1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 94
Текст из файла (страница 94)
с) Покажите, что величина'с, определяемая формулой (19), монотонно возрастает с ростом и, и найдите ее предел при и — ~ со. 10. а) Во время так называемого круглого наружного шлифования инструмент — быстро вращающийся шлифовальный круг (с шероховатой периферией), играющий роль напильника,— приводится в соприкосновение с медленно (в сравнении с ним) поворачивающейся поверхностью круглой детали (рис.
55). Круг К постепенно подается на деталь Д и в результате происходит съем заданного слоя Н металла, доведение детали до нужного размера и образование гладкой рабочей поверхности изделия. Эта поверхность в будущем механизме обычно является трущейся, и, чтобы увеличить срок ее службы, металл детали про- Рис. 55.
ходит предварительную закалку, повышающую твердость стали. Однако из- 556 ГЛ. УН1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ за высокой температуры в зоне контакта шлифовального круга с деталью могут произойти (и часто происходят) структурные изменения в некотором слое Ь металла и падение в этом слое твердости стали.
Величина Ь монотонно зависит от скорости з подачи круга на деталь, т.е. Ь = ~р(л). Известно, что существует некоторая критическая скорость аз > О, при которой еще Ь = = О, а при з > яо уже Ь > О. Для дальнейшего удобно ввести в рассмотрение обратную к указанной зависимость з = Ф(б1) определенную при Ь > О. Здесь ~д †известн из эксперимента монотонно возрастающая функция, определенная при 1з > О,причем 6(0) = зо > О.
Режим шлифования должен быть таким, чтобы на окончательно получаемой поверхности изделия не было структурных изменений металла. Оптимальным по быстродействию при указанных условиях, очевидно, будет такой режим изменения скорости з подачи шлифовзльного круга, когда = ч"1б), где б = б(1) — величина еще не снятого к моменту 1 слоя металла или, что то же самое, расстояние от периферии круга в момент 1 до окончательной поверхности будущего изделия. Объясните это. Ь) Найдите время, необходимое для снятия слоя Н в оптимальном режиме изменения скорости з подачи круга. с) Найдите зависимость л = з(1) скорости подачи круга от времени в е оптимальном режиме при условии, что функция Ь ~ — ~ л линейна: з = за+ Лб1.
В силу конструктивных особенностей некоторых видов шлифовальных станков изменение скорости л может происходить только дискретно. Тут и возникает задача оптимизации производительности процесса при дополнительном условии,что допускается только фиксированноечисло п переключений скорости з. Ответы на следующие вопросы дают представление о характере оптимального режима. о) Какова геометрическая интерпретация найденного вами в Ь) времени и г1Н) = ) йтб) шлифованиЯ в оптимальном непРеРывном Режиме изменениЯ о скорости я? е) Какова геометрическая интерпретация потери во времени при переходе от оптимального непрерывного режима изменения л к оптимальному по быстродействию ступенчатому режиму изменения л? 1) Покажите, что точки 0 = з„~1 < х„ < ...
< х1 < хо = Н промежутка 10, Н1 в которых следует производить переключение скорости, должны 55. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 557 удовлетворять условиям 1 1 /11' — — — (х,)(х, — х, ~) (1 = 1,..., п) у (х,+~ ) ф(х,) ~,4~) и, следовательно, на участке от х, до х,ь~ скорость подачи круга имеет вид о = ф(хьы) (1 = О,..., п). 6) Покажите, что в линейном случае, когда у(Ь) = оо + ЛЬ, точки х, (из задачи 1)) на промежутке [О, Н] располагаются так, что числа оо оо оо оо — ( — +х„<...( — +х~ < — +Н Л Л " Л Л '6' 5.
Теорема о неявной функции 1. Постановка вопроса и наводящие соображения. В этом параграфе будет доказана важная как сама по себе, так и благодаря ее многочисленным следствиям теорема о неявной функции. Поясним сначала, в чем состоит вопрос. у Пусть, например, мы имеем соотношение х2+у2 — 1 = О между координатами х, у точек плоскости Кл. Совокупность точек плоскости К2, удовлетворяющих этому соотношению, есть единичная окружность (рис. 56). Наличие связи (1) показывает, что, фиксирован одну из координат, например х, мы не вправе брать вторую координату Рис. 56.
образуют геометрическую прогрессию. 11. а) Проверьте, что касательная к кривой Г: 1 -+ К определена инвариантно относительно выбора системы координат в К Ь) Проверьте, что касательная плоскость к графику л' функции у = 1(х',...,х ) определена инвариантно относительно выбора системы координат в К™. с) Пусть множество 5 С 1Р' х К~ является графиком функции у = 1(х~,...,х ) в координатах (х~,...,х~,у) в К~ х К~ и графиком функции у = 7(х',...,х ) в координатах (х',...,х ,у) в К™ х К'.
