1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Свойство 4' нормы называют неравенством тредеольника, и теперь ясно почему. Неравенство треугольника по индукции распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых. А именно, справедливо неравенство ))х1 +... + хь)( < !)х1й +... + ((хь)!. Наличие нормы вектора позволяет сравнивать по величине значения функций (: Х -+ Р., д: Х вЂ” о И" . Условимся писать, что ('(х) = о(д(х)) или 1 = о(д) при базе 8 в Х, если Щхпи~ = оЦд(х) ~)и ) при этой базе 8. ГЛ. ЧН1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 502 Если 7'(х) = (71(х),..., 7™(х)) — координатное представление отображения у: Х -+ К™, то ввиду неравенств та ф(х)) < 01(х))/ < ~~1 !~ (х)) (14) можно сделать следующее полезное для дальнейшего наблюдение: (у = о(д) при базе В) е» (7"1 = о(д) при базе В; г = 1,..., т).
(15) Условимся также, что запись 7" = 0(д) при базе В в Х будет означать, что Д('(ХЦи* = ОПд(х)Ци~) при этой базе В. Тогда из (14) получаем, что (1' = 0(д) при базе В) <=» (1'1 = 0(д) при базе В; г = 1,...,т). (16) Пример. Рассмотрим линейное отображение 7: К вЂ” » К". Пусть Ь = Ь1е1+... + Ь'"е,„— произвольный вектор пространства Ко'. Оценим 117 (Ь)!1н-: !)ЦЬП = ~> Ь'7(е1) < ~~ '0Ь(е1))!)Ь1/ < ~ ЩеЗН //Ц. (17) а=1 1=1 1=1 Таким образом, можно утверждать, что (18) ЦЬ) = 0(Ь) при Ь -+ О. В частности, из этого следует, что Цх — хо) = Цх) — Цхо) » О при х -+ хо, т.е. линейное отображение 7' Ко' -+ К" непрерывно в любой точке хо Е К"'. Из оценки (17) видна даже равномерная непрерывность линейного отображения. (х,х) > О, (х,х) =О~Х=О, (Х1, Х2) = (Х2, Х1), (ЛХ1, Х2) = Л(х1, х2), где Л Н К, (Х1 + Х2, ХЗ) = (Х1, ХЗ) + (Х2, ХЗ).
4. Евклидова структура в К™. Из алгебры известно понятие скалярного произведения в вещественном векторном пространстве как числовой функции (х, д), определенной на парах векторов пространства и обладающей свойствами 11, ВектОРнАЯ стРУктУРА В и~ 503 Из этих свойств, в частности, следует, что если в пространстве фиксирован базис (е1,..., ет), то через координаты (х1,..., х"'), (у1,..., ут) векторов х и у их скалярное произведение (х, у) запишется в виде билинейной формы (19) (х у) = дух'у' (подрззумевается суммирование по 1 и по у), в которой д, = (е;, е ).
Векторы называются ортогональныии, если их скалярное произведение равно нулю. Базис (е1,...,е 1 называетсЯ оРтоноРмиРованным, если дг1 = 40, где ) О, если 1 ф д, 1, если 1 = ~. В ортонормированном базисе скалярное произведение (19) имеет самый простой вид (х, у) = о1 х1у1, (20) (х,у) х у+.. +х у Координаты, в которых скалярное произведение имеет такой вид, называют декартовыми координатами. Напомним, что пространство К с определенным в нем скалярным произведением называется евклидовым пространством. Между скалярным произведением (20) и нормой вектора (12) имеется очевидная связь [[г Из алгебры известно следующее неравенство: (х,у) < (х,х)(у,у), которое, в частности, показывает, что для любой пары векторов най- дется угол у Е [О,я) такой,что (х,у) = [[х[[[[у!) сову. Этот угол называют углом между векторами х и у. Именно по этой причине естественно считать ортогонвльными векторы, скалярное произведение которых равно нулю.
