то найдется т-мерный промежуток 1, содержащий К. Как было показано в примере 13, 1 является компактом в К '. Но если К вЂ” замкнутое множество, содержащееся в компакте 1, то по утверждению ЗЬ) оно само является компактом. > Задачи и упражнения 1. Расстоянием д(ЕОЕз) между множествами Еь Ез С К"' называется величина а1Еь Ез):= 1п1 д(хь хз). о ~ е Еь л2 е Е2 Приведите пример замкнутых в К'о множеств Еь, Ез без общих точек, для которых а(Еь Ез) = О. 2. Покажите, что а) замыкание Е в К™ любого множества Е С К'" является множеством, замкнутым в К'"; Ъ) множество дЕ граничных точек любого множества Е С К"' является замкнутым множеством; с) если С вЂ” открытое множество в К, а Е замкнуто в К, то С '1 Е— открытое подмножество К™.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
