1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (824702), страница 97
Текст из файла (страница 97)
~ дх'дхЗ / с) Используя для функции 7'(х) = 7'(х',...,х ) то же определение выпуклости, что и в одномерном случае (подразумевая теперь под х вектор (х1,...,х'") Е Н'"), покажите, что преобразованием Лежандра выпуклой функции является выпуклая функция. д) Покажите, что Ш т и дУ' = Ех'да+ Е6дх' — Ц = Ех*д6 и выведите отсюда инволютивность преобразования Лежандра, т.
е. проверь- те, что (7'*)'(х) = 7(х). е) Учитывая д), запишите преобразование (27) в симметричном относительно переменньсс виде з"(6О" с )+з(х' " ) = Е6 ' а=1 с; = — ~(х',..., х™), х' = +(Сд,,с~) (28) Задачи и упражнения 1. На плоскости Нз с координатами х, у соотношением г'(х,у) = О, где г' е е СОО(Нз, й), задана кривая. Пусть (хо,уо) — некритическая точка функции г'(х, у), лежащая на кривой. а) Напишите уравнение касательной к этой кривой в точке (хо, уо). Ь) Покажите, что если (хо, уо) — точка перегиба кривой, то в этой точке выполняется равенство 574 ГЛ. НН1.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ или, короче, в виде ~'(~) + ((х) = ~х, ~ = ~((х), х = 17~*(~), где чг'(х) =,,..., (х), «ь7"(С) = —,...,— (С), ь« сх = с;х« = ~~ с,х'. «=1 1) Матрицу, составленную из частных производных второго порядка функции (а иногда и определитель этой матрицы), называют еессианом функции в данной точке. Пусть «1« и «4;.
†алгебраическ дополнения элементов †~Х вЂ ., †~~~ гесо «1 йх оку' 86,861 сианов дг 1' дг г'* дс1дс«д~ьдс„, Ы) дг 7"«дгУ д( д~«д( д~ дУ дгУ дхьдхь дхгдхп« (х), дг ( дгу дхтдх' дхтдхт функций 7'(х) и 7'(С), а «4 и «1* — определители этих матриц. Считая, что «1 ф О, покажите, что «4 «1* = 1 и что дхлд 1(х) 1 ( ) д4.д.. ( ) 8) Мыльная пленка, натянутая на проволочный контур, образует так называемую минимальную поверхность, имеющую наименьшую площадь среди всех поверхностей, натянутых на этот контур. Если локально задать зту поверхность как график функции г = 7(х, у), то, оказывается, функция 1 должна удовлетворять следующему уравнению минимальных поверхностей: (1+ Я ) у',", — 2~,'~„'1,вл Р (1+ Д ),(ьоь = О. Покажите, что после преобразования Лежандра это уравнение приводится к ви (1+ и') 1„'„" + 2~0,(;„о + (1+ (') Я' = О.
3. Канонические переменные и система уравнений Гамильтона'~«. а) В вариационном исчислении и фундаментальных принципах классической механики важную роль играет следующая система уравнений Эйлера- ОУ. Р. Гамильтон (1805 — 1865) — знаменитый ирландский математик н механик. Сформулировал вариацнониый принцип (принцип Гамильтона), построил феноменологическую теорию оптических явлений; создатель теории кватернионов и родоначальник векторного анализа (кстати, ему принадлежит сам термин «вектор«). 5 5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ <РУНКЦИИ 575 Лагранжа: < — + — — (1,х,о) = О, о = х(е), (29) по переменным о, Ь, заменяя их на переменные р, Н, то система Эйлера— Лагранжа (29) приобретает симметричный вид дН , дН р= — —, х= дх' др' (30) в котором она называется системой уравнений Гамильтпона.
с) В многомерном случае, когда 1 = 1(1,хт,...,х"',от,...,о ), система уравнений Эйлера- Лагранжа имеет вид (31) где для краткости положено х = (х",..., х'"), о = (о',..., о'"). Сделав преобразование Лежандра по переменным о1,...,отн, А, перейди- тЕ От ПЕРЕМЕННЫХ 1,Х,...,Х н,и,...,О'н,1 К КаНОНИЧЕСКИМ ПЕРЕМЕННЫМ 1, х',..., х,ры..., р, Н и покажите, что в них система (31) перейдет в следующую систему уравнений Гамильтона: дН,, дН р, = — —., х' = — (1 = 1,...,тп). дх~ до, (32) где Ц1, х, о) — заданная функция переменных 1, х, о, среди которых 8 обычно является временем,х †координат, а о †скорост. Систему (29) составляют два соотношения на три переменные.
Из системы (29) обычно желают найти зависимости х = х(1) и о = о(1), что по существу сводится к отысканию зависимости х = х(1), ибо о = 2е. ех Запишите подробно первое уравнение системы (29), раскрыв производную 31 с учетом того, что х = х(Ф) и о = о(1). е' Ь) Покажите, что если от переменных 1, х, о, 1 перейти к так называемым каноническим переменным 1, х, р, Н, сделав преобразование Лежандра (см. задачу 2) ГЛ.
