1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 90
Текст из файла (страница 90)
В силу непрерывности функции ~(х(1)) имеем ~(х(1)) = 1(хо). Но тогда1 = 1. Действительно, в противном случае можно было бы взять некоторый шар В(х(1); т) с С, в котором 1 (х) = 1(х(1)) = ('(хв), затем в силу непрерывности отображениями + х(1) найти Ь ) 0 так, что х(1) е В(х(1);т) при 1 < 1 <1+ Ь. Тогда (~ о х)(1) = 1(х(1)) = Дхв) при 0 < 1 < 1+ Ь и 1 ф вирб. Итак, показано, что (1' о х)(г) = У(хв) при любом 1 Е [О, 1]. В частности, (г" о х)(1) = г(х1) = ~(хв) и мы проверили, что в любых двух точках хв, х1 е С значения функции 1: С вЂ” ~ К совпадают.
Ь 2. Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных Теорема 2. Пусть 1: П(х) -+ К вЂ” функция, определенная в окрестности У(х) С К точки х = (х,..., х ). Если функция т' имеет в каждой точке окрестпности У(х) все частные производные -~~-,..., — ~~-, то иэ их непрерывности в точдх дх ке х следует дифференцируемость функции 1" в этой точке. < Без ограничения общности будем считать, что У(х) является шаром В(х;т). Тогда вместе с точками х = (х',...,х'"), х + Ь (х1+ 61,...,х + 6 ) области У(х) должны принадлежать также 34. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 531 точки (х, х2+62,..., хт+бт),..., (х1, х2,..., хт, х +бт) и соединяющие их отрезки. Воспользуемся этим, применяя в следующей выкладке теорему Лагранжа для функций одной переменной: У( + 6) — У(х) = У( ' + 6',..., ™ + 6 ) — У( ',..., ) = у( 1+61 т+6т) у( 1 2+62 т+бт)+ +у( 1 2+62 т+бт) у( 1 2 3+63 т+бт)+ + +у(Х1 Х2 т — 1 т+6т) у( 1 т) =ду(х1+Ф61,х2+62 .,хт+6 )6'+ +д~(х1 2+0262,хз+63 ...
хт+6т)6'+...+ ,1,2 т — 1 Хт + От~ т)1т Пока мы воспользовались лишь наличием у функции у в области У(х) частных производных по каждой из переменных. Теперь воспользуемся их непрерывностью в точке х. Продолжая предыдущую выкладку, получаем, что Дх+ 6) — ~(х) = д1У(х',...,х™)6'+ о'6'+ + Р У(х1 т)62 + 262 + + +д у( 1 т)6т+ тбт где величины а1,..., а в силу непрерывности частных производных в точке х стремятся к нулю при 6 -+ О. По это означает, что Дх+ 6) — )'(х) = Цх)6+ о(6) при 6 — 1 О, где Цх)6 = д у(х1,...,хт)61+...
+д ('(х1,...,хт)6т, Ь Из теоремы 2 следует, что если частные производные функции у: С вЂ” ~ К непрерывны в области С С К, то функция дифференцируема в любой точке этой области. Условимся в дальнейшем через С(1)(С; К) или, проще, через С(1)(С) обозначать множество функций, имеющих в области С непрерывные частные производные.
532 ГЛ. МП. ДИ<РФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 3. частные производные высшего порядка. Если функция у: С -+ К, определенная в некоторой области С с К"', имеет частную производную — ~1(х) по одной из переменных х',..., х'"', то зта частная производная вновь является некоторой функцией д;~: С вЂ” ~ К, которая в свою очередь может иметь частную производную д (д;1) (х) по некоторой переменной хг. Функция д (д,1): С вЂ” + К называется второй производной от функции 1" по переменным х', хг и обозначается одним из символов дг ~ дгч~(х),, (х). Порядок индексов указывает, в каком порядке производится дифференцирование по соответствующим переменным. Мы определили частные производные второго порядка.