ГЛ. У1Н. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 504 Полезным для нас будет также следующий известный из алгебры простой, но очень важный факт: любая линейная функция Е: 2™ — > К в евклидовом простпранстве имеет вид с(х) = (с,х), где с е К™ — фиксированный и однозначно свотпветствунпций функции Е вектор. З 2. Дифференциал функции многих переменных 1. Дифференцируемость и дифференциал функции в точке Определение 1. Функция у: Е + Нп, определенная на множестве Е с К™, называется дифференцируемой в точке х е Е, предельной для множества Е, если где Цх): К'и -+ К" — линейная относительно Ь функция' ), а ст(х; Ь) = = о(Ь) при Ь вЂ” + О, х+ Ь Н Е.
Векторы Ьх(Ь):= (х + Ь) — х = Ь, 1.'ау(х; Ь):= у(х+ Ь) — Ях) называются соответственно приратцением аргумента и приращением функции (отвечающим этому приращению аргумента). Эти векторы по традиции обозначают символами Ьх и 1зу (х) самих функций от Ь. Линейная функция Х(х): Н™ — + К" в соотношении (1) называется дифференциалом, касатпельным отображением или производным отображением функции )': Е -+ Р." в точке х Е Е.
Дифференциал функции )': Е -+ К" в точке х Е Е обозначается символами йу(х), .) ('(х) или у'(х). Ппо аналогии с одномерным случаем, мы позволим себе писать б(з)Ь вместо Ь(т)(Ь). Отметим также, что в определении мы подразумеваем, что К и К наделены указанной в 1 1 нормой. 12. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 000 В соответствии с введенными обозначениями, соотношение (1) можно переписать в виде ~(х + 6) — 1(х) = ~'(х)6 + о(х; 6) Ь|(х; 6) = Ц(х)6 + о(х; 6). Заметим, что дифференциал, в сущности, определен на смещениях 6 от рассматриваемой точки х е Кт.
Чтобы это подчеркнуть, с точкой х е Кт связывают свой экземпляр векторного пространства К™ и обозначают его через Т К., ТК (х) или ТК'"; ТК™ можно трактовать как совокупность векторов, приложенных к точке х Е К . Векторное пространство ТК., называют касательным пространством к К" е точке х е К~. Происхождение этой терминологии прояснится позже. Значение дифференциала на векторе 6 Е ТК есть вектор 1'(х)6 Е Е Т.'К(, приложенный к точке 1 (х) и аппроксимирующий приращение ((х + 6) — ~(х) функции, вызванное приращением 6 аргумента х.
Итак, е11'(х) или ~'(х) есть линейное отображение ~'(х): ТК'" -~ ТК" [,Г Мы видим, что, в полном соответствии с уже изученным нами одномерным случаем, функция многих переменных с векторными значениями дифференцируема в точке, если ее приращение Ь1(х; 6) в этой точке как функция приращения аргумента 6 линейно по 6 с точностью до поправки о(х; 6), бесконечно малой при 6 — ~ О в сравнении с приращением аргумента.
2. Дифференциал и частные производные вещественнозначной функции. Если векторы 1(х+ 6), ('(х), Х,(х)6, о(х; 6) из К" записать в координатах, то равенство (1) окажется равносильным и равенствам ('(х+ 6) — ~'(х) = Ь'(х)6+ а'(х; 6) (г = 1,...,и) (2) между вещественнозначными функциями, в которых, как следует из соотношений (9) и (15) 01, ь"'(х): К™ -+ К суть линейные функции, а а'(х; 6) = о(6) при 6 -+ О, х + 6 е Е для любого г = 1,..., и. 506 ГЛ.
УН1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Таким образом, справедливо Утверждение 1. Отображение 1': Š— 1 К" множества Е С Ко' дифференцируемо в точке х Н Е, предельной для множества Е, тогда и только тогда, когда в этой точке дифференцируемы функции ~'.
Е -+ К (1 = 1,...,и), эадаюи1ие координатное представление данного отображения. Поскольку соотношения (1) и (2) равносильны, то для отыскания дифференциала Цх) отображения у: Е -+ К" достаточно научиться находить дифференциалы Г(х) его координатных функций у'. е — 1 к.