ЧП1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 576 4. Теорема о неявной функции. Решение этой задачи дает другое, быть может, менее наглядное и эффективное, но более короткое в сравнении с изложенным выше доказательство основной теоремы настоящего параграфа. а) Пусть выполнены условия теоремы о неявной функции, и пусть /дГ' дГ'1 Г'(х,у) = ~ — ,..., †) (х,у) (,ду ' 'ду-) ' — 1-я строка матрицы Р'„Г(х, у). Покажите, что определитель матрицы, составленной из векторов Г„'(х,, у;), отличен от нуля, если все точки (х;, у,) (1 = 1,...,и) лежат в некоторой достаточно малой окрестности У = 1, х 1„" точки (хо, уо). Ь) Покажите, что если при х 6 1 найдутся точки ум уз 6 1„" такие, что Г(х, у~ ) = О и Г(х, уэ) = О, то для каждого 1 й (1,..., п) найдется такая точка (х,у;), лежащая на отрезке с концами (х,у~), (х,уэ), что Г„*(х,у,)(уэ — у~) =О (1 = 1,...,п).
Покажите, что отсюда следует, что у~ = ую т. е. если неявная функция 1: 1™ — ~ -о 1„" существует, то она единственна. с) Покажите, что если шар В(уо,г) лежит в 1,"., то Г(хо,у) ф О при 'бу — уо'О = г > О. 2 б) Функция йГ(хо, у)6и„непрерывна и имеет положительный минимум д на сфере ))у — уо6, „= г. е) Существует б > О такое, что при !)х — хо)) < б Ф(х,у)1!и. > —.и, !/Г(х, у) )/„„< —,и, если йу — уо6, „= г, если у = уо. 2 1) При любом фиксированном х таком, что ~(х — хай < б, функция Щх, у) )~ достигает минимУма в некотоРой внУтРенней точке У = 1(х) шаРа 6У вЂ” Уо~!н < < г, и поскольку матрица Г,'.(х, 1(х)) обратима, то Г(х, 1(х)) = О. Этим устанавливается существование неявной функции 1: В(хо, б) -+ В(уо, г).
я) Коли 11у = 1(х + 11х) — 1(х), то ьу = — ~г„'] [г.'~ ь, где Р'„à — матрица, строками которой являются векторы Г„'(хп у,) (1 = 1,..., и), где (х„у,) — точка на отрезке с концами (х, у), (х+ Ьх, у+ Ау). Аналогичный смысл имеет символ Г,'. 16. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 577 Покажите, что из этого соотношения следует непрерывность функции У = 7(х). Ь) Покажите, что 7'(х) = — [Р'„'(х, 7(х))~ [г,'(х,у(х))1.
5. «Если»'(х,у,х) = О, то ~ 6У . ф = — 1». а) Придайте точный смысл этому высказыванию. Ъ) Проверьте его справедливость на примере формулы Клапейрона Р Ъ' = сопя« и в общем случае функции трех переменных. с) Запишите аналогичное высказывание для соотношения 7(х',..., х ) = = О между т переменными. Проверьте его справедливость. 6. Покажите, что корни уравнения в+ в — 1+ + гладко зависят от его коэффициентов, во всяком случае, пока все корни различны. 6 6. Некоторые следствия теоремы о неявной функции 1. Теорема об обратной функции Определение 1. Отображение у': (7 -+ $', где с7 и ~' — открытые подмножества в Кп, называется С(")-диффеоморфизмом или диффеоморфизмом гладкости р (р = 0,1,...
), если 1) У е С(р) ((7; Р'); 2) )' — биекция; 3) у ' Е С(р)(Г; с7). С( )-диффеоморфизмы называют гомеоморфизмамп. Здесь мы, как правило, будем рассматривать только гладкий случай, т. е. случай р Е )»( или р = оо. Следующая часто используемая теорема в идейном плане утверждает, что если дифференциал отображения обратим в точке, то само отображение обратимо в некоторой окрестности этой точки. ГЛ.
Ч1Н. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 578 Теорема 1 (теорема об обратной функции). Если отображение 7': С вЂ” + К™ области С с 1~™ таково, что 1 у Н СОО(С1 К"), р ) 1, 2' уо =,((хв) при хв Е С, 3' у'(хр) обратимо, то существуют окрестность 0(хв) С С точки хв и окрестность Ъ (уо) точки ув такие, что 7': П(хо) — ь 'ь'(уо) есть С1р)-диффеомор- фиэм. При этом если х й У(хв) и у = 7 (х) Е 1'(ув), то (У ')'(у) = (У'(х)) ' м Соотношение у = у (х) перепишем в виде Г(х, у) = у (х) — у = О. Р Н СО~(С х К™;К ), р > 1, Е(хо,уо) = О, г'(хо,ув) = ('(ха) обратимо. По теореме о неявной функции найдутся окрестность 1 х Хл точки (хо, уо) и отображение д Н СОО(1у' 1е) такие, что для любой точки (х~ у) Е ух х ~у у (х) — у = О ~ х = д(у) (2) и д'(у) = — [Е.'(х, у)) (Е„'(х, у)] .
В нашем случае Е (х,у) — 7" (х), Е„(х,у) — — Е, где Š†единичн матрица;поэтому д (у) = (('(х)) (3) Функция Е(х,у) = у(х) — у определена при х Н С и у Н К, т.е. определена в окрестности С х К точки (хо,ув) е К х Р™. Мы хотим разрешить уравнение (1) относительно х в некоторой окрестности точки (ха, ув). В силу условий 1', 2', 3' теоремы отображение Г(х,у) таково, что 16, НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 579 Если положить Г = 19 и П = дар), то соотношение 12) показывает, что отображения ~: П -+ Г и д: Ъ'-+ П взаимно обратны, т.е. д = ~ на Г. Поскольку Г = 1ю то à — окрестность точки уо. Это означает, что при условиях 1', 2', 3' образ уо = Дхо) точки хо Е С, внутренней для С, является точкой, внутренней для образа ~(С) множества С. В силу формулы 13) матрица д'(до) обратима.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