Если определена частная производная д9~ дп, цУ(х) = , , (х) порядка к, то по индукции определяем частную производную порядка к + 1 соотношением дн ..2„У(х) ° — д'(дб ...'„Уих). Здесь возникает специфический для случая функций многих переменных вопрос о том, влияет ли порядок дифференцирований на вычисляемую частную производную. Теорема 3. Если функция ~: С -+ К имеет в области С частные производные дгу дгу дх'дхд ' дхгдх' (х), (х), то в любой точке х Е С, в которой обе зти производные непрерывны, их значения совпадают. ~ Пусть х Н С вЂ” точка, в которой обе функции дн~: С + К, дз,~: С -+ К непрерывны.
Дальнейшие рассмотрения будем проводить в некотором шаре В(х; г) С С, г > О, являющемся выпуклой окрестностью точки х. Мы хотим проверить,что дг1 дг1 . (х',..., х' ) =, (х',..., х ). ' дх'дхб ' ' ' ' ' дхддх' 533 14. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ Поскольку во всех дальнейших выкладках меняться будут только переменные хг и хг, то мы для сокращения записи предположим, что 1' есть функция двух переменных Дх1, хг), и нам надо проверить, что д'У д д 'х') д дх(х'' если в точке (х1, хг) Е ж~ обе указанные функции непрерывны. Рассмотрим вспомогательную функцию 1г(Ь1 Ь2) у( 1+Ь1 2+Ьг) )( 1+Ь1 2) у( 1 2+Ьг)+у( 1 2) где смещение Ь = (Ь', Ьг) предполагается достаточно малым, а именно таким, что х+ Ь Н В(х; г).
Если Р(Ь1, Ьг) рассмотреть как разность Р(Ь1, Ь2) = р(1) — р(0), где 1р(1) = г (х'+1Ь',х~+ Ьг) — 1(х1+Й1,хг), то по теореме Лагранжа найдем, что Р(Ь1,Ь2) = ~рЩ) = (д у(х1+ 0 Ь',хг+ Ьг) — д у(х1 + 01Ь1,хг)) Ь1. Применяя к последней разности вновь теорему Лагранжа, найдем, что Р(Ь1 Ь') = д,1У( ' + 0,Ь1 ' + 0,Ь')Ь'Ь' (2) Если теперь К(Ь1, Ьг) представить в виде разности К(Ь1, Ь2) = Д1) — До), где Дг) = г (х + Ь, хг + 1Ь2) — г (х1, хг + ФЬ ), то аналогично найдем, что Г(Ь1 Ьг) = д12Дх1 + 01Ь1 хг+ 02Б2)Ь'Ьг.
(3) Сравнивая равенства (2) и (3), заключаем, что д21У(х1+ 01Ь',хг+ 02Ь2) = д12Дх1+ 01Ь' хг+ 02Ь2) (4) где 01, 02, 01, 02 Н )О, 1(. Воспользовавшись непрерывностью рассматриваемых частных производных в точке (х', хг) при Ь вЂ” > О, из (4) получаем нужное равенство д д(х1,хг) = д 24'(х1,хг). у ГЛ. Ч1Н. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 534 Заметим, что без каких-либо дополнительных предположений, вообще говоря, нельзя утверждать, что справедливо равенство д;Ях) = = д.;1(х), если обе указанные частные производные определены в точке х (см.
задачу 2 в конце параграфа). Договоримся в дальнейшем через С00(С; 2) или С1ь) (С) обозначать множество функций 1: С -+ К, все частные производные которых до порядка Й включительно определены и непрерывны в области С С К"'. В качестве следствия теоремы 3 получаем утверждение 1.
Если 1" Н С1в1(С;К), то значение д;, л 1'(х) частной производной не зависит от порядка 11,...,1ь дифферениирования, т. е. остается тем же при любой пересгпановке индексов Н» 1/с. м В случае Ь = 2 это утверждение содержится в теореме 3.
