1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 89

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 89)

х~ т отличных от нуля сомножителей, вызванная погрешностями в задании самих сомножителей, может быть найдена в виде б ')" б;, где б; — относительная погрешность зада$=1 ния 1-го сомножителя. Ь) Используя то, что д 1и 7 (х) = Г) с11 (х), еще раз получите результат предыдущей задачи и покажите, что вообще относительную погрешность дроби Л" А (хы...,х ) дг дя можно найти как сумму относительных погрешностей значений функций Уг ~ ° ° ° ~ Уа дг ~ ° ° ° ~ дь ° ЦД. Бернулли (1700 — 1782) — швейцарский ученый, один иэ наиболее выдающихся физиков и математиков своего времени.

2 3. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 6. Однородные функции и пгождес1аво Эйлера. Функция у: С вЂ” 1 К, определенная в некоторой области С С К, называется однородной (иоложительно однородной) степени и, если для любых х б К"' и Л б К таких, что х б С и Лх 6 С, имеет место равенство у(Лх) = Л"у(х) (у(Лх) = /Л/" у(х)). Функция называется локально однороднои степени и в области С, если она является однородной функцией указанной степени в некоторой окрестности любой точки области С. а) Докажите, что в выпуклой области всякая локально однородная функция является однородной.

Ь) Пусть область С есть плоскость Кг без луча Ь = ((х, у) б Кг ~ х = 2 А А у > 0). Проверьте, что функция ~ у4/х, если х > 2ду > О, у(х,у) = ( уз в остальных точках области локально однородна в С, но не является однородной функцией в этой области. с) Укажите степень однородности или положительной однородности следующих функций, рассматриваемых в их естественной области определения: у( 1 ы) 1 2+ 2 3+ + о1 — 1 т, 1 2 3 4 14(1 г з 4) хх +хх хгхгхг + хгхгх4 ' уг(х,...,х™) = ~х ...х (. о) Продифференцировав равенство у(ех) = 1"у(х) по $, покажите, что если дифференцируемая функция у: С 2 К локально однородна степени п в области С с К, то она удовлетворяет в С следующему тождеству Эйлера длл однородных функций: х,(х,...,х™)+...+х™ (х,,,х ) =ну(х,...,х ).

Ю Ю е) Покажите, что если для дифференцируемой в области С функции у; С -+ К выполнено тождество Эйлера, то зта функция локально однородна степени и в области С. Указание. Проверьте, что функция чг(8) = 2 "у(8х) при любом х 6 С определена и постоянна в некоторой окрестности единицы. 7. Однородные функции и метод размерности. 1' Размерность физической величины и особенности функциональных связей между физическими величинами.

ГЛ. ЧП1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 526 Физические законы устанавливают взаимосвязи физических величин, поэтому если для некоторых из этих величин принять какие-то единицы измерения, то единицы измерения связанных с ними других величин будут определенным образом выражаться через единицы измерения фиксированных величин. Так возникают основные и производные единицы той или иной системы единиц измерения. В системе СИ (Яувсеше 1псегпас1опа1) за основные механические единицы измерения приняты единицы длины †ме (м), массы †килогра (кг) и времени — секунда (с). Выражение производной единицы измерения через основные называется ее размерностью.

Это определение ниже будет уточнено. Размерность любой механической величины записывают символически в виде формулы, выражающей ее через предложенные МаксвелломО символы Е, М, Т размерностей указанных выше основных единиц. Например, размерности скорости, ускорения и силы имеют соответственно вид [и] = ЙТ, [а] = ЙТ, [г] = МЙТ Если физические законы не зависят от выбора единиц измерения, то отражением этой инвариантности должны быть определенные особенности функциональной зависимости хв =,((хс,...,хь,хьег,...,х„) между числовыми характеристиками физических величин. Рассмотрим, например, зависимость с = 7(а, 6) = ч'а' + бз между длинами катетов и длиной гипотенузы прямоугольного треугольника. Изменение масштаба длин должно одинаково сказаться на всех длинах, поэтому для любых допустимых значений а и 5 должно быть выполнено соотношение 7'(оа, об) = = р(о)7(а, 5), причем в нашем случае р(о) = о. Основная (на первый взгляд очевидная) предпосылка теории размерности состоит в том, что претендующая иа физическую значимость зависимость (*) должна быть такой, чтобы при изменении масштабов основных единиц измерения численные значения всех одноименных величин, участвуюисих в формуле, менялись в одно и гпв же число раз.