Проверьте,что касательная к Я плоскость инвариантна относительно линейного преобразования координат в К"' х К~. о) Проверьте, что оператор Лапласа Ь~ = ~ — ~~(х) определен инваридо 5 ~=~ дх' антно относительно ортогональных преобразований координат в К~. ГЛ. Ч1Н. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 558 произвольно. Таким образом, соотношение 11) предопределяет зависимость у от х. Нас интересует вопрос об условиях, при которых неявная связь (1) может быть разрешена в виде явной функциональной зависимости у = у(х). Решая уравнение 11) относительно у,найдем,что у=+А: 12) т. е, каждому значению х такому, что ~х~ ( 1, на самом деле отвечают два допустимых значения у. При формировании функциональной зависимости у = у1х), удовлетворяющей соотношению 11), нельзя без привлечения дополнительных требований отдать предпочтение какому- нибудь одному из значений (2).
Например, функция у(х), которая в рациональных точках отрезка ~ — 1, 1) принимает значение +~/1 — х2, а в иррациональных — значение — Л вЂ” хз, очевидно, удовлетворяет соотношению (1). Ясно, что вариацией этого примера можно предъявить бесконечно много функциональных зависимостей, удовлетворяющих соотношению 11). Вопрос о том, является ли множество, задаваемое в К2 соотношением (1), графиком некоторой функциональной зависимости у = у(х), очевидно, решается отрицательно, ибо с геометрической точки зрения он равносилен вопросу о возможности взаимно однозначного прямого проектирования окружности на некоторую прямую.
Но наблюдение 1см, рис.бб) подсказывает, что все-такн в окрестности отдельной точки (хе, уе) дуга окружности взаимно однозначно проектируется на ось х и ее единственным образом можно представить в виде у = у(х), где х 1 у(х) — непрерывная функция, определенная в окрестности точки хе и принимающая в хе значение уе. В этом отношении плохими являются только точки ( — 1, 0), (1, 0), ибо никакая содержащая их внутри себя дуга окружности не проектируется взаимно однозначно на ось х.
Зато окрестности этих точек на окружности хорошо расположены относительно оси у и могут быть представлены в виде графика функции х = х(у), непрерывной в окрестности точки 0 и принимающей в этой точке значение — 1 или 1 в соответствии с тем, идет ли речь о дуге, содержащей точку ( — 1, 0) или (1, 0). Как же аналитически узнавать, когда наше геометрическое место точек, определяемое соотношением типа (1), в окрестности некоторой 5 5, ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 559 уоИ' хо) + ~у(хо уо)(у уо) поскольку г(х У) = г (хо Уо) + Р~(хо УоПх хо) + Го(хо Уо)(у Уо) + + о Ох — хо! +!у — уо0 при (х, у) — + (хо,уо). Если Р(хо, уо) = 0 и нас интересует поведение линии уровня г(х,у) = 0 нашей функции в окрестности точки (хо, уо), то о нем можно судить по расположению прямой (касательной) г (хо Уо)(х хо) +К~(хо Уойу Уо) = О.
(3) Если эта прямая расположена так, что ее уравнение можно разрешить относительно у, то, коль скоро в окрестности точки (хо, уо) линия г (х, у) = 0 мало уклоняется от этой прямой, можно надеяться, что ее в некоторой окрестности точки (хо, уо) тоже можно будет записать в виде у = у(х). То же самое, конечно, можно сказать о локальной разрешимости уравнения Г(х, у) = 0 относительно х. Записав уравнение (3) для рассматриваемого конкретного соотношения (1), получим следующее уравнение касательной: хо(х хо) + уо(У Уо) = О Это уравнение разрешимо относительно у всегда, когда уо ~ О, т.
е. во всех точках (хо, уо) окружности (1), кроме точек ( — 1, 0) и (1, 0). Оно разрешимо относительно х во всех точках окружности, кроме точек (0,-1) и (0,1). точки (хо,уо), принадлежащей ему, может быть представлено в виде явной зависимости у = у(х) или х = х(у)? Будем рассуждать следующим, уже привычным способом. У нас есть функция г (х,у) = х~ + у~ — 1. Локальное поведение функции в окрестности точки (хо, уо) хорошо описывается ее дифференциалом ГЛ. У1Н. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 660 2. Простейший вариант теоремы о неявной функции.
В этом параграфе теорема о неявной функции будет получена очень наглядным, но не очень эффективным методом, приспособленным только к случаю веще ственнозначных функций вещественных переменных. С другим, во многих отношениях более предпочтительным способом получения этой теоремы, как и с более детальным анализом ее структуры, читатель сможет познакомится в главе Х (часть П), а также в задаче 4, помещенной в конце параграфа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