Предположим, что утверждение справедливо до порядка и включительно. Покажем, что тогда оно справедливо и для порядка и + 1. Но д;„,,з,~(х) = д;,(д;,,з „з')(х). Индексы 1э,..., 1„е1 по предпо- ЛОжЕНИЮ ИНДУКЦИИ МОЖНО ПЕРЕСтаВЛЯтЬ, НЕ МЕНЯЯ ФУНКЦИИ д;ь,1„+, З'(Х), а следовательно, и функции д;, л„,, ('(х). Поэтому достаточно проверить, что можно переставлять также, например, индексы 11 и 1э, не меняя значения производной д;„,;„~,Дх). Поскольку д;„,„л„„1(х) = д;„,(д;,,1„„,У)(х), то возможность этой перестановки непосредственно вытекает из тео- ремы 3. В силу принципа индукции утверждение 1 доказано.
> Пример 1. Пусть 1(х) = 1(х1,х~) — функция класса С1ь)(С;К). Пусть Ь = (Ь', Ь~) таково, что отрезок [х, х + Ь) содержится в области С. Покажем, что функция 1о(1) = У(х+1Ь), определенная на отрезке (О, 1], принадлежит классу С1"1(0, Ц, и найдем ее производную по 1 порядка Й. Имеем 1о (1) = дД(х +М,х +1Ь )Ь +дг('(х +М,х +1Ь )Ь 14. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 535 рп(1) = д„у(х+ 16)6'6'+ д„у( + 16)626 + + дтг1(х+ т6)6 6 + дг~У(х+ т6)6~6~ = = дм~(х+ 16)(6т)2 + 2дтг~(х+ И)6т62 + дгг ~(х+ 16)(62)2, Эти соотношения можно записать в форме действия на функцию опе- ратора (6'дт + 62дг): ~рт(1) = (6'дт + 62дгЩх+ 16) = 6'д;Дх+ 16), тт(1) (61д + 62д )гт( + ~6) бттбттд т( + 16) По индукции получаем у(тт)(1) = (бтдт + 62дг)" тт(х+ 16) = бтт... 6'ьд,, л„~(х+ 16) (имеется в виду суммирование по всевозможным наборам тт,..., ть из 6 индексов, каждый из которых принимает значения 1 или 2).
Пример 2. Если Дх) = Дх',...,х™) и 1 Е С(")(С;К), то, в предположении, что [х, х+ 6] С С, для функции р(1) = Дх+ т6), определенной на отрезке [О, 1], получаем ~р(тт)(1) = 6н, ..6" д;. л.1(х+16), где справа имеется в виду суммирование по всевозможным наборам индексов тц..., ть, каждый из которых может принимать любое значение от 1 до т включительно. Формулу (5) можно записать также в виде рт")(1) = (6'дт +... + Ы"д )"Ях+ 16). (6) 4.
Формула Тейлора Теорема 4. Если функция 1': (т(х) — + К определена и принадлежит классу С(")(У(х);К) в окрестностпи У(х) С К точки х Е К а отрезок [х,х+ 6] полностью содержится в Цх), то имеет место равенстпво ГЛ. ЧН1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 536 (7) (8) Равенство (7) совместно с соотношением (8) называется формулой Тейлора с интегральной формой остаточного члена. м Формула Тейлора (7) немедленно следует из соответствующей формулы Тейлора для функции одной переменной. В самом деле, рассмотрим вспомогательную функцию 1о(1) = ((х+16), которая в силу условий теоремы 4 определена на отрезке 0 < 1 < 1 и (как мы проверили выше) принадлежит классу С(") [О, 1].
Тогда при т Н [О, 1) в силу формулы Тейлора для функций одной переменной можно записать, что 1 1 ~р(т) = у(0) + — ~р'(0)т + ... + у(" П (0)т" ' + 1( ''' (~ 1)) 1 Г(1 — 1)"-1 + / р' ~1(1т)т ай ! (--) о Полагая здесь т = 1, получаем 1 (1) = 1 (О) + †„ д'(О) + ... + , , Р<"-П (О) + 1 Г (1-1) -1 + / аког')(1) е(1. (9) l (--) о Подставляя в полученное равенство, в соответствии с формулой (6), значения урй(0) = (6'д1+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