В частности, если хг, хз, хз — основные независимые физические величины и (хг,хз,хз) 1,7(хс,хз,хз) — зависимость от них некоторой четвертой физической величины, то, в силу сформулированного принципа, при любых допустимых значениях хг, хз, хз должно быть выполнено равенство ~(осхг, озх2, оэхз) = р(ог, оз, оз) /(хг, х2, хз), с некоторой конкретной функцией ~р. ОДж. К. Максвелл (1831- 1879) — выдающийся английский физик; создал математическую теорию электромагнитного поля, известен также исследованиями по кинетической теории газов, оптике и механике. з 3. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 527 д) Покажите, что тогда наряду с (*) должно быть справедливо соотношение й г' г й 1 й но го ( т т г-й и-й а, ...ай хо = з (агхг,...,айхй,а, ...ай хйьы...,а, ...ай х„. (*ей) е) Если хы..., хй независимы, то в (**й) положим аг — — х, ',..., ай = хй ~.

Проверьте, что при этом из (ййй) получается равенство ,,г нй 1» нг й 1 нг,й хг..хй х, ...хй х, ...х„ являющееся соотношением П = У(1,...,1,п„...,п„й) между безразмерными величинами П, Пы..., П„ (йййй) Функция у в равенстве (йй) полностью характеризует зависимость численного значения рассматриваемой физической величины от изменения масштабов основных фиксированных физических величин. Таким образом, эту функцию и следует считать размерностью данной физической величины по отношению к фиксированным основным единицам измерения. Уточним теперь вид функции размерности. а) Пусть х > 7(х) — функция одного переменного, удовлетворяющая условию 7(ах) = д(а)7(х), где 7' и р — дифференцируемые функции.

Покажите, что у(а) = а~. Ь) Покажите, что функция размерности ю в равенстве (й*) всегда имеет вид а, а а, где показатели степени дг, дг, дз суть некоторые дей4г лг зг ствительные числа. Таким образом, если, например, фиксированы основные единицы Т, М, Т, то набор (дыдг,дз) показателей в степенном выражении 1 ~'М~гТ~г также можно считать размерностью данной физической величины. с) В Ъ) было получено, что функция размерности всегда имеет вид степенной зависимости, т. е. является однородной функцией определенной степени по каждой из основных единиц измерения.

Что означает, что степень однородности функции размерности некоторой физической величины по отношению к одной из основных единиц измерения равна нулю? 2 П-теорема и метод размерности. Пусть [х,] = Х, (г = О, 1,..., п) — размерности физических величин, участвующих в законе (*). Предположим, что размерности величин хо, хй+г,...,х„могут быть выражены через размерности величин хг,..., хй, т. е. 1 й [хо] = Хо = Х,'...

Х„', 1 й [хй.йй] = Хй+; — — Х,' ...Х„', (г' = 1,...,п — я). ГЛ. УП1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 528 Таким образом, получается следующая П-теорема теории размерности. Ес.ти в соотпношении (ь) величиньь хь...,хь независимы, то зто соотношение сводится к функции (ьь**) от п — к безразмерных параметров.

1) Проверьте, что если 1т = пь то на основании П-теоремы функция / из соотношения (*) может быть найдена с точностью до числового множителя. Найдите таким путем выражение с(~рв) ф/у для периода колебаний маятника (т. е, подвешенной на нити длины 1 массы т, качающейся у поверхности Земли; шо — начальный угол отклонения). я) Найдите формулу Р = с~,ттг/Р для периода обращения тела массы т, удерживаемого на круговой орбите центральной силой величины Р. 1т) Из закона Кеплера (Рт/Рз) = (гт /гз), устанавливающего в применении к круговым орбитам связь между отношением периодов обращения планет (спутников) и отношением радиусов их орбит, найдите, вслед за Ньютоном, показатель степени о в законе Р = С вЂ” з — з всемирного тяготения.