Итак, рассмотрим вещественнозначную функцию 1: Е -+ К, определенную на множестве Е С К и дифференцируемую во внутренней точке х Н Е этого множества. Заметим, что в дальнейшем нам большей частью придется иметь дело с тем случаем, когда Е будет областью в К'". Если х есть внутренняя точка множества Е, то при любом достаточно малом смещении Ь от точки х точка х+ 6 также будет принадлежать Е и, следовательно, будет находиться в области определения функции у: Е -+ В. Если перейти к координатной записи точки х = (х1,..., х™), вектора Ь = (61,..., Ьт) и линейной функции Х(х)6 = а1(х)61+...+а (х) 66, то условие ~(х+6) — ~(х) = Цх)6+о(6) при Ь-+О (3) перепишется в виде У( 1+ 61,..., х + Ь ) — М,..., .
) = = а1(х)6~ +... +ао,(х)Ьь + о(6) при Ь вЂ” > О, (4) где а1(х),..., а (х) — связанные с точкой х вещественные числа. Мы хотим найти эти числа. Для этого вместо произвольного смещения Ь рассмотрим специальное смещение Ь;=Ь'е,=О е1+...+О е,1+Ь'е,+О е,ь1+...+О е,„ на вектор Ь„коллинеарный вектору е, базиса (е1,..., е ) в К™. При Ь = Ьь очевидно, ((Ц = ~61), поэтому из (4) при Ь = Ь, получаем У(Х1 1-1 1 т 61 ХЬЬ1 т) У(Х1 Х1 Хп~) = а;(х)6'+ о(61) при Ь' — 1 О. (5) 12. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 507 Это означает, что если фиксировать в функции 1(х1,...,х'") все переменные, кроме 42й, то получаемая при этом функция 4-й переменной оказывается дифференцируемой в точке х'.
Из равенства (5), таким образом, находим, что а4(х) = У(Х4,...,Х4-4,Х4+А~,Х44-4,,Хт) 4(Х1,„,,Х~, „,Хт) = 1пп ' ' ' ' ',' '' ' ' ' . (6) й'-~в й4 Определение 2. Предел (6) называется частной производной функции 1(х) в точке х = (х',..., х™) по переменной х'. Его обозначают одним из следующих символов: ду — (х), д;~(х), РД(х), ~',(х). Пример 1. Если 1(и, и) = из + о2 в1п и, то д1)'(и,и) = — (и,и) = Зи + и сови, ау ди д21(и,и) = — (и,о) = 2из1пи.
ду' до Пример 2. Если 1(х, у, г) = агс16 (ху2) + е', то д4э (х у г) (х у з) 2 4' ду у2 дх ' ' 1+х2У4' д2,)'(х,у,г) = — (х,у,г) = 4, ду 2ху дзУ(х, у,г) = — (х, у, г) = е'. д,)' дг Итак, мы доказали Утверждение 2. Если функция )': Е -+ К, определенная на множестве Е С Ж", дифференцируема во внутренней точке х е Е этого множества, то в этой точке функция имеет частные производные по каждой переменной и дифференциал функции однозначно определяется этими частными производными в виде Ц(х)Б, = †(х)6' + ... + †(х)Б д1, ду дх' дх ГЛ. ННЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЪНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 508 Формулу (7), используя соглашение о суммировании по повторяющемуся снизу и сверху индексу, можно записать компактно: дг" (х)6 = дух)6'.
(8) Пример 3. Если бы мы знали (а скоро мы это узнаем), что рассмотренная в примере 2 функция 7" (х, у, г) дифференцируема в точке (О, 1, О), то можно было бы сразу записать, что г1ГГО 1 0)6 1 Ьг + О Ьз + 1 6з Ьг + Ьз и, в соответствии с этим, у (61 1 Г 62 63) у(0 1 0) ц(0 1 0)Ь 1 (6) или агс18 (Ь'(1+ 6~) ) +е~ = 1+ 6~+ 6~+о(6) при Ь-+ О. Пример 4. Для функции х = (х',...,х ) ~ — + х*, которая точке х Е М™ ставит в соответствие ее г-ю координату, имеем Ьз'(х; 6) = (х' + Ь') — х' = Ь', т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