ть 8 4. Основные факты дифференциального исчисления вещественнозначных функций многих переменных 1. Теорема о среднем Теорема 1. Пусть /: С вЂ” + Н вЂ” вещественнозначная функци, определенная в области С С Н"'. Пусть отрезок [х, х+ тт] с концами х, х+ /ь содержится в С. Если при этпих условиях функция / непрерывна в тпочках отрезка [х,х + тт] и дифференцируема в точках интервала ]х,х+ и[, то найдется такая тпочка ~ е ]х,х+ /т[, что имеет местно равенство < Рассмотрим вспомогательную функцию Р(1) = /(х+ 1/ь), определенную на отрезке 0 < 1 < 1.

Функция Р удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа: она непрерывна на [О, 1], как композиция непрерывных отображений, и дифференцируема в интервале ]О, 1[, как композиция дифференцируемых отображений. Следовательно, найдется точка д Е ]О, 1[ такая, что 14. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 529 Но Е(1) = Дх + Ь), Е(0) = ('(х), Г'(В) = 1'(х + ВЬ)Ь и, значит, выделенное равенство совпадает с утверждением теоремы 1. ~ Приведем теперь координатную форму записи соотношения (1). Если х = (х',..., х ), Ь = (Ь1,..., Ь™) и ~ = (х' + ВЬ',..., х™ + + ВЬ ), то равенство (1) означает, что дх+ Ь) — дх) = дх + Ь,...,х™+ Ь™) — ((х,...,х™) = ь' =У«) = —,".,«),,—," .(О = д~У(()Ь'+...

+ д У(~)Ь = ~~> д;Дх'+ ВЬ',...,х™+ ВЬ~)Ь'. Используя соглашение о суммировании по повторяющемуся сверху и снизу индексу, окончательно можно записать 1( '+ь',, ™+ь™) — ~(х',..., х) = = ддх'+ ВЬ',...,хт+ ВЬ~)Ь', (1') где 0 < В < 1, причем В зависит и от х, и от Ь. Замечание. Теорема 1 называется теоремой о среднем в связи с тем, что существует некоторая «средняя> точка ~ Е )х, х+ Ь(, в которой выполняется равенство (1). Мы уже отмечали при обсуждении теоремы Лагранжа (см. гл.

Ч, 93, п. 1), что теорема о среднем специфична именно для вещественнозначных функций. Общая теорема о конечном приращении для отображений будет доказана в главе Х (часть П). Из теоремы 1 вытекает полезное Следствие. Если функция (: С вЂ” > К дифференцируежа в области С С К и в любой точке х Е С ее дифференциал равен нулю, то ( постоянна в области С. м Равенство нулю линейного отображения равносильно обращению в нуль всех элементов отвечающей ему матрицы. В нашем случае >1Дх)Ь = (д1у,...,д у)(х)Ь, поэтому д1Дх) =... = д ('(х) = О в любой точке х Е С.

ГЛ. УЦ1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 530 По определению, область есть открытое связное множество. Воспользуемся этим. Покажем сначала, что если х Е С, то в шаре В(х;т) С С функция 1 постоянна. Действительно, если (х+ й) Е В(х; т), то и [х, х+ Ь] С С В(х; т) С С. Применяя соотношение (1) или (1'), получаем 1(х+ Ь) — 1(х) = 1'(с)6 = 0 й = О, т. е. 1(х+ 6) = 1(х) и значения 1 в шаре В(х; т) совпадают со значением ~ в центре этого шара.

Пусть теперь хв,х1 Е С вЂ” произвольные точки области С. В силу свЯзности С найДетсЯ пУть 1 ~-> х(1) Е С такой, что х(0) = хв, х(1) = хь Мы предполагаем, что непрерывное отображение 1 + х(1) определено на отрезке 0 < 1 < 1. Пусть В(хв, т) — шар с центром в хв, содержащийся в С. Поскольку х(0) = хв и отображение 1 + х(1) непрерывно, найдется положительное число б такое, что х(1) Е В(хв, т) с С при 0 < ~ < б. Тогда по доказанному (~ о х)(~) = 1'(хр) на промежутке [О, б]. Пусть 1 = впр б, где верхняя грань берется по всем числам б Е [О, 1] таким, что (1 ох) (1) = 1 (хв) на промежутке [О, б].

Характеристики

Список файлов книги